數(shù)學模型課程設計淋雨模型

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1、 攀枝花學院 學生課程設計（論文） 題 目： 淋雨問題 姓名： 楊騰佼 學 號： 201210802025 所在院(系)： 數(shù)學與計算機學院 專 業(yè)： 信息與計算科學 指 導 教 師： 馬亮亮 2014年 12 月 19 日 攀枝花學院教務

2、處制 攀枝花學院本科學生課程設計任務書 題　目 淋雨模型 1、課程設計的目的 通過建立模型解決日常生活中的問題，以此來掌握數(shù)學建模的方法以及思想，本次課程設計研究的就是淋雨模型 2、課程設計的內容和要求（包括原始數(shù)據(jù)、技術要求、工作要求等） 給定的淋雨條件下，分別建立相應的數(shù)學模型，分析人體在雨中行走時淋雨的多少與行走速度、降雨方向等因素的關系。 3、主要參考文獻 [1]姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學建模（第四版）,北京，高等教育出版社，2011年1月 [2]數(shù)學建模，劉峰，葛朝強，南京：南京大學出版社2005 [3]數(shù)學模型簡明教程，黨林立，孫曉群 主編，西安

3、電子科技大學出版社 [4]全國大學生數(shù)學建模競賽組委會，全國大學生數(shù)學建模競賽優(yōu)秀論文匯編，北京：中國物價出版社，2002 4、課程設計工作進度計劃 序號 時間（天） 內容安排 備注 1 2 分析設計準備 周一至周二 2 4 編程調試階段 周三至周一 3 2 編寫課程設計報告 周二至周三 4 2 考核 周四至周五 總計 10（天） 指導教師（簽字） 日期 年 月 日 教研室意見： 年 月 日 學生（簽字）： 接受任務時間： 2014 年 12 月 8 日 注：任務書由指

4、導教師填寫。 課程設計（論文）指導教師成績評定表 題目名稱 淋雨模型 評分項目 分值 得分 評價內涵 工作 表現(xiàn) 20% 01 學習態(tài)度 6 遵守各項紀律，工作刻苦努力，具有良好的科學工作態(tài)度。 02 科學實踐、調研 7 通過實驗、試驗、查閱文獻、深入生產(chǎn)實踐等渠道獲取與課程設計有關的材料。 03 課題工作量 7 按期圓滿完成規(guī)定的任務，工作量飽滿。 能力 水平 35% 04 綜合運用知識的能力 10 能運用所學知識和技能去發(fā)現(xiàn)與解決實際問題，能正確處理實驗數(shù)據(jù)，能對課題進行理論分析，得出有價值的結論。 05 應

5、用文獻的能力 5 能獨立查閱相關文獻和從事其他調研；能提出并較好地論述課題的實施方案；有收集、加工各種信息及獲取新知識的能力。 06 設計（實驗）能力，方案的設計能力 5 能正確設計實驗方案，獨立進行裝置安裝、調試、操作等實驗工作，數(shù)據(jù)正確、可靠；研究思路清晰、完整。 07 計算及計算機應用能力 5 具有較強的數(shù)據(jù)運算與處理能力；能運用計算機進行資料搜集、加工、處理和輔助設計等。 08 對計算或實驗結果的分析能力（綜合分析能力、技術經(jīng)濟分析能力） 10 具有較強的數(shù)據(jù)收集、分析、處理、綜合的能力。 成果 質量 45% 09 插圖（或圖紙）質

6、量、篇幅、設計（論文）規(guī)范化程度 5 符合本專業(yè)相關規(guī)范或規(guī)定要求；規(guī)范化符合本文件第五條要求。 10 設計說明書（論文）質量 30 綜述簡練完整，有見解；立論正確，論述充分，結論嚴謹合理；實驗正確，分析處理科學。 11 創(chuàng)新 10 對前人工作有改進或突破，或有獨特見解。 成績 指導教師評語 指導教師簽名： 年　月　日 摘 要 本文在給定的降雨條件下，分別建立相應的數(shù)學模型，分析人體在雨中行走時淋雨多少與行走速度、降雨方向等因素的關系。其中本文中所涉及到的降雨量是指

