2023年考研數(shù)學(xué)真題及解析

2023 年考研數(shù)學(xué)〔一〕真題 一、選擇題：1~8 小題，每題 4 分，共 32 分. 以下每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的，請將選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。 1. x ® 0+ 時，以下無窮小量中最高階是〔 〕 ( ) A. òx 0 et2 - 1 dt B. ò x ln(1+ 0 t3 )dt C. òsin x sin t2dt D. ò1-cos x sin t3 dt 0 【答案】 D  òx (et2  -1)dt  òx (et2 0 -1)dt 1 1 【解析】( A) lim 0 x®0+ x3 = lim 0 x®0+ = ，可知 x ® 0+ ，òx (et2 -1)dt ~ x3 ， 3x2 3 0 3 ò x ln(1+ t3 )dt 2 x 2 5 (B) lim 0 = lim = ，可知ò ln(1+ t3 )dt ~ x 2 ， x ® 0+ x®0+ 5 ln(1+ x3 ) x 2 òsin x sin t 2dt x®0+ 2 3 5 0 5 x 2 5 (C) lim 0 = lim sin(sin2 x) ×cos x = lim cos x = 1 ，可知ò sin x 1 sin t2dt ~ x3 ， x®0+ x ® 0+ x3 ò 1-cos x x®0+ 10 2 sin t3 dt 3x2 x®0+ 3 3 0 3 sin3 (1- cos x) sin x (1- cos x)3 sin x 1 (D) lim 0 = lim = = ，可知 x®0+ 1-cos x x5 x®0+ 5x4 1 5x4 10 2 ò sin t3 dt ~ 0 x5 ， x ® 0+ 通過比照， ò1-cos x 0 sin t3 dt 的階數(shù)最高，應(yīng)選(D) 2. 設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)有定義，且lim f (x)= 0 ，則〔 〕 x®0 x A. 當(dāng)lim f (x) = 0 ， f (x)在 x = 0 處可導(dǎo). x®0 x2 B. 當(dāng)lim x®0 f (x) = 0 ， f (x)在 x = 0 處可導(dǎo). x . C. 當(dāng) f (x)在 x = 0 處可導(dǎo)時， lim f (x) = 0 x®0 x2 . D. 當(dāng) f (x)在 x = 0 處可導(dǎo)時， lim f (x) = 0 x®0 【答案】C 【解析】當(dāng) f (x) 在 x = 0 處可導(dǎo)時，由 f (0) = lim f (x)= 0 ，且 x x®0 f ¢(0) = lim f (x) - f (0)  = lim f (x) ，也即lim f (x) 存在，從而lim f (x) = 0 ，應(yīng)選C x®0 x - 0 x®0 x x®0 x x®0 n ´ (x, y, f (x, y ) x2 + y2 3. 設(shè)函數(shù) f (x, y) (0,0) f (0,0)= 0 æ ¶f n = ¶f ö , ,-1 d 在點(diǎn) 處可微， ， ç ¶x ¶y ÷ ( ) 非零向量 與 n × (x, y, f (x, y ) x2 + y2 n 垂直，則〔 〕 è ø 0,0 A. lim d × (x, y, f (x, y ) x2 + y2 (x, y )®(0,0) = 0 存在. B. lim d ´ (x, y, f (x, y ) x2 + y2 (x, y )®(0,0) = 0 存在. lim C. (x, y )®(0,0) = 0 存在. D. lim (x, y )®(0,0) = 0 . 【答案】 A 【解析】函數(shù) f (x, y)在點(diǎn)(0,0)處可微， f (0,0)= 0 ， x2 + y2 f (x, y) - f (0,0) - f ¢(0,0) x - f ¢(0,0) y lim x®0 y®0 x y x2 + y2 f (x, y) - f ¢(0,0) x - f ¢(0,0) y = 0 ， lim x®0 y®0 x y = 0 由于n ×(x, y, f (x, y))= f ¢(0,0) x + f ¢(0,0) y - f (x, y)，所以 n × (x, y, f (x, y ) x2 + y2 x y lim (x, y )®(0,0) 4. 