數(shù)學(xué)模型課程設(shè)計(jì)淋雨模型

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1、 攀枝花學(xué)院 學(xué)生課程設(shè)計(jì)（論文） 題 目： 淋雨問題 姓名： 楊騰佼 學(xué) 號： 201210802025 所在院(系)： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 專 業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 指 導(dǎo) 教 師： 馬亮亮 2014年 12 月 19 日 攀枝花學(xué)院教務(wù)

2、處制 攀枝花學(xué)院本科學(xué)生課程設(shè)計(jì)任務(wù)書 題　目 淋雨模型 1、課程設(shè)計(jì)的目的 通過建立模型解決日常生活中的問題，以此來掌握數(shù)學(xué)建模的方法以及思想，本次課程設(shè)計(jì)研究的就是淋雨模型 2、課程設(shè)計(jì)的內(nèi)容和要求（包括原始數(shù)據(jù)、技術(shù)要求、工作要求等） 給定的淋雨條件下，分別建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析人體在雨中行走時(shí)淋雨的多少與行走速度、降雨方向等因素的關(guān)系。 3、主要參考文獻(xiàn) [1]姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)建模（第四版）,北京，高等教育出版社，2011年1月 [2]數(shù)學(xué)建模，劉峰，葛朝強(qiáng)，南京：南京大學(xué)出版社2005 [3]數(shù)學(xué)模型簡明教程，黨林立，孫曉群 主編，西安

3、電子科技大學(xué)出版社 [4]全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽優(yōu)秀論文匯編，北京：中國物價(jià)出版社，2002 4、課程設(shè)計(jì)工作進(jìn)度計(jì)劃 序號 時(shí)間（天） 內(nèi)容安排 備注 1 2 分析設(shè)計(jì)準(zhǔn)備 周一至周二 2 4 編程調(diào)試階段 周三至周一 3 2 編寫課程設(shè)計(jì)報(bào)告 周二至周三 4 2 考核 周四至周五 總計(jì) 10（天） 指導(dǎo)教師（簽字） 日期 年 月 日 教研室意見： 年 月 日 學(xué)生（簽字）： 接受任務(wù)時(shí)間： 2014 年 12 月 8 日 注：任務(wù)書由指

4、導(dǎo)教師填寫。 課程設(shè)計(jì)（論文）指導(dǎo)教師成績評定表 題目名稱 淋雨模型 評分項(xiàng)目 分值 得分 評價(jià)內(nèi)涵 工作 表現(xiàn) 20% 01 學(xué)習(xí)態(tài)度 6 遵守各項(xiàng)紀(jì)律，工作刻苦努力，具有良好的科學(xué)工作態(tài)度。 02 科學(xué)實(shí)踐、調(diào)研 7 通過實(shí)驗(yàn)、試驗(yàn)、查閱文獻(xiàn)、深入生產(chǎn)實(shí)踐等渠道獲取與課程設(shè)計(jì)有關(guān)的材料。 03 課題工作量 7 按期圓滿完成規(guī)定的任務(wù)，工作量飽滿。 能力 水平 35% 04 綜合運(yùn)用知識的能力 10 能運(yùn)用所學(xué)知識和技能去發(fā)現(xiàn)與解決實(shí)際問題，能正確處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，能對課題進(jìn)行理論分析，得出有價(jià)值的結(jié)論。 05 應(yīng)

5、用文獻(xiàn)的能力 5 能獨(dú)立查閱相關(guān)文獻(xiàn)和從事其他調(diào)研；能提出并較好地論述課題的實(shí)施方案；有收集、加工各種信息及獲取新知識的能力。 06 設(shè)計(jì)（實(shí)驗(yàn)）能力，方案的設(shè)計(jì)能力 5 能正確設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，獨(dú)立進(jìn)行裝置安裝、調(diào)試、操作等實(shí)驗(yàn)工作，數(shù)據(jù)正確、可靠；研究思路清晰、完整。 07 計(jì)算及計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力 5 具有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)運(yùn)算與處理能力；能運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行資料搜集、加工、處理和輔助設(shè)計(jì)等。 08 對計(jì)算或?qū)嶒?yàn)結(jié)果的分析能力（綜合分析能力、技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析能力） 10 具有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)收集、分析、處理、綜合的能力。 成果 質(zhì)量 45% 09 插圖（或圖紙）質(zhì)

6、量、篇幅、設(shè)計(jì)（論文）規(guī)范化程度 5 符合本專業(yè)相關(guān)規(guī)范或規(guī)定要求；規(guī)范化符合本文件第五條要求。 10 設(shè)計(jì)說明書（論文）質(zhì)量 30 綜述簡練完整，有見解；立論正確，論述充分，結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)合理；實(shí)驗(yàn)正確，分析處理科學(xué)。 11 創(chuàng)新 10 對前人工作有改進(jìn)或突破，或有獨(dú)特見解。 成績 指導(dǎo)教師評語 指導(dǎo)教師簽名： 年　月　日 摘 要 本文在給定的降雨條件下，分別建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析人體在雨中行走時(shí)淋雨多少與行走速度、降雨方向等因素的關(guān)系。其中本文中所涉及到的降雨量是指

