高等數(shù)學(xué) 直線(xiàn)及其方程

第六節(jié)第六節(jié) 空間直線(xiàn)及其方程空間直線(xiàn)及其方程一、空間直線(xiàn)方程一、空間直線(xiàn)方程 二、線(xiàn)面間的位置關(guān)系二、線(xiàn)面間的位置關(guān)系 第七七章 定義定義空間直線(xiàn)可看成兩平面的交線(xiàn)空間直線(xiàn)可看成兩平面的交線(xiàn)空間直線(xiàn)的一般方程空間直線(xiàn)的一般方程一、空間直線(xiàn)的一般方程一、空間直線(xiàn)的一般方程方向向量的定義：方向向量的定義：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線(xiàn)，這個(gè)向量稱(chēng)一條已知直線(xiàn)，這個(gè)向量稱(chēng)為這條直線(xiàn)的為這條直線(xiàn)的方向向量方向向量/二、空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程二、空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程 與參數(shù)方程與參數(shù)方程直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程令令直線(xiàn)的一組直線(xiàn)的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的余弦稱(chēng)為方向向量的余弦稱(chēng)為直線(xiàn)的直線(xiàn)的方向余弦方向余弦.直線(xiàn)的參數(shù)式方程直線(xiàn)的參數(shù)式方程例例1求求經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程。直線(xiàn)方程。解解因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)兩點(diǎn)兩點(diǎn)因此可取因此可取作為直線(xiàn)的方向向量作為直線(xiàn)的方向向量由由點(diǎn)向式即得所求直線(xiàn)的方程為點(diǎn)向式即得所求直線(xiàn)的方程為直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程例例2 2 用對(duì)稱(chēng)式方程及參數(shù)方程表示直線(xiàn)用對(duì)稱(chēng)式方程及參數(shù)方程表示直線(xiàn)解一解一用用點(diǎn)向式點(diǎn)向式在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)取取解得解得點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)因所求直線(xiàn)與兩平面的法向量都垂直因所求直線(xiàn)與兩平面的法向量都垂直取取對(duì)稱(chēng)式方程對(duì)稱(chēng)式方程參數(shù)方程參數(shù)方程令令得得解得解得點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)所求直線(xiàn)方程為所求直線(xiàn)方程為參數(shù)方程參數(shù)方程解二解二用用兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式已已求出一點(diǎn)求出一點(diǎn)再再求出一點(diǎn)求出一點(diǎn)兩式相加得兩式相加得代入方程組得代入方程組得即即對(duì)稱(chēng)式方程對(duì)稱(chēng)式方程解三解三由由解解所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為取取所求直線(xiàn)方程所求直線(xiàn)方程由由以上幾例可見(jiàn)，求直線(xiàn)方程的思路、步驟：以上幾例可見(jiàn)，求直線(xiàn)方程的思路、步驟：兩定兩定定點(diǎn)、定向定點(diǎn)、定向例例4求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)A(1,2,2),且通過(guò)直線(xiàn)且通過(guò)直線(xiàn) L的的平面方程。平面方程。解解設(shè)設(shè)所求平面的法向量為所求平面的法向量為由由題設(shè)知點(diǎn)題設(shè)知點(diǎn)為為直線(xiàn)直線(xiàn)L上一點(diǎn)上一點(diǎn)其其方向向量方向向量由于所求平面通過(guò)點(diǎn)由于所求平面通過(guò)點(diǎn)A及及L由由點(diǎn)法式得所求平面方程為點(diǎn)法式得所求平面方程為即即解解所給直線(xiàn)的參數(shù)方程為所給直線(xiàn)的參數(shù)方程為代入平面方程，得代入平面方程，得解得解得將將代入直線(xiàn)的參數(shù)方程，即得代入直線(xiàn)的參數(shù)方程，即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為即即交點(diǎn)為交點(diǎn)為例例5求求直線(xiàn)直線(xiàn)與與平面平面的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。