7、從天空中降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)。滲透、流失而在水面上集聚的水層深度，它可以直觀地表示降雨量的多少。淋雨量，是指人在雨中行走時全身所接收到的雨的體積，它可以表示為單位時間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時間的乘積 本模型是研究人的淋雨量與人在雨中奔跑的速度的關系。由于人在雨中行走的過程比較復雜，難于研究，于是我們只能將人體簡化為一個長方體建立模型，便于我們后續(xù)進行討論，然后建立模型，最終得到結果。 本題中采用了優(yōu)化模型，通過將人分為幾個平面，分別求得各個平面所接受的淋雨量，然后求其加和的方法求解。 在問題（1）中：因為已經(jīng)假設降雨淋遍全身，且人以最大的速度跑步。所以根據(jù)已知條

8、件，直接列出方程進行求解。 在問題（2）中：我們利用最優(yōu)化原理，建立出一個動態(tài)規(guī)劃模型。雨迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面，人淋雨面積為前方和頭頂面積之和。因各個方向上降雨速度分量不同，故分別計算頭頂和前方的淋雨量后相加即為總的淋雨量。 關鍵詞 ：淋雨量 優(yōu)化模型 動態(tài)規(guī)劃模型 目錄 摘 要 1 一、問題的重述 1 二、問題分析 2 三、模型假設 4 四、符號說明 5 五、模型的建立 6 六、結果分析 9 七、模型的評價 10 參考文獻 11 一、問題的重述 生活中的我們經(jīng)常會遇到下雨而沒有帶雨具的時刻

9、，我們在那時會有很多選擇，其中之一就是淋雨，往往好多人會在雨中快走或奔跑而減少多少，反而有時候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有關參數(shù)的關系如何，是否人走的越快雨淋得越少，讓我們假設一數(shù)學模型模擬計算真實情況 在人行進在雨中時，淋雨量和人行進速度之間是怎樣的關系。為了研究這個問題，假設一人在雨中從一處沿直線跑到另一處，雨速為常數(shù)且方向不變，但是雨水的下落方向存在差異，因此就雨水的方向建立數(shù)學模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。 將人體簡化為一個長方體，高=1.5 (頸部以下)，寬=0.5，厚=0.2，設跑步距離=1000,跑步最大速度為=5，雨速=4，降雨量=2 ，記跑步速度為,按以下步驟進

10、行討論： （1） 不考慮雨的方向，設降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全程的總淋雨量。 （2） 雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為，如圖1。建立總淋雨量與速度v及參數(shù), , , , , ， 之間的關系，問速度為多大，總淋雨量最少。計算=0, =300時的總淋雨量。 二、問題分析 淋雨量是指人在雨中行走時全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時間的乘積。 可得： 淋雨量（）=降雨量（）人體淋雨面積（）淋浴時間（） （1） 時間（）=跑步距離（）人跑步速度（）

11、（2） 由（1）（2）得： 淋雨量 （3） 全部問題最基本的就是這個公式，根據(jù)具體情況，求出每個量的值，從而得出最終結果。 問題一分析： 當雨滴垂直下落時（即使沒有風），此時只有頂部淋雨，淋雨量: 問題二分析： 雨迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內且與人體夾角為，如圖一所示。根據(jù)實情況估計人體淋雨可分為頭頂和前后左右?guī)讉€方向上。雨迎面吹來時，由于雨相對人的速度有變化，因此人單位時間內接收雨量變化，且與相對速度成正比。據(jù)此，推算出前后側上單位時間接受雨量。同理，頭頂部位接雨量與雨速垂直于頭頂平面的分速度成正比。分別計算出頭頂側與前

12、后側單位時間接雨量，并分別乘以各面積以及時間，即得到頭頂及兩側淋雨的總量。在人體總的淋雨量，據(jù)此可得與之間的關系。 由圖可知，雨速在垂直方向只有向下的分量， 且與無關。所以： 單位時間單位面積的降雨量為： （4） 淋雨面積為：;淋雨時間為： （5） 于是，頭頂淋雨量為: （6）