設(shè) R 為冪級數(shù)å¥ n=1 = 0 存在 a rn 的收斂半徑， r 是實(shí)數(shù)，則〔 〕 n A. å¥ n=1 a rn 發(fā)散時， r ³ R . B. å¥ n n=1 a rn 發(fā)散時， r £ R . n C. r ³ R 時， å¥ n=1 a rn 發(fā)散. D. r £ R 時， å¥ n n=1  a rn 發(fā)散. n 【答案】 A 【解析】R 為å¥ n=1  a rn 的收斂半徑，所以å¥ n n=1  a rn 在(-R, R) 必收斂，所以å¥ n n=1  a rn 發(fā)散 n 時， r ³ R .應(yīng)選 A 5. 假設(shè)矩陣 A 經(jīng)初等列變換化成B ，則〔 A. 存在矩陣 P ，使得 PA = B . 〕 B.存在矩陣 P ，使得 BP = A . C.存在矩陣 P ，使得 PB = A . D. 方程組 Ax = 0 與 Bx = 0 同解. 【答案】B 【解析】 A 經(jīng)過初等列變換化成B ，存在可逆矩陣 P 使得 AP = B ,令 P-1 = P ，得出 A = BP ,應(yīng)選B x - a 6. 直線 L : 2 = 1 a 1  y - b 2 - c 2 = 2 b c 1 1 1 x - a 與直線 L : 3 = 2 a 2 1 1 y - b 2 - c 3 = 3 b c 2 2  相交于 éa ù a = ê i ú i 一點(diǎn)，法向量 i êb ú ， i = 1,2,3 . 則 ë û êc ú i A. a 1 可由a , a 2 3 線性表示. B. a 2 可由a , a 1 3 線性表示. C. a 可由a , a 線性表示. D. a , a , a 線性無關(guān). 3 1 2 1 2 3 【答案】C  æ x ö æ a ö æ a ö x - a = y - b 2 - c ç ÷ = ç 2 ÷ + ç 1 ÷ a +ta 【解析】令 L : 2 a 2 = 2 b c = t ，即有ç y ÷ ç b ÷ t ç b ÷ = 2 1 ç ÷ ç 2 ÷ ç 1 ÷ 2 1 1 1 1 1 æ x ö æ a ö æ a ö è z ø è c ø è c ø ç ÷ = ç 3 ÷ + ç 2 ÷ =a +ta a a = a a 由 L 方程得ç y ÷ ç b ÷ t ç b ÷ ，兩條線相交，得 +t +t 2 ç z ÷ ç 3 ÷ ç 2 ÷ 3 2 2 1 3 2 3 2 è ø è c ø è c ø 即a +ta 2 1 - ta 2 = a Û ta 3 1 + (1- t)a 2 = a ，應(yīng)選C 3 7. 設(shè) A ， B ， C 為三個隨機(jī)大事，且P(A)= P(B)= P(C )= 1 ， P(AB)= 0 ， 4 P(AC )= P(BC )= 1 ，則 A ， B ， C 中恰有一個大事發(fā)生的概率為 12 3 2 1 5 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 12 【答案】 D 【解析】 P( ABC) = P( ABUC) = P( A) - P( A(BUC)) = P(A) - P(AB) - P(AC) + P(ABC) = 1 - 0 - 1 + 0 = 1 4 12 6 P(BAC) = P(BAUC) = P(B) - P(B( AUC)) = P(B) - P( AB) - P(BC) + P( ABC) = 1 - 0 - 1 + 0 = 1 4 12 6 P(CAB) = P(C AUB) = P(B) - P(C( AUB)) = P(C) - P(CB) - P(CA) + P( ABC) = 1 - 1 - 1 + 0 = 1 4 12 12 12 所以 P( ABC) + P( ABC) + P( ABC) = 1 + 1 + 1 = 5 8. 設(shè) x , x 1 2  , , x n 6 6 12 12 為來自總體 X 的簡潔隨機(jī)樣本，其中P(X = 0)= P(X = 1)= 1 ， 2 F(x)  表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則利用中心極限定理可得 Pæ å100 X ç è i i=1 ö £ 55 ÷ 的近似值為 ø A. 1 - F(1). B. F(1). C.1 - F(0,2). D. F(0,2). 