定義定義直線(xiàn)直線(xiàn)直線(xiàn)直線(xiàn)兩直線(xiàn)的方向向量的夾角稱(chēng)之兩直線(xiàn)的方向向量的夾角稱(chēng)之.（銳角）（銳角）兩直線(xiàn)的夾角公式兩直線(xiàn)的夾角公式三、兩直線(xiàn)的夾角三、兩直線(xiàn)的夾角兩直線(xiàn)的位置關(guān)系：兩直線(xiàn)的位置關(guān)系：/直線(xiàn)直線(xiàn)直線(xiàn)直線(xiàn)例如，例如，解解設(shè)所求直線(xiàn)的方向向量為設(shè)所求直線(xiàn)的方向向量為根據(jù)題意知根據(jù)題意知取取所求直線(xiàn)的方程所求直線(xiàn)的方程解解先作一過(guò)點(diǎn)先作一過(guò)點(diǎn)M且與已知直線(xiàn)垂直的平面且與已知直線(xiàn)垂直的平面 再求已知直線(xiàn)與該平面的交點(diǎn)再求已知直線(xiàn)與該平面的交點(diǎn)N,令令代入平面方程得代入平面方程得 ,交點(diǎn)交點(diǎn)取所求直線(xiàn)的方向向量為取所求直線(xiàn)的方向向量為所求直線(xiàn)方程為所求直線(xiàn)方程為例例 求過(guò)點(diǎn) M0(3,3,0)且與直線(xiàn) l1:垂直相交的直線(xiàn) l 的方程.解解：M0M1 l1 設(shè)所求直線(xiàn) l 與 l1 的交點(diǎn)為M1(x1,y1,z1).則 M0M1 s1=(1,1,2).令 t+t+22t 6=0.t=1,得(x1,y1,z1)=(1,1,2).故直線(xiàn)方程為定義定義直線(xiàn)和它在平面上的投影直線(xiàn)的夾直線(xiàn)和它在平面上的投影直線(xiàn)的夾角角 稱(chēng)為直線(xiàn)與平面的夾角稱(chēng)為直線(xiàn)與平面的夾角四、直線(xiàn)與平面的夾角四、直線(xiàn)與平面的夾角直線(xiàn)與平面的夾角公式直線(xiàn)與平面的夾角公式直線(xiàn)與平面的直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系：/解解為所求夾角為所求夾角五、平面束五、平面束設(shè)有直線(xiàn)設(shè)有直線(xiàn)考慮考慮其中其中因因不成比例不成比例故故不全不全為為 0從而從而表示一個(gè)平面表示一個(gè)平面若若一點(diǎn)一點(diǎn)在在上，上，滿(mǎn)足滿(mǎn)足 和和 的方程的方程則點(diǎn)則點(diǎn)的的坐標(biāo)必同時(shí)坐標(biāo)必同時(shí)則點(diǎn)則點(diǎn)的的坐標(biāo)也滿(mǎn)足坐標(biāo)也滿(mǎn)足因而因而表示過(guò)表示過(guò) 的平面的平面對(duì)于對(duì)于 的不同值的不同值表示過(guò)表示過(guò) 的所有平面的所有平面過(guò)過(guò) 的平面束的平面束一般在具體應(yīng)用時(shí)，常取一般在具體應(yīng)用時(shí)，常取而而考慮缺考慮缺 或或 的平面束的平面束例例9求求直線(xiàn)直線(xiàn)在在平面平面上的上的投影直線(xiàn)的方程投影直線(xiàn)的方程分析分析過(guò)過(guò)所給直線(xiàn)作一平面與已知平面垂直，所給直線(xiàn)作一平面與已知平面垂直，兩平面的交線(xiàn)即為所求。兩平面的交線(xiàn)即為所求。解解 過(guò)所給直線(xiàn)的過(guò)所給直線(xiàn)的平面束平面束方程為方程為即即這這平面與已知平面垂直的條件是平面與已知平面垂直的條件是所求平面方程為所求平面方程為這這就是過(guò)已知直線(xiàn)且垂直于平面就是過(guò)已知直線(xiàn)且垂直于平面的的平面的方程平面的方程它與它與已知平面已知平面 的交線(xiàn)：的交線(xiàn)：即為即為所求的投影直線(xiàn)的方程。所求的投影直線(xiàn)的方程。空間直線(xiàn)的一般方程空間直線(xiàn)的一般方程.空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程.兩直線(xiàn)的夾角兩直線(xiàn)的夾角.直線(xiàn)與平面的夾角直線(xiàn)與平面的夾角.（注意兩直線(xiàn)的位置關(guān)系）（注意兩直線(xiàn)的位置關(guān)系）（注意直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系）（注意直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系）六、小結(jié)六、小結(jié) 作作 業(yè)業(yè) P335 3，4，5，7，9