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1、專題七 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用主 干 知 識(shí) 梳 理熱 點(diǎn) 分 類 突 破真 題 與 押 題 3 高考對(duì)本節(jié)知識(shí)主要以解答題的形式考查以下兩個(gè)問題:1.以遞推公式或圖、表形式給出條件,求通項(xiàng)公式,考查用等差、等比數(shù)列知識(shí)分析問題和探究創(chuàng)新的能力,屬中檔題;2.通過分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題,考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,屬中檔題考情解讀 主干知識(shí)梳理1.數(shù)列求和的方法技巧(1)分組轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形,可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列,即先分別求和,然后再合并. (2)錯(cuò)位相減法這是
2、在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和,其中an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(3)倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,也就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序),當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有公式可提,并且剩余項(xiàng)的和易于求得,則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和. (4)裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形,將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或n項(xiàng)的差,通過相加過程中的相互抵消,最后只剩下有限項(xiàng)的和.這種方法,適用于求通項(xiàng)為 的數(shù)列的前n項(xiàng)和,其中an若為等差數(shù)列,則 . 常見的裂項(xiàng)公式: 2.數(shù)列應(yīng)用題的模型(1)等差模型:如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí),該模型是等差模型,
3、增加(或減少)的量就是公差.(2)等比模型:如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí),該模型是等比模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公比.(3)混合模型:在一個(gè)問題中同時(shí)涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型. (4)生長(zhǎng)模型:如果某一個(gè)量,每一期以一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少),同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加(或減少)時(shí),我們稱該模型為生長(zhǎng)模型.如分期付款問題,樹木的生長(zhǎng)與砍伐問題等.(5)遞推模型:如果容易找到該數(shù)列任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前n項(xiàng))間的遞推關(guān)系式,我們可以用遞推數(shù)列的知識(shí)來解決問題. 熱點(diǎn)一 分組轉(zhuǎn)化求和 熱點(diǎn)二 錯(cuò)位相減法求和 熱點(diǎn)三 裂項(xiàng)相消法求和熱點(diǎn)分類突破 熱點(diǎn)四 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)
4、用 例1等比數(shù)列an中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.熱點(diǎn)一 分組轉(zhuǎn)化求和第一列第二列第三列第一行3 2 10第二行6 4 14第三行9 8 18 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;思維啟迪 根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個(gè)推敲確定an的通項(xiàng)公式;解當(dāng)a13時(shí),不合題意;當(dāng)a12時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)a26,a318時(shí),符合題意;當(dāng)a110時(shí),不合題意.因此a 12,a26,a318,所以公比q3.故an23n1 (nN*). (2)若數(shù)列bn滿足:bnan(1)nln an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn. 思維啟迪 分組求和.解因?yàn)閎nan(1)nln
5、an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3,所以S n2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 在處理一般數(shù)列求和時(shí),一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和,在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列,哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列,清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時(shí),由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的,所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論,最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)公式.思維升華 變式訓(xùn)練1已知數(shù)列an中,a11,anan1( )n(
6、nN*).(1)求證:數(shù)列a2n與a2n1(nN*)都是等比數(shù)列;證明因?yàn)閍nan1( )n,an1an2( )n1,又a 11,a2 ,所以數(shù)列a1,a3,a2n1,是以1為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列;數(shù)列a2,a4,a2n,是以 為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列. (2)若數(shù)列an的前2n項(xiàng)和為T2n,令bn(3T2n)n(n1),求數(shù)列bn的最大項(xiàng). bn13(n1)(n2)( )n1,所以b1b4bn,所以(b n)maxb2b3 . 例2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a11,Sn12Snn1(nN*),(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;熱點(diǎn)二 錯(cuò)位相減法求和思維啟迪n1時(shí),Sn2Sn1n兩式相減
