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1、 第四節(jié) 直線、平面平行的判定及其 性質(zhì) 一、直線與平面平行 1判定定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判 定 定 理 如果平面外的一條直線 和這個平面內(nèi)的一條直 線平行，那么這條直線 和這個平面平行 (簡記為 . 線線平行 線面平行 ) 2性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 性 質(zhì) 定 理 如果一條直線和一個平 面平行，經(jīng)過這條直線 的平面和這個平面相交， 那么這條直線就和交線 平行 (簡記
2、 . 線面平行 線線平行 ) 二、平面與平面平行 1判定定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判 定 定 理 如果一個平面內(nèi)有兩 條 都平行 于另一個平面，那么 這兩個平面平行 (簡 記為 “ ) 相交的直線 平行 面面平行 ” 線面 2兩平面平行的性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 性 質(zhì) 定 理 如果兩平行平面同時和 第三個平面 ，那 么它們的 平行 相交 交線 （ 1）能否由線線平行推證面面平行？ （ 2）能否由線面垂直推證面面平行
3、？ 提示： （ 1）可以，只需一平面內(nèi)兩相交線分別 平行于另一平面內(nèi)的兩相交線，則兩面平行 .（ 2） 可以，只需兩平面垂直于同一直線，即得證平 行 . 1在空間中， 下列命題正確的是 ( ) A若 a ， b a，則 b B a ， b ， a， b，則 C若 ， b ，則 b D若 ， a，則 a 解析： A項中，可能 b， B項中，可推出 與 相交， C項 中，可能 b內(nèi)， D正確 答案： D 2下列條件中，能判斷兩個平面平行的是 ( ) A一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面 B一個
4、平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面 C一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面 D一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面 解析： 由兩平面平行的判定定理易知 答案： D 3平面 平面 的一個充分條件是 ( ) A存在一條直線 a， a ， a B存在一條直線 a， a， a C存在兩條平行直線 a， b， a， b， a ， b D存在兩條異面直線 a， b， a， b， a ， b 解析： A、 B、 C中都可以推出 與 相交 答案： D 4過三棱柱 ABCA1B1C1任意兩條棱的中點作直線，其中與
5、平面 ABB1A1平行的直線共有 ____條 解析： 各中點連線如圖，只有面 EFGH 與面 ABB1A1平行，在四邊形 EFGH中有 6條符合題意 答案： 6 5如圖，在空間四邊形 ABCD中， M AB， N AD，若 則直線 MN與平面 BDC的位置關(guān)系是 _______ 解析： 在平面 ABD中， MN BD. 又 MN平面 BCD， BD平面 BCD， MN 平面 BCD. 答案： 平行 本考點主要在客觀試題中考查線面平行、面面平行的判 定與性質(zhì)的應(yīng)用，作為客觀試題判斷每一個命題時，一是要 注意判定與性質(zhì)定理中易忽視的
6、條件，如線面平行，需條件 線在面外；二是結(jié)合題意作出圖形；三會舉反例或反證法推 斷命題是否正確 (1)(2009福建高考 )設(shè) m， n是平面 內(nèi)的兩條不同直 線； l1， l2是平面 內(nèi)的兩條相交直線則 的一個充分而 不必要條件是 ( ) A m 且 l1 B m l1且 n l2 C m 且 n D m 且 n l2 (2)(2009淄博模擬 )已知 m、 n是不同的直線， 、 是不重合 的平面，給出下列命題： 若 m ，則 m平行于平面 內(nèi)的無數(shù)條直線；
7、若 ， m， n，則 m n； 若 m ， n ， m n，則 ； 若 ， m，則 m . 其中，真命題的序號是 ________ (寫出所有真命題的序號 ) （ 1）利用選項逐個判斷能否推出 (2)利用判定與性質(zhì)進行判斷，可結(jié)合圖形 . 【 解析 】 (1)因 m， l1，若 ，則有 m 且 l1 ， 故 的一個必要條件是 m 且 l1 ，排除 A.因 m， n， l1， l2且 l1與 l2相交，若 m l1且 n l2，因 l1與 l2相 交，故 m與 n也相交，故 ；若 ，則直線 m與直線 l1 可能為異面直線，故 的一個充分而不必要條件是 m l
8、1且 n l2，故選 B. (2)由線面平行定義及性質(zhì)知 正確 中若 m， n， ，則 m、 n可能平行，也可能異面故 錯， 中由 由面面平行的性質(zhì)知若 ， m，則 m ， 正確， 故 為真命題 【 答案 】 (1)B (2) 1 、 、 是三個平面， a、 b是兩條直線，有下列三個 條件： a ， b； a ， b ； b ， a. 如果命題 “ a， b，且 ______，則 a b” 為真命題，則可以在橫線處填入的條件是 ( ) A 或 B 或 C 或
9、 D只有 解析： 中， a ， a， b， ba b (線面平行的性質(zhì) ) 中， b ， b， a， aa b(線面平行的性質(zhì) )故選 C. 答案： C 判定直線與平面平行，主要有三種方法： 1利用定義 (常用反證法 ) 2利用判定定理：關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直 線可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出 該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對邊或 過已知直線作一平面找其交線 3利用面面平行的性質(zhì)定理：當兩平面平行時，其中一 個平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面 兩個全等的正方形 ABCD
