高三數(shù)學 專題7 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課件 理.ppt

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1、專題七 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用主 干 知 識 梳 理熱 點 分 類 突 破真 題 與 押 題 3 高考對本節(jié)知識主要以解答題的形式考查以下兩個問題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項公式，考查用等差、等比數(shù)列知識分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題；2.通過分組、錯位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題考情解讀 主干知識梳理1.數(shù)列求和的方法技巧(1)分組轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并. (2)錯位相減法這是

2、在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(3)倒序相加法這是在推導等差數(shù)列前n項和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，當它與原數(shù)列相加時若有公式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和. (4)裂項相消法利用通項變形，將通項分裂成兩項或n項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和.這種方法，適用于求通項為 的數(shù)列的前n項和，其中an若為等差數(shù)列，則 . 常見的裂項公式： 2.數(shù)列應(yīng)用題的模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，

3、增加(或減少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比.(3)混合模型：在一個問題中同時涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型. (4)生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分數(shù)增加(或減少)，同時又以一個固定的具體量增加(或減少)時，我們稱該模型為生長模型.如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等.(5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項an與它的前一項an1(或前n項)間的遞推關(guān)系式，我們可以用遞推數(shù)列的知識來解決問題. 熱點一 分組轉(zhuǎn)化求和 熱點二 錯位相減法求和 熱點三 裂項相消法求和熱點分類突破 熱點四 數(shù)列的實際應(yīng)

4、用 例1等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.熱點一 分組轉(zhuǎn)化求和第一列第二列第三列第一行3 2 10第二行6 4 14第三行9 8 18 (1)求數(shù)列an的通項公式；思維啟迪 根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個推敲確定an的通項公式；解當a13時，不合題意；當a12時，當且僅當a26，a318時，符合題意；當a110時，不合題意.因此a 12，a26，a318，所以公比q3.故an23n1 (nN*). (2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項和Sn. 思維啟迪 分組求和.解因為bnan(1)nln

5、an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以S n2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3. 當n為偶數(shù)時，當n為奇數(shù)時， 在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數(shù)n進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式.思維升華 變式訓練1已知數(shù)列an中，a11，anan1( )n(

6、nN*).(1)求證：數(shù)列a2n與a2n1(nN*)都是等比數(shù)列；證明因為anan1( )n，an1an2( )n1，又a 11，a2 ，所以數(shù)列a1，a3，a2n1，是以1為首項， 為公比的等比數(shù)列；數(shù)列a2，a4，a2n，是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列. (2)若數(shù)列an的前2n項和為T2n，令bn(3T2n)n(n1)，求數(shù)列bn的最大項. bn13(n1)(n2)( )n1，所以b1b4bn，所以(b n)maxb2b3 . 例2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，Sn12Snn1(nN*)，(1)求數(shù)列an的通項公式；熱點二 錯位相減法求和思維啟迪n1時，Sn2Sn1n兩式相減

7、得an的遞推關(guān)系式，然后構(gòu)造數(shù)列求通項； 解Sn12Snn1，當n2時，Sn2Sn1n，an12an1，an112(an1)，又S22S12，a1S11，a n12n，即an2n1(nN*). (2)若bn ，數(shù)列bn的前n項和為Tn，nN*，證明：Tn0，前n項和為Sn，S36，且滿足a3a1,2a2，a8成等比數(shù)列.(1)求an的通項公式；熱點三 裂項相消法求和思維啟迪 利用方程思想可確定a，d，寫出an； 解由S36，得a22.a3a1,2a2，a8成等比數(shù)列，(2d)(26d)42，解得d1或d ，d0，d1.數(shù)列a n的通項公式為ann. (2)設(shè)bn ，求數(shù)列bn的前n項和Tn的值

8、.思維啟迪 利用裂項相消法求Tn. 裂項相消法適合于形如 形式的數(shù)列，其中an為等差數(shù)列.思維升華 變式訓練3已知等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，且滿足a4a715，a3a88.(1)求數(shù)列an的通項公式；解根據(jù)題意a3a88a4a7，a4a715，所以a 4，a7是方程x28x150的兩根，且a480，當n7時，由于S6570， 因為an是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列.所以必須在第九年年初對M更新. 解答數(shù)列應(yīng)用題，與函數(shù)應(yīng)用題的求解過程類似，一般要經(jīng)過三步：(1)建模，首先要認真審題，理解實際背景，理清數(shù)學關(guān)系，把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題；(2)解模，利用所學的數(shù)列知識，解決數(shù)列模型中的相關(guān)問題；(

9、3)釋模，把已解決的數(shù)列模型中的問題返回到實際問題中去，與實際問題相對應(yīng)，確定問題的結(jié)果.思維升華 變式訓練4設(shè)某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額地分成n次付清，若每期利率r保持不變，按復(fù)利計算，則每期期末所付款是() 解析設(shè)每期期末所付款是x元，則各次付款的本利和為x(1r)n1x(1r)n2x(1r)n3x(1r)xa(1r)n，答案B 本講規(guī)律總結(jié)1.數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項公式，這是做好該類題的關(guān)鍵.若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運用公式求解，否則常用下列方法求解：(2)遞推關(guān)系形如a n1anf(n)，常用累加法求通項. (3)遞推關(guān)系形如 f(n)，常用累乘法

10、求通項.(4)遞推關(guān)系形如“an1panq(p、q是常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項，常用待定系數(shù)法.可設(shè)an1p(an)，經(jīng)過比較，求得，則數(shù)列an是一個等比數(shù)列.(5)遞推關(guān)系形如“an1panqn(q，p為常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項，此類型可以將關(guān)系式兩邊同除以q n轉(zhuǎn)化為類型(4)，或同除以pn1轉(zhuǎn)為用迭加法求解. 2.數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)錯位相減法求和時，將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題求解.(2)并項求和時，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.(3)分組求和時，將問題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯位相減法或裂項相消法或并項法求和的幾個數(shù)列的和求解. 提醒：運用錯位相減

11、法求和時，相減后，要注意右邊的n1項中的前n項，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時注意要討論代數(shù)式是否為零. 3.數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學知識分析和解析問題的能力.其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心，在解題中的主要思路：首先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項公式與求和公式求解；通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識求解. 真題感悟 押題精練真題與押題 真題感悟1.(2013湖南)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，Sn(1)nan ，nN*，則：(1)a3_；(2)S1S2S100_. 真題感悟解析anSnSn1 真題感悟根據(jù)以上an的關(guān)系式及遞推式可求. 真題感悟 真題感悟2.(20

12、14課標全國)已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明an 是等比數(shù)列，并求an的通項公式；證明(1)由an13an1， 真題感悟 真題感悟因為當n1時，3n123n1， 真題感悟 押題精練1.如圖，一個類似楊輝三角的數(shù)陣，則第n(n2)行的第2個數(shù)為_. 押題精練解析由題意可知：圖中每行的第二個數(shù)分別為3,6,11,18，即a23，a36，a411，a518，a3a23，a4a35，a5a47，anan12n3，累加得：ana2357(2n3)，ann22n3.答案n 22n3 押題精練2.秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H 1N1流感.某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列an，已知a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，則該醫(yī)院30天入院治療甲流共有_人. 押題精練解析由于an2an1(1)n，所以a1a3a291，a2，a4，a30構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，所以a1a2a29a3015152 2255.故該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為255.答案255 押題精練3.已知數(shù)列bn滿足3(n1)bnnbn1，且b13.(1)求數(shù)列bn的通項公式；即數(shù)列b n的通項公式bnn3n. 押題精練 押題精練