7、得an的遞推關(guān)系式,然后構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng); 解Sn12Snn1,當(dāng)n2時(shí),Sn2Sn1n,an12an1,an112(an1),又S22S12,a1S11,a n12n,即an2n1(nN*). (2)若bn ,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,nN*,證明:Tn0,前n項(xiàng)和為Sn,S36,且滿足a3a1,2a2,a8成等比數(shù)列.(1)求an的通項(xiàng)公式;熱點(diǎn)三 裂項(xiàng)相消法求和思維啟迪 利用方程思想可確定a,d,寫出an; 解由S36,得a22.a3a1,2a2,a8成等比數(shù)列,(2d)(26d)42,解得d1或d ,d0,d1.數(shù)列a n的通項(xiàng)公式為ann. (2)設(shè)bn ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn的值
8、.思維啟迪 利用裂項(xiàng)相消法求Tn. 裂項(xiàng)相消法適合于形如 形式的數(shù)列,其中an為等差數(shù)列.思維升華 變式訓(xùn)練3已知等差數(shù)列an是遞增數(shù)列,且滿足a4a715,a3a88.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;解根據(jù)題意a3a88a4a7,a4a715,所以a 4,a7是方程x28x150的兩根,且a480,當(dāng)n7時(shí),由于S6570, 因?yàn)閍n是遞減數(shù)列,所以An是遞減數(shù)列.所以必須在第九年年初對(duì)M更新. 解答數(shù)列應(yīng)用題,與函數(shù)應(yīng)用題的求解過程類似,一般要經(jīng)過三步:(1)建模,首先要認(rèn)真審題,理解實(shí)際背景,理清數(shù)學(xué)關(guān)系,把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題;(2)解模,利用所學(xué)的數(shù)列知識(shí),解決數(shù)列模型中的相關(guān)問題;(
9、3)釋模,把已解決的數(shù)列模型中的問題返回到實(shí)際問題中去,與實(shí)際問題相對(duì)應(yīng),確定問題的結(jié)果.思維升華 變式訓(xùn)練4設(shè)某商品一次性付款的金額為a元,以分期付款的形式等額地分成n次付清,若每期利率r保持不變,按復(fù)利計(jì)算,則每期期末所付款是() 解析設(shè)每期期末所付款是x元,則各次付款的本利和為x(1r)n1x(1r)n2x(1r)n3x(1r)xa(1r)n,答案B 本講規(guī)律總結(jié)1.數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項(xiàng)公式,這是做好該類題的關(guān)鍵.若是等差數(shù)列或等比數(shù)列,則直接運(yùn)用公式求解,否則常用下列方法求解:(2)遞推關(guān)系形如a n1anf(n),常用累加法求通項(xiàng). (3)遞推關(guān)系形如 f(n),常用累乘法
10、求通項(xiàng).(4)遞推關(guān)系形如“an1panq(p、q是常數(shù),且p1,q0)”的數(shù)列求通項(xiàng),常用待定系數(shù)法.可設(shè)an1p(an),經(jīng)過比較,求得,則數(shù)列an是一個(gè)等比數(shù)列.(5)遞推關(guān)系形如“an1panqn(q,p為常數(shù),且p1,q0)”的數(shù)列求通項(xiàng),此類型可以將關(guān)系式兩邊同除以q n轉(zhuǎn)化為類型(4),或同除以pn1轉(zhuǎn)為用迭加法求解. 2.數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型:(1)錯(cuò)位相減法求和時(shí),將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題求解.(2)并項(xiàng)求和時(shí),將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.(3)分組求和時(shí),將問題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法或并項(xiàng)法求和的幾個(gè)數(shù)列的和求解. 提醒:運(yùn)用錯(cuò)位相減
11、法求和時(shí),相減后,要注意右邊的n1項(xiàng)中的前n項(xiàng),哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列,以及兩邊需除以代數(shù)式時(shí)注意要討論代數(shù)式是否為零. 3.數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解析問題的能力.其中,建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心,在解題中的主要思路:首先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型,然后用相應(yīng)的通項(xiàng)公式與求和公式求解;通過歸納得到結(jié)論,再用數(shù)列知識(shí)求解. 真題感悟 押題精練真題與押題 真題感悟1.(2013湖南)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,Sn(1)nan ,nN*,則:(1)a3_;(2)S1S2S100_. 真題感悟解析anSnSn1 真題感悟根據(jù)以上an的關(guān)系式及遞推式可求. 真題感悟 真題感悟2.(20
12、14課標(biāo)全國(guó))已知數(shù)列an滿足a11,an13an1.(1)證明an 是等比數(shù)列,并求an的通項(xiàng)公式;證明(1)由an13an1, 真題感悟 真題感悟因?yàn)楫?dāng)n1時(shí),3n123n1, 真題感悟 押題精練1.如圖,一個(gè)類似楊輝三角的數(shù)陣,則第n(n2)行的第2個(gè)數(shù)為_. 押題精練解析由題意可知:圖中每行的第二個(gè)數(shù)分別為3,6,11,18,即a23,a36,a411,a518,a3a23,a4a35,a5a47,anan12n3,累加得:ana2357(2n3),ann22n3.答案n 22n3 押題精練2.秋末冬初,流感盛行,特別是甲型H 1N1流感.某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列an,已知a11,a22,且an2an1(1)n(nN*),則該醫(yī)院30天入院治療甲流共有_人. 押題精練解析由于an2an1(1)n,所以a1a3a291,a2,a4,a30構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列,所以a1a2a29a3015152 2255.故該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為255.答案255 押題精練3.已知數(shù)列bn滿足3(n1)bnnbn1,且b13.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;即數(shù)列b n的通項(xiàng)公式bnn3n. 押題精練 押題精練