2023年考研數(shù)學(xué)真題及解析

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1、2023 年考研數(shù)學(xué)〔一〕真題 一、選擇題：1~8 小題，每題 4 分，共 32 分. 以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。 1. x ? 0+ 時(shí)，以下無(wú)窮小量中最高階是〔 〕 ( ) A. òx 0 et2 - 1 dt B. ò x ln(1+ 0 t3 )dt C. òsin x sin t2dt D. ò1-cos x sin t3 dt 0 【答案】 D  òx (et2  -1)dt  òx (et2 0 -1)dt 1 1 【解析】( A

2、) lim 0 x?0+ x3 = lim 0 x?0+ = ，可知 x ? 0+ ，òx (et2 -1)dt ~ x3 ， 3x2 3 0 3 ò x ln(1+ t3 )dt 2 x 2 5 (B) lim 0 = lim = ，可知ò ln(1+ t3 )dt ~ x 2 ， x ? 0+ x?0+ 5 ln(1+ x3 ) x 2 òsin x sin t 2dt x?0+ 2 3 5 0 5 x 2 5 (C) lim 0 = lim sin(sin2 x) ×cos x = lim cos x =

3、1 ，可知ò sin x 1 sin t2dt ~ x3 ， x?0+ x ? 0+ x3 ò 1-cos x x?0+ 10 2 sin t3 dt 3x2 x?0+ 3 3 0 3 sin3 (1- cos x) sin x (1- cos x)3 sin x 1 (D) lim 0 = lim = = ，可知 x?0+ 1-cos x x5 x?0+ 5x4 1 5x4 10 2 ò sin t3 dt ~ 0 x5 ， x ? 0+ 通過(guò)

4、比照， ò1-cos x 0 sin t3 dt 的階數(shù)最高，應(yīng)選(D) 2. 設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)有定義，且lim f (x)= 0 ，則〔 〕 x?0 x A. 當(dāng)lim f (x) = 0 ， f (x)在 x = 0 處可導(dǎo). x?0 x2 B. 當(dāng)lim x?0 f (x) = 0 ， f (x)在 x = 0 處可導(dǎo). x . C. 當(dāng) f (x)在 x = 0 處可導(dǎo)時(shí)， lim f (x) = 0 x?0 x2 . D. 當(dāng) f (x)在 x = 0 處可導(dǎo)時(shí)， lim f (x) =

5、 0 x?0 【答案】C 【解析】當(dāng) f (x) 在 x = 0 處可導(dǎo)時(shí)，由 f (0) = lim f (x)= 0 ，且 x x?0 f ￠(0) = lim f (x) - f (0)  = lim f (x) ，也即lim f (x) 存在，從而lim f (x) = 0 ，應(yīng)選C x?0 x - 0 x?0 x x?0 x x?0 n ′ (x, y, f (x, y ) x2 + y2 3. 設(shè)函數(shù) f (x, y) (0,0) f (0,0)= 0 ? ?f n =

6、?f ? , ,-1 d 在點(diǎn) 處可微， ， ? ?x ?y ÷ ( ) 非零向量 與 n × (x, y, f (x, y ) x2 + y2 n 垂直，則〔 〕 è ? 0,0 A. lim d × (x, y, f (x, y ) x2 + y2 (x, y )?(0,0) = 0 存在. B. lim d ′ (x, y, f (x, y ) x2 + y2 (x, y )?(0,0) = 0 存在. lim C. (x, y )?(0,0) = 0 存在. D. lim (x,

7、 y )?(0,0) = 0 . 【答案】 A 【解析】函數(shù) f (x, y)在點(diǎn)(0,0)處可微， f (0,0)= 0 ， x2 + y2 f (x, y) - f (0,0) - f ￠(0,0) x - f ￠(0,0) y lim x?0 y?0 x y x2 + y2 f (x, y) - f ￠(0,0) x - f ￠(0,0) y = 0 ， lim x?0 y?0 x y = 0 由于n ×(x, y, f (x, y))= f ￠(0,0) x + f ￠(0,0) y - f (x, y)，所