【答案】 B 【解析】由題意 EX = 1 ， DX = 1 ,依據(jù)中心極限定理å100 X ~ N (50, 25) 2 4 i , i=1 æå100 ö æ 100 å ç i=1 25 P ç X - 50 i ö ÷ 55 - 50 ÷ £ 所以 Pç è X £ 55÷ = i ø ç = F(1) 25 ÷ i=1 ç ÷ è ø 二、填空題：9~14 小題，每題 2 分，共 24 分.請將解答寫在答題紙指定位置上. é 1 1 ù 9. ê ( lim - ex - )ú = . x®0 ë 【答案】-1 1 ln 1 + x û é 1 1 ù éln (1+ x)- ex +1ù ln (1+ x)- ex +1 【解析】lim ê x - ( )ú = lim ê x ( )ú = lim x®0 ë e -1 ln 1+ x û x®0 ë (e -1)ln 1+ x û 1 1 x®0 x2 ln (1+ x)- ex +1 x - x2 -1- x - x2 +1 2 2 = lim = lim = -1 x®0 x2 x®0 x2 í 10. 設(shè) ìï x =( t2 + 1 )，則 = . d 2 y dx2 ïî y = ln t + t2 + 1 2 【答案】- t =1 dy 【解析】 1 dy dt dx dt 1+ t 2 = = = 1 dx t t t 2 +1 d æ dy ö d æ dy ö ç ÷ ç ÷ 1 t 2 +1 t 2 +1 d 2 y = è dx ø = è dt ø dt = - = - dx2 dx dt dx t 2 t t3 d 2 y dx2 2 得 = - t =1 ò+¥ 0 11. 假設(shè)函數(shù) f (x)滿足 f ¢(x)+ af ¢(x)+ f (x)= 0(a > 0)，且 f (0)= m ， f ¢(0)= n ，則 f (x)dx = . 【答案】n + am 【解析】特征方程l2 + al +1 = 0 ，則l + l 1 2  = -a, l ×l 1 2  = 1，所以兩個特征根都是負(fù)的。 ò+¥ f (x)dx = -ò+¥ [ f ¢(x) + af ¢( x)]dx = -[ f ¢(x) + af ( x)] +¥ = n + am 0 12. 設(shè)函數(shù) f 0 (x, y )= ò  xy ext  2dt ，則 0 ¶2 f ¶x¶y ( ) = . 【答案】4e ¶f 0 2 ¶2 f 1,1 【解析】 = ex( xy ) × x ， = ex ( xy )2 × x = 3x3ex3 y2 + ex3 y2 ， ( ) = 4e ¶y ¶y¶x 1,1 ¶2 f ¶x¶y a 0 13. 行列式 0 - 1 1 a 1 - 1 = . - 1 1 a 0 1 - 1 0 a 【答案】a4 - 4a2 【解析】 a 0 -1 1 1 -1 0 a 1 -1 0 a 1 -1 0 a -1 1 a 0 -1 1 a 0 0 0 a a 0 0 1 1 1 -1 0 a a 0 -1 1 0 a -1 1- a2 0 0 -2 2 - a2 0 a 1 -1 = - 0 a 1 -1 = - 0 a 1 -1 = -a 0 a 1 -1 1 -1 0 a = -a 0 a 1 0 0 1 -1 = -a [(a)]éë(4 - a2 )ùû = a4 - 4a2 1 0 0 -2 2 - a2 æ p 14. 設(shè) x 服從區(qū)間ç- , p ö 上的均勻分布，Y = sin X ，則Cov(X ,Y )= . ÷ è 2 2 ø 2 【答案】 p  - ì 1 p ï ?  < x < p 【解析】 f (x) = íp 2 2 2 2 2 ïî0 其他 2 Cov(X ,Y )= EXY - EXEY=òp 1 x sin xdx -òp 1 xdxòp 1 sin xdx = òp 1 x sin xdx = 2 -p p 2 -p p 2 -p p 2 -p p p 2 三、解答題：15~23 小題，共 94 分. 請將解答寫在答題紙指定位置上. 解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15. 〔此題總分值 10 分〕 求函數(shù) f (x, y )= x3 + 8 y3 - xy 的極值. 