10、和 ABEF所在的平面相交 于 AB， M AC， N FB，且 AM FN，求證： MN 平面 BCE. 證明 MN 平面 BCE可證明直線 MN與平面 BCE 內(nèi)某一條直線平行也可證明直線 MN所在的某 一個平面與平面 BCE平行 . 【 證明 】 法一： 過 M作 MP BC，過 N作 NQ BE， P、 Q 為垂足 (如圖 1)，連結(jié) PQ. MP AB， NQ AB， MP NQ. MPQN是平行四邊形 MN PQ.又 PQ平面 BCE，而 MN平面 BCE， MN 平面 BCE. 又 NQ= BN= CM=MP 法二： 過 M作 MG BC，交 A
11、B于 G(如圖 2)，連結(jié) NG. MG BC， BC平面 BCE， MG平面 BCE， MG 平面 BCE. 又 GN AF BE，同樣可證明 GN 平面 BCE. MGNG=G， 平面 MNG 平面 BCE.又 MN平面 MNG， MN 平面 BCE. 2如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形，點 P是平面 ABCD外 一點， M是 PC的中點，在 DM上取一點 G，過 G和 AP作 平面交平面 BDM于 GH. 求證： AP GH. 證明： 如圖，連接 AC交 BD于 O，連接 MO， 四邊形 ABCD是平行四邊形， O是 AC中點，又 M是
12、 PC的中點， AP OM. 則有 PA 平面 BMD.(根據(jù)直線和平面平行的判定定理 ) 平面 PAHG平面 BMD=GH， PA GH.(根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理 ) 平面與平面平行問題 (1)在平面和平面平行的判定定理中， “兩條相交直線 ”中的 “相交 ”兩個字不能忽略，否則結(jié)論不一定成立 (2)若由兩個平面平行來推證兩條直線平行，則這兩條直線 必須是這兩個平行平面與第三個平面的交線，有時候第 三個平面需要作出來 (3)平面與平面平行的性質(zhì) 夾在兩平行平面間的平行線段相等 (4)平面與平面平行的判定方法 依定義
13、，采用反證法 用判定定理 用 “垂直于同一條直線的兩個平面平行 ”這一性質(zhì)證明 如圖，已知 ABCD A1B1C1D1是棱長為 3的正方體， 點 E在 AA1上，點 F在 CC1上， G在 BB1上，且 AE FC1 B1G 1， H是 B1C1的中點 (1)求證： E， B， F， D1四點共面； (2)求證：平面 A1GH 平面 BED1F. （ 1）只需證明 BE D1F或 BF D1E,即可證明 B， E， D1， F （ 2）利用面面平行的判定條件證明 . 【 證明 】 (1) AE B1G 1， BG A1E 2， BG A
14、1E， A1G BE. 又同理， C1F B1G， 四邊形 C1FGB1是平行四邊形， FG C1B1 D1A1， 四邊形 A1GFD1是平行四邊形 A1G D1F， D1F EB， 故 E、 B、 F、 D1四點共面 (2) H是 B1C1的中點， B1H 又 B1G 1， 又 ，且 FCB GB1H 90 ， B1HG CBF， B1GH CFB FBG， HG FB. 又由 (1)知 A1G BE，且 HGA1G G， FBBE B， 平面 A1GH 平面 BED1F. 3在本例
15、中條件改為 “AE FC1 B1G ”其余不變，試證 明平面 A1HG 平面 BC1E. 證明： H、 G分別為 B1C1， BB1的中點， HG BC1. 又 G、 E分別為 BB1、 AA1中點， A1G BE， A1GHG G， BC1BE B， 平面 A1HG 平面 BC1E. 空間線線平行，線面平行，面面平行的判斷證明除在 客觀試題中以命題真假判斷形式出現(xiàn)外，多數(shù)在解答題中 考查，難度不大，一般利用判定定理或性質(zhì)定理即可證明 . （ 2009山東高考）如圖，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底 面 ABCD為等腰梯形， AB
16、CD， AB=4， BC=CD=2， AA1=2， E， E1分別是棱 AD， AA1的中點 (1)設(shè) F是棱 AB的中點，證明： 直線 EE1 平面 FCC1； (2)證明：平面 D1AC 平面 BB1C1C. 證明 (1)法一：取 A1B1的中點為 F1，連結(jié) FF1， C1F1， 由于 FF1 BB1 CC1，所以 F1 平面 FCC1， 因此平面 FCC1即為平面 C1CFF1. 連結(jié) A1D， F1C，由于 A1F1 D1C1 CD， 所以四邊形 A1DCF1為平行四邊形，因此 A1D F1C. 又 EE1 A1D，得 EE1 F1C， 而 EE1
17、平面 FCC1， F1C平面 FCC1， 故 EE1 平面 FCC1. 法二： 因為 F為 AB的中點， CD=2， AB=4， AB CD， 所以 CD AF，因此四邊形 AFCD為平行四邊形， 所以 AD FC. 又 CC1 DD1， FCCC1 C， FC平面 FCC1， CC1平面 FCC1， 所以平面 ADD1A1 平面 FCC1， 又 EE1平面 ADD1A1，所以 EE1 平面 FCC1. (2)連結(jié) AC，在 FBC中， FC BC FB， 又 F為 AB的中點，所以 AF=FC=FB， 因此 ACB 90 ，即 AC BC. 又 AC CC1，且 CC1BC C， 所以 AC 平面 BB1C1C， 而 AC平面 D1AC， 故平面 D1AC 平面 BB1C1C. (1)直線 EE1 平面 FCC1的證明條件中，忽視了充分條件一是 EE1平面 FCC1，二是 F1C平面 FCC1中導致失分 (2)兩個平面垂直的判定條件，只要找到平面的一條垂線即可， 本題中很多考生不會利用已知條件，得到 AC BC.
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