8、以 n × (x, y, f (x, y ) x2 + y2 x y lim (x, y )?(0,0) 4. 設(shè) R 為冪級(jí)數(shù)?￥ n=1 = 0 存在 a rn 的收斂半徑， r 是實(shí)數(shù)，則〔 〕 n A. ?￥ n=1 a rn 發(fā)散時(shí)， r 3 R . B. ?￥ n n=1 a rn 發(fā)散時(shí)， r ￡ R . n C. r 3 R 時(shí)， ?￥ n=1 a rn 發(fā)散. D. r ￡ R 時(shí)， ?￥ n n=1  a rn 發(fā)散. n 【答案】 A

9、 【解析】R 為?￥ n=1  a rn 的收斂半徑，所以?￥ n n=1  a rn 在(-R, R) 必收斂，所以?￥ n n=1  a rn 發(fā)散 n 時(shí)， r 3 R .應(yīng)選 A 5. 假設(shè)矩陣 A 經(jīng)初等列變換化成B ，則〔 A. 存在矩陣 P ，使得 PA = B . 〕 B.存在矩陣 P ，使得 BP = A . C.存在矩陣 P ，使得 PB = A . D. 方程組 Ax = 0 與 Bx = 0 同解. 【答案】B 【解析】 A 經(jīng)過(guò)初等列變換化成B ，存在可逆矩陣 P 使得

10、AP = B ,令 P-1 = P ，得出 A = BP ,應(yīng)選B x - a 6. 直線 L : 2 = 1 a 1  y - b 2 - c 2 = 2 b c 1 1 1 x - a 與直線 L : 3 = 2 a 2 1 1 y - b 2 - c 3 = 3 b c 2 2  相交于 éa ù a = ê i ú i 一點(diǎn)，法向量 i êb ú ， i = 1,2,3 . 則 ? ? êc ú i A. a 1 可由a , a

11、 2 3 線性表示. B. a 2 可由a , a 1 3 線性表示. C. a 可由a , a 線性表示. D. a , a , a 線性無(wú)關(guān). 3 1 2 1 2 3 【答案】C  ? x ? ? a ? ? a ? x - a = y - b 2 - c ? ÷ = ? 2 ÷ + ? 1 ÷ a +ta 【解析】令 L : 2 a 2 = 2 b c = t ，即有? y ÷ ? b ÷ t ? b ÷ = 2 1 ? ÷ ? 2 ÷ ? 1 ÷ 2 1

12、 1 1 1 1 ? x ? ? a ? ? a ? è z ? è c ? è c ? ? ÷ = ? 3 ÷ + ? 2 ÷ =a +ta a a = a a 由 L 方程得? y ÷ ? b ÷ t ? b ÷ ，兩條線相交，得 +t +t 2 ? z ÷ ? 3 ÷ ? 2 ÷ 3 2 2 1 3 2 3 2 è ? è c ? è c ? 即a +ta 2 1 - ta 2 = a ? ta 3 1 + (1- t)a 2 = a ，應(yīng)選C 3 7. 設(shè) A ， B

13、 ， C 為三個(gè)隨機(jī)大事，且P(A)= P(B)= P(C )= 1 ， P(AB)= 0 ， 4 P(AC )= P(BC )= 1 ，則 A ， B ， C 中恰有一個(gè)大事發(fā)生的概率為 12 3 2 1 5 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 12 【答案】 D 【解析】 P( ABC) = P( ABUC) = P( A) - P( A(BUC)) = P(A) - P(AB) - P(AC) + P(ABC) = 1 - 0 - 1 + 0 = 1 4 12 6 P(BAC) = P(BAUC) = P(B) - P(B( AUC))

14、 = P(B) - P( AB) - P(BC) + P( ABC) = 1 - 0 - 1 + 0 = 1 4 12 6 P(CAB) = P(C AUB) = P(B) - P(C( AUB)) = P(C) - P(CB) - P(CA) + P( ABC) = 1 - 1 - 1 + 0 = 1 4 12 12 12 所以 P( ABC) + P( ABC) + P( ABC) = 1 + 1 + 1 = 5 8. 設(shè) x , x 1 2  , , x n 6 6 12 12 為來(lái)自總體 X

15、的簡(jiǎn)潔隨機(jī)樣本，其中P(X = 0)= P(X = 1)= 1 ， 2 F(x)  表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則利用中心極限定理可得 P? ?100 X ? è i i=1 ? ￡ 55 ÷ 的近似值為 ? A. 1 - F(1). B. F(1). C.1 - F(0,2). D. F(0,2). 【答案】 B 【解析】由題意 EX = 1 ， DX = 1 ,依據(jù)中心極限定理?100 X ~ N (50, 25) 2 4 i , i=1 ??100 ? ? 100 ? ? i=1