【答案】- 1 216 ì¶f ï ¶x 【解析】令í¶ f = 3x2 - y = 0 ìx = 1 ìx = 0 ï 6 得出í 或í ï = 24 y2 - x = 0 î y = 0 ï y = 1 ïî ¶y ¶2 f = 6x = A, ¶2 f = -1 = B, ¶2 f ïî 12 = 48 y = C ¶x2 ¶x¶y ¶y2 當(dāng) x = 0, y = 0 時， AC - B2 < 0 當(dāng) x = , y = 時, A = 1,B = -1,C = 4 , AC - B2 > 0 1 1 6 12 1 1 æ 1 ö3 æ 1 ö3 1 1 所以 f ( , ) = ç ÷ + 8ç ÷ - 6 × = - 6 12 è 6 ø è 12 ø 12 216 16. 〔此題總分值 10 分〕 4x - y x + y 計算曲線積分 I = ò dx + dy ，其中 L 是 x2 + y2 = 2 ，方向?yàn)槟鏁r針 L 4x2 + y2 4x2 + y 方向. 【答案】p 【解析】 P =  4x - y  , Q =  x + y ¶Q ，且  = ¶P  = -4x2 + y2 - 8xy 4x2 + y2 4x2 + y ¶x ¶y (4 x2 + y2 )2 取逆時針方向 L 1 4x2 + y2 = x 2 ，則 I = ò 4x - y dx + x + y = ò 4x - y dx + x + y dy + ò 4x - y dx + x + y dy L 4x2 + y2 4x2 + y L-L 4x2 + y2 4x2 + y L 4x2 + y2 4x2 + y 1 1 ò 4x - y = dx + x + y 1 ò dy = (4x - y)dx + (x + y)dy = 2 òòdxdy = 2 p x x = p ? 1 L 4x2 + y2 4x2 + y x 2 L 1 x 2 x 2 2 D 2 n ç ÷ 17. 〔此題總分值 10 分〕 設(shè)數(shù)列{a }滿足a = 1，(n +1)a = æ n + 1 ö a ，證明：當(dāng) x < 1時冪級數(shù)å¥  a xn 收 n 1 斂，并求其和函數(shù). n +1 è ø n n=1 【解析】依據(jù)(n +1)a  n +1 = æ n + 1 ö a Þ r = lim 2 ç ÷ è ø n n®¥  = lim = 1 a n+1 a n n + 1 2 n +1 n®¥ 所以收斂半徑為 R = 1 =1，所以當(dāng) x < 1時冪級數(shù)å¥ r n=1  a xn 收斂。 n 令s(x) = å¥ a xn ， s¢(x) = å¥ n na xn-1 = å¥ n (n +1)a  xn n+1 = a + å¥ 1 (n +1)a  xn n+1 = 1+ å¥ (n + 1)a xn 2 n n=1 n=1 n=0 n=1 n=1 1 = 1+ å¥ na xn + å¥ 1 a xn = 1+ xå¥ na xn-1 + s(x) n 2 n n=1 n=1 n 2 n=1 所以 s¢(x) = 1+ xs¢(x) + 1 s(x) 整理為(1- x)s¢(x) - 1 s(x) = 1 ，即 2 2 s¢(x) - 1 1 s(x) = 1 ，解得 s(x) = -2 + c ，依據(jù)s(0) = 2 ，得出 2 (1- x) (1- x) 1- x 1- x s(x) = -2 + 2 18. 〔此題總分值 10 分〕 x2 + y2 設(shè)S 為由面 Z =  1 £ x2 + y2 £ 4 )的下側(cè)， f (x)  是連續(xù)函數(shù)，計算 ( I = òò éëxf (xy)+ 2x - yùûdydz + éë yf (xy)+ 2 y + xùû dzdx + éëzf (xy)+ zùû dxdy . S 【答案】 14p 3 【解析】 Z¢ = x x , Z¢ = y x2 + y2 x2 + y2 y òò{ } I = òò ëé xf (xy )+ 2x - yùûdydz + éë yf (xy )+ 2 y + xùû dzdx + éë zf (xy )+ z ùû dxdy S { = éë xf (xy )+ 2x - yùû (Z ¢ ) + éë yf (xy )+ 2 y + xùû (Z ¢ ) - éë zf (xy )+ z ùû}dxdy x y D xy x2 + y2 = òò x2 + y2 éë f (xy )+ 2ùû - é f (xy )+ x2 + y2 ù dxdy D xy 2p 2 ë û 14p = òò x2 + y2 dxdy = ò dq ò r 2 dr = 0 1 3 D xy { } 19. 