高考數學二輪復習 專題一 函數與導數、不等式 第4講 導數與函數的切線及函數零點問題課件

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1、第4講導數與函數的切線及函數零點問題,高考定位在高考試題的導數壓軸題中，以含指數、對數的函數為截體，考查函數零點問題、與方程的根相關的問題及函數圖象的交點問題是高考命題的一個熱點.,真 題 感 悟,(2016全國卷)已知函數f(x)(x2)exa(x1)2有兩個零點.,(1)求a的取值范圍； (2)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1x2<2.,(1)解f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a). 設a0，則f(x)(x2)ex，f(x)只有一個零點. 設a0，則當x(，1)時，f(x)0，所以f(x)在(，1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增.,考 點 整 合,1.求曲線y

2、f(x)的切線方程的三種類型及方法,(1)已知切點P(x0，y0)，求yf(x)過點P的切線方程：求出切線的斜率f(x0)，由點斜式寫出方程. (2)已知切線的斜率為k，求yf(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，通過方程kf(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程. (3)已知切線上一點(非切點)，求yf(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，利用導數求得切線斜率f(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程.,2.三次函數的零點分布,三次函數在存在兩個極值點的情況下，由于當x時，函數值也趨向，只要按照極值與零的大小關系確定其零點的個數即可.存在兩個

3、極值點x1，x2且x1x2的函數f(x)ax3bx2cxd(a0)的零點分布情況如下：,3.(1)研究函數零點問題或方程根問題的思路和方法,研究函數圖象的交點、方程的根、函數的零點，歸根到底還是研究函數的圖象，如單調性、值域、與x軸的交點等，其常用解法如下： 轉化為形如f(x1)f(x2)0的不等式：若yf(x)滿足f(a)f(b)0，則f(x)在(a，b)內至少有一個零點； 轉化為求函數的值域：零點及兩函數的交點問題即是方程g(x)0有解問題，將方程分離參數后(af(x))轉化為求yf(x)的值域問題； 數形結合：將問題轉化為yf(x)與yg(x)的交點問題，利用函數圖象位置關系解決問題.,

4、(2)研究兩條曲線的交點個數的基本方法 數形結合法，通過畫出兩個函數圖象，研究圖象交點個數得出答案. 函數與方程法，通過構造函數，研究函數零點的個數得出兩曲線交點的個數.,熱點一函數圖象的切線問題 微題型1單一考查曲線的切線方程,【例11】 (1)(2016全國卷)若直線ykxb是曲線yln x2的切線，也是曲線yln(x1)的切線，則b________.,(2)設函數f(x)ax33x，其圖象在點(1，f(1))處的切線l與直線x6y70垂直，則直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為() A.1 B.3 C.9 D.12,答案(1)1ln 2(2)B,探究提高利用導數的幾何意義解題，主要是利用導

5、數、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉化.以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數聯(lián)系起來求解.,微題型2綜合考查曲線的切線問題 【例12】 已知函數f(x)2x33x.,(1)求f(x)在區(qū)間2，1上的最大值； (2)若過點P(1，t)存在3條直線與曲線yf(x)相切，求t的取值范圍.,當x變化時，g(x)與g(x)的變化情況如下：,所以，g(0)t3是g(x)的極大值，g(1)t1是g(x)的極小值. 當g(0)t30，即t3時，此時g(x)在區(qū)間(，1和 1，)上分別至多有1個零點，所以g(x)至多有2個零點. 當g(1)t10，即

6、t1時，此時g(x)在區(qū)間(，0)和 0，)上分別至多有1個零點，所以g(x)至多有2個零點.,當g(0)0且g(1)0，即3t1時，因為g(1)t70，g(2)t110，所以g(x)分別在區(qū)間1，0)，0，1)和1，2)上恰有1個零點，由于g(x)在區(qū)間(，0)和(1，)上單調，所以g(x)分別在區(qū)間(，0)和1，)上恰有1個零點. 綜上可知，當過點P(1，t)存在3條直線與曲線yf(x)相切時， t的取值范圍是(3，1).,探究提高解決曲線的切線問題的關鍵是求切點的橫坐標，解題時先不要管其他條件，先使用曲線上點的橫坐標表達切線方程，再考慮該切線與其他條件的關系，如本題第(2)問中的切線過點

7、(1，t).,【訓練1】 已知函數f(x)x3x.,(1)設M(0，f(0))是函數f(x)圖象上的一點，求圖象在點M處的切線方程； (2)證明：過點N(2，1)可以作曲線f(x)x3x的三條切線.,因為g()在R上只有一個極大值3和一個極小值5， 所以過點N可以作曲線f(x)x3x的三條切線.,熱點二利用導數解決與函數零點(或方程的根)有關的問題 微題型1討論函數零點的個數,探究提高對于函數零點的個數的相關問題，利用導數和數形結合的數學思想來求解.這類問題求解的通法是： (1)構造函數，這是解決此類題的關鍵點和難點，并求其定義域；(2)求導數，得單調區(qū)間和極值點；(3)畫出函數草圖；(4)數

8、形結合，挖掘隱含條件，確定函數圖象與x軸的交點情況進而求解.,微題型2根據函數零點求參數范圍,【例22】 (2016麗水模擬)已知函數f(x)xln x，g(x)x2ax2(e為自然對數的底數，aR).,探究提高研究方程的根(或函數零點)的情況，可以通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數的大致圖象判斷方程根(函數零點)的情況，這是導數這一工具在研究方程中的重要應用.,(1)求函數f(x)的解析式； (2)判斷函數f(x)在(0，)內的零點個數，并加以證明.,1.求曲線的切線方程的方法是利用切線方程的公式y(tǒng)y0f(x0)(xx0)，它的難點在于分清“過點P的切線”與“在

9、點P處的切線”的差異.突破這個難點的關鍵是理解這兩種切線的不同之處在哪里，在過點P(x0，y0)的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P(x0，y0)處的切線，必以點P為切點，則此時切線的方程是yy0f(x0)(xx0).,2.我們借助于導數探究函數的零點，不同的問題，比如方程的解、直線與函數圖象的交點、兩函數圖象交點問題都可以轉化為函數零點問題. 3.對于存在一個極大值和一個極小值的函數，其圖象與x軸交點的個數，除了受兩個極值大小的制約外，還受函數在兩個極值點外部函數值的變化的制約，在解題時要注意通過數形結合找到正確的條件.,4.求函數零點或兩函數的交點問題，綜合了函數、方程、不等式等多方面知識，可以全面地考察學生對函數性質、函數圖象等知識的綜合應用能力，同時考察學生的變形、轉化能力.因此在高考壓軸題中占有比較重要的地位.,