16、 25 P ? X - 50 i ? ÷ 55 - 50 ÷ ￡ 所以 P? è X ￡ 55÷ = i ? ? = F(1) 25 ÷ i=1 ? ÷ è ? 二、填空題：9~14 小題，每題 2 分，共 24 分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上. é 1 1 ù 9. ê ( lim - ex - )ú = . x?0 ? 【答案】-1 1 ln 1 + x ? é 1 1 ù éln (1+ x)- ex +1ù ln (1+ x)- ex +1 【解析】lim ê x -

17、 ( )ú = lim ê x ( )ú = lim x?0 ? e -1 ln 1+ x ? x?0 ? (e -1)ln 1+ x ? 1 1 x?0 x2 ln (1+ x)- ex +1 x - x2 -1- x - x2 +1 2 2 = lim = lim = -1 x?0 x2 x?0 x2 í 10. 設(shè) ì? x =( t2 + 1 )，則 = . d 2 y dx2 ?? y = ln t + t2 + 1 2 【答案】- t =1 dy 【解析】 1 dy d

18、t dx dt 1+ t 2 = = = 1 dx t t t 2 +1 d ? dy ? d ? dy ? ? ÷ ? ÷ 1 t 2 +1 t 2 +1 d 2 y = è dx ? = è dt ? dt = - = - dx2 dx dt dx t 2 t t3 d 2 y dx2 2 得 = - t =1 ò+￥ 0 11. 假設(shè)函數(shù) f (x)滿足 f ￠(x)+ af ￠(x)+ f (x)= 0(a > 0)，且 f (0)= m ， f ￠(0)= n ，則 f (x)dx

19、= . 【答案】n + am 【解析】特征方程l2 + al +1 = 0 ，則l + l 1 2  = -a, l ×l 1 2  = 1，所以兩個(gè)特征根都是負(fù)的。 ò+￥ f (x)dx = -ò+￥ [ f ￠(x) + af ￠( x)]dx = -[ f ￠(x) + af ( x)] +￥ = n + am 0 12. 設(shè)函數(shù) f 0 (x, y )= ò  xy ext  2dt ，則 0 ?2 f ?x?y ( ) = . 【答案】4e ?f 0

20、 2 ?2 f 1,1 【解析】 = ex( xy ) × x ， = ex ( xy )2 × x = 3x3ex3 y2 + ex3 y2 ， ( ) = 4e ?y ?y?x 1,1 ?2 f ?x?y a 0 13. 行列式 0 - 1 1 a 1 - 1 = . - 1 1 a 0 1 - 1 0 a 【答案】a4 - 4a2 【解析】 a 0 -1 1 1 -1 0 a 1 -1 0 a 1 -1 0 a -1 1 a 0

21、-1 1 a 0 0 0 a a 0 0 1 1 1 -1 0 a a 0 -1 1 0 a -1 1- a2 0 0 -2 2 - a2 0 a 1 -1 = - 0 a 1 -1 = - 0 a 1 -1 = -a 0 a 1 -1 1 -1 0 a = -a 0 a 1 0 0 1 -1 = -a [(a)]é?(4 - a2 )ù? = a4 - 4a2 1 0 0 -2 2 - a2 ? p 14. 設(shè) x 服從區(qū)間?- , p ? 上的均勻分

22、布，Y = sin X ，則Cov(X ,Y )= . ÷ è 2 2 ? 2 【答案】 p  - ì 1 p ? ?  < x < p 【解析】 f (x) = íp 2 2 2 2 2 ??0 其他 2 Cov(X ,Y )= EXY - EXEY=òp 1 x sin xdx -òp 1 xdxòp 1 sin xdx = òp 1 x sin xdx = 2 -p p 2 -p p 2 -p p 2 -p p p 2 三、解答題：1

23、5~23 小題，共 94 分. 請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上. 解答寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 15. 〔此題總分值 10 分〕 求函數(shù) f (x, y )= x3 + 8 y3 - xy 的極值. 【答案】- 1 216 ì?f ? ?x 【解析】令í? f = 3x2 - y = 0 ìx = 1 ìx = 0 ? 6 得出í 或í ? = 24 y2 - x = 0 ? y = 0 ? y = 1 ?? ?y ?2 f = 6x = A, ?2 f = -1 = B, ?2 f ?? 12