〔此題總分值 10 分〕 設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間[0,2]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)， f (0)= f (2)= 0 ， M = max f (x) ， xÎ(0,2 ) 證明：〔1〕存在x Î (0,2)，使得 f ¢(x )³ M ；〔2〕假設(shè)對任意的 x Î (0,2)， f ¢(x) £ M ，則 M = 0 . 【解析】〔1〕由 M = max{f (x)}，假設(shè) f (c) = M xÎ(0,2 ) 假設(shè)c Î[0,1]，則在[0,c] 使用拉格朗日，得 f ¢(x ) = f (c) - f (0) = f (c) = M ³ M c - 0 c c f (2) - f (c) 2 - c 假設(shè)c Î[1,2]，則在[c,2] 使用拉格朗日，得 f ¢(x ) = 綜上所述，存在x Î (0,2)，使得 f ¢(x )³ M = = ³ M - f (c) 2 - c -M 2 - c (2)假設(shè) M > 0 ，則 f (c) - f (0) = òc f ¢(x)dx £ òc f ¢(x) dx £ òc Mdx £ Mc 0 0 0 f (2) - f (c) = ò2 f ¢(x)dx £ ò2 f ¢(x) dx £ ò2 Mdx £ M (2 - c) c c c 則2M < Mc + M (2 - c) = 2M ，假設(shè)不成立，所以M = 0 . 20. 〔此題總分值 11 分〕 ( ) æ x ö æ y ö è 設(shè)二次型 f x , x = x2 + 4x x + 4x2 經(jīng)正交變換ç 1 ÷ = Qç 1 ÷ 化為二次型 2 1 2 1 1 2 2 x ø è y ø 2 g(y , y )= ay 2 + 4 y y + by 2 ，其中a ³ b . 1 2 1 1 2 2 (1) 求a ， b 的值；(2)求正交矩陣Q . ìa = 4 = 【答案】(1) í , îb 1  æ 1 -2ö 【解析】(1) f = xT Ax ，其中 A = ç -2 4 ÷ ,經(jīng)過正交變換 x = Qy ， è ø æ a 2 ö f = (Qy)T A(Qy) = yT (QT AQ) y = yT By ,其中 B = ç 2 b ÷ ，其中 B = QT AQ ， è ø ìtr(A) = tr(B) ìa = 4 = 所以 A, B 相像且合同，故í î| A | | B | ，得出í = îb 1 (2) 設(shè) P-1 AP = Ù, P -1BP = Ù ,則(PP -1 ) A(PP -1 ) = B ，所以Q = PP -1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 lE - A = l -1 2 ，得出l = 0, l = 5 2 l - 4 1 2 æ -1 2 ö æ 1 -2ö æ 2 ö (0E - A) = ç 2 -4÷ ® ç 0 0 ÷，故x = ç ÷ 1 1 è ø è ø è ø (5E - A) = æ 4 2ö ® æ 2 1ö ，故x = æ1 ö ，故 P = æ 2 1 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 1 ø è 0 0ø 2 è -2ø 1 è 1 -2 ø æ -4 -2ö æ 2 1 ö æ1 ö (0E - B) = ç -2 -1÷ ® ç 0 0÷ ，故b 1 = ç -2÷ è ø è ø è ø æ 1 -2ö æ 1 -2ö æ 2 ö æ 1 2ö (5E - B) = ç -2 4 ÷ ® ç 0 0 ÷ ，故b = ç1 ÷ ，故 P = ç -2 1 ÷ è 故Q = PP -1 1 2  æ 4 ç = ç 5 ç - 3 è 5 ø è ø 5 ÷ - 3 ö ÷ 4 ÷ 5 ø 2 è ø 2 è ø 21. 〔此題總分值 11 分〕 設(shè) A 為 2 階矩陣， P = (a, Aa )，其中a 是非零向量且不是 A 的特征向量. （1） 證明 P 為可逆矩陣； （2） 假設(shè) A2a + Aa - 6a = 0 ，求 P-1 AP ，并推斷 A 是否相像于對角矩陣. 