13、 三、模型假設 （1）降雨地區(qū)的地面是平面且不考慮風的因素。 （2）人是平穩(wěn)地沿直線向前移動的。 （3）降雨時，雨在空間中是均勻分布的。 （4）為計算淋雨面積的方便，把人體表面積看成長方體。 （5）將人體簡化成一個長方體，高（頸部以下），寬，厚，設跑步距離，跑步最大速度，雨速，降雨量，記跑步速度為； （6）假設降雨量到一定時間時，應為定值； （7）設人在雨中跑步應為直線跑步； （8）問題中涉及的降雨量應指天空落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因為它可以直觀的表示降雨量的多少。

14、 四、符號說明 --長方體的長 單位：米 --長方體的寬 單位：米 --長方體的厚度 單位：米 --淋雨量 單位：升 --人行走的速度 單位：米每秒 --路程 單位：米 --降雨強度 單位：厘米每小時 --雨滴的密度 --雨滴下落的速度 單位：米每秒 --雨迎面吹來時與人體的夾角 五、模型的建立 模型一： 由已知條件知，不考慮雨的方向且降雨淋遍全身，所以人淋雨的面積為： （7） 淋雨的時

15、間為： （8） 總降雨量為： （9） 帶入數(shù)據(jù)，，，，，得： 模型二： 若雨從迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為（如圖）： 所以人只有頭頂和前面淋到了雨即：人的淋雨量可分為：頭頂淋雨量和前部淋雨量。 （1） 頭頂淋雨量： 由圖可知，雨速在垂直方向只有向下的分量， 且與v無關。所以： 單位時間單位面積的降雨量為： 淋雨面積為：;淋雨時間為： 于是，頭頂淋雨量為:

16、 （10） （2） 前部淋雨量： 由圖可知，雨速的水平分量為且方向與相反，故人相對于雨的水平速度為： 所以，單位時間單位面積的降雨量為： (11) 淋雨面積為:ab; 淋雨時間為： 于是，前部淋雨量為： (12) 由（1）（2）得：總淋雨量為： (13) 代入數(shù)據(jù)得： 對v求導得： 所以是關于在定義域上的減函數(shù)，所以當取最大值時，有最小值即： 當時，總淋雨量最少。 （1） 當，代入

17、得： 當θ=30，代入得： 六、結果分析 (1)在該模型中考慮到雨的方向問題，這個模型跟模型二類似將模型二與第三題綜合起來跟實際的生活就差不多相似了，由這三個模型可以得出在一定速度下人跑的越快淋雨量就越少。 （2）若雨迎面吹來時，跑得越快越好。 但是該模型只是考慮雨線方向與人的跑步方向在同一平面內若是雨線方向與人的跑步方向不在同一平面內建立坐標系上，對于這種情況，我們認為在本質和考慮問題的思想上來說模型是不變的，應分別對幾個淋雨模型進行以上同樣的方法建立求解模型，但是解算的過程中，我想應該復雜。

18、 七、模型的評價 模型優(yōu)點： 總體上講，本文重點體現(xiàn)了模型的建立,運用了求最優(yōu)解的思想，并且通過對圖形的有效利用，使結果更直觀明了。從解題思路和方法上看，相對客觀的對人在雨中奔跑的各個情況進行了分析，合理假設了人在雨中奔跑的淋雨量不僅與跑步速度有關，還與雨線與人跑步方向的夾角，雨速以及人跑步速度等因素有關。 模型缺點： 本題在模型建立時，忽略了實際生活中降雨的種種不確定性，如降雨密度不均勻、雨滴的體積大小不等、風向不穩(wěn)定、雨速大小與方向時刻改變、人體與長方體的差距等因素，模型建立的相對有些簡單，因此本文仍存在一定的局限性，考慮問題也不太全面，有待改進和提高。 參考文獻 【1】姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學建模（第四版）,北京，高等教育出版社，2011年1月 【2】數(shù)學建模，劉峰，葛朝強，南京：南京大學出版社2005 【3】數(shù)學模型簡明教程，黨林立，孫曉群 主編，西安電子科技大學出版社 【4】全國大學生數(shù)學建模競賽組委會，全國大學生數(shù)學建模競賽優(yōu)秀論文匯編，北京：中國物價出版社，2002