24、= 48 y = C ?x2 ?x?y ?y2 當(dāng) x = 0, y = 0 時(shí)， AC - B2 < 0 當(dāng) x = , y = 時(shí), A = 1,B = -1,C = 4 , AC - B2 > 0 1 1 6 12 1 1 ? 1 ?3 ? 1 ?3 1 1 所以 f ( , ) = ? ÷ + 8? ÷ - 6 × = - 6 12 è 6 ? è 12 ? 12 216 16. 〔此題總分值 10 分〕 4x - y x + y 計(jì)算曲線積分 I = ò dx + dy ，其中 L 是 x2 + y

25、2 = 2 ，方向?yàn)槟鏁r(shí)針 L 4x2 + y2 4x2 + y 方向. 【答案】p 【解析】 P =  4x - y  , Q =  x + y ?Q ，且  = ?P  = -4x2 + y2 - 8xy 4x2 + y2 4x2 + y ?x ?y (4 x2 + y2 )2 取逆時(shí)針?lè)较?L 1 4x2 + y2 = x 2 ，則 I = ò 4x - y dx + x + y = ò 4x - y dx + x + y

26、 dy + ò 4x - y dx + x + y dy L 4x2 + y2 4x2 + y L-L 4x2 + y2 4x2 + y L 4x2 + y2 4x2 + y 1 1 ò 4x - y = dx + x + y 1 ò dy = (4x - y)dx + (x + y)dy = 2 òòdxdy = 2 p x x = p ? 1 L 4x2 + y2 4x2 + y x 2 L 1 x 2 x 2 2 D 2 n ? ÷

27、 17. 〔此題總分值 10 分〕 設(shè)數(shù)列{a }滿足a = 1，(n +1)a = ? n + 1 ? a ，證明：當(dāng) x < 1時(shí)冪級(jí)數(shù)?￥  a xn 收 n 1 斂，并求其和函數(shù). n +1 è ? n n=1 【解析】依據(jù)(n +1)a  n +1 = ? n + 1 ? a T r = lim 2 ? ÷ è ? n n?￥  = lim = 1 a n+1 a n n + 1 2 n +1 n?￥ 所以收斂半徑為 R = 1 =1，所以當(dāng) x < 1時(shí)冪

28、級(jí)數(shù)?￥ r n=1  a xn 收斂。 n 令s(x) = ?￥ a xn ， s￠(x) = ?￥ n na xn-1 = ?￥ n (n +1)a  xn n+1 = a + ?￥ 1 (n +1)a  xn n+1 = 1+ ?￥ (n + 1)a xn 2 n n=1 n=1 n=0 n=1 n=1 1 = 1+ ?￥ na xn + ?￥ 1 a xn = 1+ x?￥ na xn-1 + s(x) n 2 n n=1 n=1 n 2 n=1 所以

29、 s￠(x) = 1+ xs￠(x) + 1 s(x) 整理為(1- x)s￠(x) - 1 s(x) = 1 ，即 2 2 s￠(x) - 1 1 s(x) = 1 ，解得 s(x) = -2 + c ，依據(jù)s(0) = 2 ，得出 2 (1- x) (1- x) 1- x 1- x s(x) = -2 + 2 18. 〔此題總分值 10 分〕 x2 + y2 設(shè)S 為由面 Z =  1 ￡ x2 + y2 ￡ 4 )的下側(cè)， f (x)  是連續(xù)函數(shù)，計(jì)算 ( I = òò é?xf (

30、xy)+ 2x - yù?dydz + é? yf (xy)+ 2 y + xù? dzdx + é?zf (xy)+ zù? dxdy . S 【答案】 14p 3 【解析】 Z￠ = x x , Z￠ = y x2 + y2 x2 + y2 y òò{ } I = òò ?é xf (xy )+ 2x - yù?dydz + é? yf (xy )+ 2 y + xù? dzdx + é? zf (xy )+ z ù? dxdy S { = é? xf (xy )+ 2x - yù? (Z ￠ ) +

31、é? yf (xy )+ 2 y + xù? (Z ￠ ) - é? zf (xy )+ z ù?}dxdy x y D xy x2 + y2 = òò x2 + y2 é? f (xy )+ 2ù? - é f (xy )+ x2 + y2 ù dxdy D xy 2p 2 ? ? 14p = òò x2 + y2 dxdy = ò dq ò r 2 dr = 0 1 3 D xy { } 19. 〔此題總分值 10 分〕 設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間[0,2]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)， f (0)

