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1、 第六節(jié)第六節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程一、空間直線方程一、空間直線方程 二、線面間的位置關系二、線面間的位置關系 第七七章 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線空間直線的一般方程空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程方向向量的定義：方向向量的定義：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱一條已知直線，這個向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量/二、空間直線的對稱式方程二、空間直線的對稱式方程 與參數(shù)方程與參數(shù)方程直線的對稱式方程直線的對稱式方程令令直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的余弦稱為方向向量
2、的余弦稱為直線的直線的方向余弦方向余弦.直線的參數(shù)式方程直線的參數(shù)式方程例例1求求經(jīng)過經(jīng)過兩點的兩點的直線方程。直線方程。解解因為直線過因為直線過兩點兩點因此可取因此可取作為直線的方向向量作為直線的方向向量由由點向式即得所求直線的方程為點向式即得所求直線的方程為直線的兩點式方程直線的兩點式方程例例2 2 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線解一解一用用點向式點向式在直線上任取一點在直線上任取一點取取解得解得點坐標點坐標因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取對稱式方程對稱式方程參數(shù)方程參數(shù)方程令令得得解得解得點坐標點坐標所求直線方程為所求直線
3、方程為參數(shù)方程參數(shù)方程解二解二用用兩點式兩點式已已求出一點求出一點再再求出一點求出一點兩式相加得兩式相加得代入方程組得代入方程組得即即對稱式方程對稱式方程解三解三由由解解所以交點為所以交點為取取所求直線方程所求直線方程由由以上幾例可見，求直線方程的思路、步驟：以上幾例可見，求直線方程的思路、步驟：兩定兩定定點、定向定點、定向例例4求過點求過點A(1,2,2),且通過直線且通過直線 L的的平面方程。平面方程。解解設設所求平面的法向量為所求平面的法向量為由由題設知點題設知點為為直線直線L上一點上一點其其方向向量方向向量由于所求平面通過點由于所求平面通過點A及及L由由點法式得所求平面方程為點法式得所
4、求平面方程為即即解解所給直線的參數(shù)方程為所給直線的參數(shù)方程為代入平面方程，得代入平面方程，得解得解得將將代入直線的參數(shù)方程，即得代入直線的參數(shù)方程，即得所求交點的坐標為所求交點的坐標為即即交點為交點為例例5求求直線直線與與平面平面的交點。的交點。定義定義直線直線直線直線兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角兩直線的位置關系：兩直線的位置關系：/直線直線直線直線例如，例如，解解設所求直線的方向向量為設所求直線的方向向量為根據(jù)題意知根據(jù)題意知取取所求直線的方程所求直線的方程解解先作一過點先作一過點M且與
5、已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 再求已知直線與該平面的交點再求已知直線與該平面的交點N,令令代入平面方程得代入平面方程得 ,交點交點取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為所求直線方程為所求直線方程為例例 求過點 M0(3,3,0)且與直線 l1:垂直相交的直線 l 的方程.解解：M0M1 l1 設所求直線 l 與 l1 的交點為M1(x1,y1,z1).則 M0M1 s1=(1,1,2).令 t+t+22t 6=0.t=1,得(x1,y1,z1)=(1,1,2).故直線方程為定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與
6、平面的夾角四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關系：位置關系：/解解為所求夾角為所求夾角五、平面束五、平面束設有直線設有直線考慮考慮其中其中因因不成比例不成比例故故不全不全為為 0從而從而表示一個平面表示一個平面若若一點一點在在上，上，滿足滿足 和和 的方程的方程則點則點的的坐標必同時坐標必同時則點則點的的坐標也滿足坐標也滿足因而因而表示過表示過 的平面的平面對于對于 的不同值的不同值表示過表示過 的所有平面的所有平面過過 的平面束的平面束一般在具體應用時，常取一般在具體應用時，常取而而考慮缺考慮缺 或或 的平面束的平面束
7、例例9求求直線直線在在平面平面上的上的投影直線的方程投影直線的方程分析分析過過所給直線作一平面與已知平面垂直，所給直線作一平面與已知平面垂直，兩平面的交線即為所求。兩平面的交線即為所求。解解 過所給直線的過所給直線的平面束平面束方程為方程為即即這這平面與已知平面垂直的條件是平面與已知平面垂直的條件是所求平面方程為所求平面方程為這這就是過已知直線且垂直于平面就是過已知直線且垂直于平面的的平面的方程平面的方程它與它與已知平面已知平面 的交線：的交線：即為即為所求的投影直線的方程。所求的投影直線的方程?？臻g直線的一般方程空間直線的一般方程.空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程.兩直線的夾角兩直線的夾角.直線與平面的夾角直線與平面的夾角.（注意兩直線的位置關系）（注意兩直線的位置關系）（注意直線與平面的位置關系）（注意直線與平面的位置關系）六、小結(jié)六、小結(jié) 作作 業(yè)業(yè) P335 3，4，5，7，9
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