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1、
不等式選講
一、絕對(duì)值不等式
1．絕對(duì)值三角不等式
定理1：如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立。
注：（1）絕對(duì)值三角不等式的向量形式及幾何意義：當(dāng)，不共線時(shí)，|+|≤||+||，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊。
（2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的條件分別是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在側(cè)“=”成立的條件是ab≥0，左側(cè)“=”成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右側(cè)“=”成立的條件是ab≤0，左側(cè)“=”成立的條件是ab
2、≥0且|a|≥|b|。
定理2：如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c) ≥0時(shí)，等號(hào)成立。
2．絕對(duì)值不等式的解法
（1）含絕對(duì)值的不等式|x|＜a與|x|＞a的解集
不等式
a＞0
a=0
a＜0
|x|＜a
{x|-a＜x＜a}
|x|＞a
{x|x＞a 或x＜-a }
{x|x∈R且x≠0}
R
注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的幾何意義（|x|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離；| x-a |±|x-b|）表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a,b的距離之和（差）
（2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|
3、≥c(c＞0)型不等式的解法
①|(zhì)ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;
②| ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c.
（3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法
方法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；
方法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；
方法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。
二、證明不等式的基本方法
1．比較法
（1）作差比較法
①理論依據(jù)：a＞ba-b＞0;a＜b a-b＜0.
②證明步驟：作差→變形→判斷符號(hào)→得出結(jié)論。
注：作
4、差比較法的實(shí)質(zhì)是把兩個(gè)數(shù)或式子的大小判斷問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)（或式子）與0的大小關(guān)系。
（2）作商比較法
①理論依據(jù)：
②證明步驟：作商→變形→判斷與1的大小關(guān)系→得出結(jié)論。
2．綜合法
（1）定義：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得到命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫做推證法或由因?qū)Чā?
（2）思路：綜合法的思索路線是“由因?qū)Ч保簿褪菑囊粋€(gè)（組）已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直至推導(dǎo)出要求證明的不等式。
3．分析法
（1）定義：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至
5、所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法。
（2）思路：分析法的思索路線是“執(zhí)果索因”，即從要證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來(lái)代替前面的不等式，直到打到已知不等式為止。
注：綜合法和分析法的內(nèi)在聯(lián)系是綜合法往往是分析法的相反過(guò)程，其表述簡(jiǎn)單、條理清楚。當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)使用，以分析法尋找證明的思路，用綜合法敘述、表達(dá)整個(gè)證明過(guò)程。
4．放縮法
（1）定義：證明不等式時(shí)，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，這種證明方法稱為放縮法。
（2）思
6、路：分析證明式的形式特點(diǎn)，適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵。
5.除此之外還有反證法和數(shù)學(xué)歸納法
【絕對(duì)值不等式習(xí)題】
【例1】不等式的解集為
（A）[-5.7] （B）[-4,6]
（C） （D） 【答案】D
【解析】由不等式的幾何意義知，式子表示數(shù)軸的點(diǎn)與點(diǎn)（5）的距離
和與點(diǎn)（-3）的距離之和，其距離之和的最小值為8，結(jié)合數(shù)軸，選項(xiàng)D正確
【例2】 已知集合，則集合=________.
【答案】
【解析】∵，
，
∴.
【例3】對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若，，則
7、的最大值為 .【答案】5
【例4】不等式的解集是______.
【解析】。由題得 所以不等式的解集為。
【例5】若關(guān)于x的不等式存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】
【解析】：因?yàn)樗源嬖趯?shí)數(shù)解，有或
【例6】已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|.
（I）證明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.
解：（I）
當(dāng)
所以
（II）由（I）可知，
當(dāng)?shù)慕饧癁榭占?
當(dāng)；
當(dāng).
綜上，不等式
【例7】已知函數(shù)
（1
8、）解關(guān)于的不等式；
（2）若函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，求的取值范圍。
解：（1）不等式，即。
當(dāng)時(shí)，不等式的解集是；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，即，即或者，即或者，解集為。 （5分）
（2）函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立。即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立。
由于，故只要。
所以的取值范圍是。
【不等式證明習(xí)題】
【例1】若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：
lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.
證明： 由a，b，c為正數(shù)，得
lg ≥lg ；lg ≥lg ；lg ≥lg .
而a，b，c不全相等，
所以lg ＋lg
9、 ＋lg ＞lg ＋lg ＋lg ＝lg ＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c.
即lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.
【例2】證明不等式1+
證法一 (1)當(dāng)n等于1時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立
(2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，不等式成立，即1+＜2，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立
綜合(1)、(2)得 當(dāng)n∈N*時(shí)，都有1+＜2
證法二 對(duì)任意k∈N*，都有
證法三 設(shè)f(n)=
那么對(duì)任意k∈N* 都有
∴f(k+1)＞f(k)
因此，對(duì)任意n∈N* 都有f(n)＞
10、f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，
∴
【例3】已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求證 (a+)(b+)≥
證法一 (分析綜合法）
欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，
即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證
證法二 (比較法）
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤
證法三 (綜合法)
∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤
【例4】已知求證：
證明：
11、
【例5】若，，，求證：，不能同時(shí)大于1。
證明：由題意知
假設(shè)有
那么
同理，
①＋②＋③，得矛盾，假設(shè)不成立。
故，，不能同時(shí)大于1。
【例6】設(shè)函數(shù)f(x)＝x－a(x＋1)ln(x＋1)(x＞－1，a≥0).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：當(dāng)m＞n＞0時(shí)，(1＋m)n＜(1＋n)m.
【解析】(1)f′(x)＝1－aln(x＋1)－a，
①a＝0時(shí)，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在(－1，－1]上單調(diào)遞增，在[－1，＋∞)單調(diào)遞減.
(2)證明：要證(1＋m)n＜(1＋n)m，只需證nln(1＋m)＜mln(1＋n)，只需證＜.
設(shè)g(x)＝(x＞0)，則g′(x)＝＝.
由(1)知x－(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減，
所以x－(1＋x)ln(1＋x)＜0，即g(x)是減函數(shù)，
而m＞n，所以g(m)＜g(n)，故原不等式成立.
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