32、= f (2)= 0 ， M = max f (x) ， x?(0,2 ) 證明：〔1〕存在x ? (0,2)，使得 f ￠(x )3 M ；〔2〕假設(shè)對(duì)任意的 x ? (0,2)， f ￠(x) ￡ M ，則 M = 0 . 【解析】〔1〕由 M = max{f (x)}，假設(shè) f (c) = M x?(0,2 ) 假設(shè)c ?[0,1]，則在[0,c] 使用拉格朗日，得 f ￠(x ) = f (c) - f (0) = f (c) = M 3 M c - 0 c c f (2) - f (c) 2 - c 假設(shè)c ?[1,2]，則在

33、[c,2] 使用拉格朗日，得 f ￠(x ) = 綜上所述，存在x ? (0,2)，使得 f ￠(x )3 M = = 3 M - f (c) 2 - c -M 2 - c (2)假設(shè) M > 0 ，則 f (c) - f (0) = òc f ￠(x)dx ￡ òc f ￠(x) dx ￡ òc Mdx ￡ Mc 0 0 0 f (2) - f (c) = ò2 f ￠(x)dx ￡ ò2 f ￠(x) dx ￡ ò2 Mdx ￡ M (2 - c) c c c 則2M < Mc + M (2 - c) = 2M ，假設(shè)不

34、成立，所以M = 0 . 20. 〔此題總分值 11 分〕 ( ) ? x ? ? y ? è 設(shè)二次型 f x , x = x2 + 4x x + 4x2 經(jīng)正交變換? 1 ÷ = Q? 1 ÷ 化為二次型 2 1 2 1 1 2 2 x ? è y ? 2 g(y , y )= ay 2 + 4 y y + by 2 ，其中a 3 b . 1 2 1 1 2 2 (1) 求a ， b 的值；(2)求正交矩陣Q . ìa = 4 = 【答案】(1) í , ?b 1  ? 1

35、 -2? 【解析】(1) f = xT Ax ，其中 A = ? -2 4 ÷ ,經(jīng)過(guò)正交變換 x = Qy ， è ? ? a 2 ? f = (Qy)T A(Qy) = yT (QT AQ) y = yT By ,其中 B = ? 2 b ÷ ，其中 B = QT AQ ， è ? ìtr(A) = tr(B) ìa = 4 = 所以 A, B 相像且合同，故í ?| A | | B | ，得出í = ?b 1 (2) 設(shè) P-1 AP = ù, P -1BP = ù ,則(PP -1 ) A(PP -1 ) = B ，所以Q =

36、 PP -1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 lE - A = l -1 2 ，得出l = 0, l = 5 2 l - 4 1 2 ? -1 2 ? ? 1 -2? ? 2 ? (0E - A) = ? 2 -4÷ ? ? 0 0 ÷，故x = ? ÷ 1 1 è ? è ? è ? (5E - A) = ? 4 2? ? ? 2 1? ，故x = ?1 ? ，故 P = ? 2 1 ? ? ÷ ? ÷ ? ÷ ? ÷ è 2 1 ? è 0 0? 2 è -2? 1 è 1 -2 ? ? -4 -2? ? 2 1 ?

37、 ?1 ? (0E - B) = ? -2 -1÷ ? ? 0 0÷ ，故b 1 = ? -2÷ è ? è ? è ? ? 1 -2? ? 1 -2? ? 2 ? ? 1 2? (5E - B) = ? -2 4 ÷ ? ? 0 0 ÷ ，故b = ?1 ÷ ，故 P = ? -2 1 ÷ è 故Q = PP -1 1 2  ? 4 ? = ? 5 ? - 3 è 5 ? è ? 5 ÷ - 3 ? ÷ 4 ÷ 5 ? 2 è ? 2 è ? 21. 〔此題總分值 11

38、 分〕 設(shè) A 為 2 階矩陣， P = (a, Aa )，其中a 是非零向量且不是 A 的特征向量. （1） 證明 P 為可逆矩陣； （2） 假設(shè) A2a + Aa - 6a = 0 ，求 P-1 AP ，并推斷 A 是否相像于對(duì)角矩陣. 【解析】(1) a 是非零向量且不是 A 的特征向量.,則 Aa 1 ka ，所以 Aa 與a 線性無(wú)關(guān)， 所以r(P) = 2 ，即 P 為可逆矩陣。 (2)由 A2a + Aa - 6a = 0 ，即( A2 + A - 6E)a = 0 ，a 是非零向量，所以 ( A2 + A - 6E)x = 0 有非零解，故A2 + A - 6E