【解析】(1) a 是非零向量且不是 A 的特征向量.,則 Aa ¹ ka ，所以 Aa 與a 線性無關(guān)， 所以r(P) = 2 ，即 P 為可逆矩陣。 (2)由 A2a + Aa - 6a = 0 ，即( A2 + A - 6E)a = 0 ，a 是非零向量，所以 ( A2 + A - 6E)x = 0 有非零解，故A2 + A - 6E = 0 ，即( A + 3E)( A - 2E) = 0 得(A + 3E) = 0或( A - 2E) = 0 ，假設(shè)( A + 3E) ¹ 0 ，則有( A - 2E)a = 0 ，得出 Aa = 2a ， 與題意沖突，故 A + 3E = 0 ，同理可得A - 2E = 0 ，特征值為 3,2，所以可以對角化。 22. 〔此題總分值 11 分〕 設(shè)隨機(jī)變量 X , X , X 1 2 3 相互獨(dú)立，其中 X 與 X 1 2 均聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X 3 的概率分布 為 P{X 3 = 0}= P{X 3 = 1}= 1 ，Y = X X 2 3 1 + (1 - X )X . 3 2 （1） 求二維隨機(jī)變量(X ,Y )的分布函數(shù)，結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)F(x)表示. 1 （2） 證明隨機(jī)變量Y 聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. ì 1 F(x)[1+ F( y)], x £ y ï 2 【答案】(1) í 1 ï ïî 2 F( y)[1+ F(x)], x > y 【解析】 F(x, y) = P{X 1 £ x,Y £ y} = P{X 1 £ x, X X 3 1 + (1- X )X 3 2 £ y} P{X 3 = 0}P{X 1 £ x, X X 3 1 + (1- X )X 3 2 £ y | X 3 = 0}+ P{X 3 =1}P{X 1 £ x, X X 3 1 + (1- X )X 3 2 £ y | X 3 =1} 1 P{X 2 1 £ x, X 2 £ y} + 1 P{X 2 1 £ x, X 1 £ y} = 1 F(x)F( y) + 1 F(min(x, y)) 2 2 ì 1 F(x)[1+ F( y)], x £ y ï 2 1 í ï ï F( y)[1+ F(x)], x > y î 2 〔2〕 F Y (y) ) = P{Y £ y} = P{X X 3 1 + (1- X )X 3 2 £ y} = P{X 3 = 0}P{X X 3 1 + (1- X )X 3 2 £ y X 3 = 0}+ P{X 3 = 1}P{X X 3 1 + (1- X )X 3 2 £ y X 3 = 1} = 1 P{X 2 2 £ y} + 1 P{X 2 1 £ y} = 1 F( y) + 1 F( y) = F( y) 2 2 23. 〔此題總分值 11 分〕 設(shè)某種元件的使用壽命T 的分布函數(shù)為 ì æ t öm F (t )= ï1 - e-ç q÷ , t ³ 0, í è ø îï 0, 其他. 其中q ， m 為參數(shù)且大于零. （1） 求概率 P{T > t}與 P{T > S + t T > S}，其中 S > 0 ， t > 0 . （2） 任取n 個這種元件做壽命試驗(yàn)，測得它們的壽命分別為t , t 1 2 , , t n ，假設(shè)m ，求 q . q 的最大似然估量值Ù -æ t öm è ø 【答案】(1) P{T > t}= 1- F(t) = e  çq÷  ， P{T > S + t T > S}= e  -æ t öm è ø çq÷ m n 1 ån t m i i=1 (2) qÙ = í q m q è ø ì mtm-1 -æ t öm 【解析】(2)求得概率密度為 f (t) = ï e ç ÷ t ³ 0 î ï0 t＜0 - 1 ån t m 構(gòu)造最大似然函數(shù)為L (q )= mn (t t 1 2 t )m-1q - nme qm n i i=1 取對數(shù)ln L (q )= n ln m + (m -1)ln(t t 1 2 d ln L (q ) nm 1 ån t ) - nm lnq - 1 n q m m n 1 ån t m i i=1 Ù  ån t m i i=1 求導(dǎo)可得 = - - +m dq q q m+1 t m i i=1 = 0 ，解出q =