39、 = 0 ，即( A + 3E)( A - 2E) = 0 得(A + 3E) = 0或( A - 2E) = 0 ，假設(shè)( A + 3E) 1 0 ，則有( A - 2E)a = 0 ，得出 Aa = 2a ， 與題意沖突，故 A + 3E = 0 ，同理可得A - 2E = 0 ，特征值為 3,2，所以可以對(duì)角化。 22. 〔此題總分值 11 分〕 設(shè)隨機(jī)變量 X , X , X 1 2 3 相互獨(dú)立，其中 X 與 X 1 2 均聽(tīng)從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X 3 的概率分布 為 P{X 3 = 0}= P{X 3 = 1}= 1 ，Y

40、= X X 2 3 1 + (1 - X )X . 3 2 （1） 求二維隨機(jī)變量(X ,Y )的分布函數(shù)，結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)F(x)表示. 1 （2） 證明隨機(jī)變量Y 聽(tīng)從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. ì 1 F(x)[1+ F( y)], x ￡ y ? 2 【答案】(1) í 1 ? ?? 2 F( y)[1+ F(x)], x > y 【解析】 F(x, y) = P{X 1 ￡ x,Y ￡ y} = P{X 1 ￡ x, X X 3 1 + (1- X )X 3 2 ￡ y} P{X 3

41、= 0}P{X 1 ￡ x, X X 3 1 + (1- X )X 3 2 ￡ y | X 3 = 0}+ P{X 3 =1}P{X 1 ￡ x, X X 3 1 + (1- X )X 3 2 ￡ y | X 3 =1} 1 P{X 2 1 ￡ x, X 2 ￡ y} + 1 P{X 2 1 ￡ x, X 1 ￡ y} = 1 F(x)F( y) + 1 F(min(x, y)) 2 2 ì 1 F(x)[1+ F( y)], x ￡ y ? 2 1 í ? ? F( y)[1

42、+ F(x)], x > y ? 2 〔2〕 F Y (y) ) = P{Y ￡ y} = P{X X 3 1 + (1- X )X 3 2 ￡ y} = P{X 3 = 0}P{X X 3 1 + (1- X )X 3 2 ￡ y X 3 = 0}+ P{X 3 = 1}P{X X 3 1 + (1- X )X 3 2 ￡ y X 3 = 1} = 1 P{X 2 2 ￡ y} + 1 P{X 2 1 ￡ y} = 1 F( y) + 1 F( y) = F( y) 2

43、 2 23. 〔此題總分值 11 分〕 設(shè)某種元件的使用壽命T 的分布函數(shù)為 ì ? t ?m F (t )= ?1 - e-? q÷ , t 3 0, í è ? ?? 0, 其他. 其中q ， m 為參數(shù)且大于零. （1） 求概率 P{T > t}與 P{T > S + t T > S}，其中 S > 0 ， t > 0 . （2） 任取n 個(gè)這種元件做壽命試驗(yàn)，測(cè)得它們的壽命分別為t , t 1 2 , , t n ，假設(shè)m ，求 q . q 的最大似然估量值ù -? t ?m è ? 【答案】(1) P{T

44、> t}= 1- F(t) = e  ?q÷  ， P{T > S + t T > S}= e  -? t ?m è ? ?q÷ m n 1 ?n t m i i=1 (2) qù = í q m q è ? ì mtm-1 -? t ?m 【解析】(2)求得概率密度為 f (t) = ? e ? ÷ t 3 0 ? ?0 t＜0 - 1 ?n t m 構(gòu)造最大似然函數(shù)為L(zhǎng) (q )= mn (t t 1 2 t )m-1q - nme qm n i i=1 取對(duì)數(shù)ln L (q )= n ln m + (m -1)ln(t t 1 2 d ln L (q ) nm 1 ?n t ) - nm lnq - 1 n q m m n 1 ?n t m i i=1 ù  ?n t m i i=1 求導(dǎo)可得 = - - +m dq q q m+1 t m i i=1 = 0 ，解出q =