7、從天空中降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)。滲透、流失而在水面上集聚的水層深度，它可以直觀地表示降雨量的多少。淋雨量，是指人在雨中行走時(shí)全身所接收到的雨的體積，它可以表示為單位時(shí)間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間的乘積 本模型是研究人的淋雨量與人在雨中奔跑的速度的關(guān)系。由于人在雨中行走的過程比較復(fù)雜，難于研究，于是我們只能將人體簡化為一個(gè)長方體建立模型，便于我們后續(xù)進(jìn)行討論，然后建立模型，最終得到結(jié)果。 本題中采用了優(yōu)化模型，通過將人分為幾個(gè)平面，分別求得各個(gè)平面所接受的淋雨量，然后求其加和的方法求解。 在問題（1）中：因?yàn)橐呀?jīng)假設(shè)降雨淋遍全身，且人以最大的速度跑步。所以根據(jù)已知條

8、件，直接列出方程進(jìn)行求解。 在問題（2）中：我們利用最優(yōu)化原理，建立出一個(gè)動態(tài)規(guī)劃模型。雨迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面，人淋雨面積為前方和頭頂面積之和。因各個(gè)方向上降雨速度分量不同，故分別計(jì)算頭頂和前方的淋雨量后相加即為總的淋雨量。 關(guān)鍵詞 ：淋雨量 優(yōu)化模型 動態(tài)規(guī)劃模型 目錄 摘 要 1 一、問題的重述 1 二、問題分析 2 三、模型假設(shè) 4 四、符號說明 5 五、模型的建立 6 六、結(jié)果分析 9 七、模型的評價(jià) 10 參考文獻(xiàn) 11 一、問題的重述 生活中的我們經(jīng)常會遇到下雨而沒有帶雨具的時(shí)刻

9、，我們在那時(shí)會有很多選擇，其中之一就是淋雨，往往好多人會在雨中快走或奔跑而減少多少，反而有時(shí)候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有關(guān)參數(shù)的關(guān)系如何，是否人走的越快雨淋得越少，讓我們假設(shè)一數(shù)學(xué)模型模擬計(jì)算真實(shí)情況 在人行進(jìn)在雨中時(shí)，淋雨量和人行進(jìn)速度之間是怎樣的關(guān)系。為了研究這個(gè)問題，假設(shè)一人在雨中從一處沿直線跑到另一處，雨速為常數(shù)且方向不變，但是雨水的下落方向存在差異，因此就雨水的方向建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。 將人體簡化為一個(gè)長方體，高=1.5 (頸部以下)，寬=0.5，厚=0.2，設(shè)跑步距離=1000,跑步最大速度為=5，雨速=4，降雨量=2 ，記跑步速度為,按以下步驟進(jìn)

10、行討論： （1） 不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋雨量。 （2） 雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1。建立總淋雨量與速度v及參數(shù), , , , , ， 之間的關(guān)系，問速度為多大，總淋雨量最少。計(jì)算=0, =300時(shí)的總淋雨量。 二、問題分析 淋雨量是指人在雨中行走時(shí)全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時(shí)間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間的乘積。 可得： 淋雨量（）=降雨量（）人體淋雨面積（）淋浴時(shí)間（） （1） 時(shí)間（）=跑步距離（）人跑步速度（）

11、（2） 由（1）（2）得： 淋雨量 （3） 全部問題最基本的就是這個(gè)公式，根據(jù)具體情況，求出每個(gè)量的值，從而得出最終結(jié)果。 問題一分析： 當(dāng)雨滴垂直下落時(shí)（即使沒有風(fēng)），此時(shí)只有頂部淋雨，淋雨量: 問題二分析： 雨迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為，如圖一所示。根據(jù)實(shí)情況估計(jì)人體淋雨可分為頭頂和前后左右?guī)讉€(gè)方向上。雨迎面吹來時(shí)，由于雨相對人的速度有變化，因此人單位時(shí)間內(nèi)接收雨量變化，且與相對速度成正比。據(jù)此，推算出前后側(cè)上單位時(shí)間接受雨量。同理，頭頂部位接雨量與雨速垂直于頭頂平面的分速度成正比。分別計(jì)算出頭頂側(cè)與前

12、后側(cè)單位時(shí)間接雨量，并分別乘以各面積以及時(shí)間，即得到頭頂及兩側(cè)淋雨的總量。在人體總的淋雨量，據(jù)此可得與之間的關(guān)系。 由圖可知，雨速在垂直方向只有向下的分量， 且與無關(guān)。所以： 單位時(shí)間單位面積的降雨量為： （4） 淋雨面積為：;淋雨時(shí)間為： （5） 于是，頭頂淋雨量為: （6）

13、 三、模型假設(shè) （1）降雨地區(qū)的地面是平面且不考慮風(fēng)的因素。 （2）人是平穩(wěn)地沿直線向前移動的。 （3）降雨時(shí)，雨在空間中是均勻分布的。 （4）為計(jì)算淋雨面積的方便，把人體表面積看成長方體。 （5）將人體簡化成一個(gè)長方體，高（頸部以下），寬，厚，設(shè)跑步距離，跑步最大速度，雨速，降雨量，記跑步速度為； （6）假設(shè)降雨量到一定時(shí)間時(shí)，應(yīng)為定值； （7）設(shè)人在雨中跑步應(yīng)為直線跑步； （8）問題中涉及的降雨量應(yīng)指天空落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因?yàn)樗梢灾庇^的表示降雨量的多少。

14、 四、符號說明 --長方體的長 單位：米 --長方體的寬 單位：米 --長方體的厚度 單位：米 --淋雨量 單位：升 --人行走的速度 單位：米每秒 --路程 單位：米 --降雨強(qiáng)度 單位：厘米每小時(shí) --雨滴的密度 --雨滴下落的速度 單位：米每秒 --雨迎面吹來時(shí)與人體的夾角 五、模型的建立 模型一： 由已知條件知，不考慮雨的方向且降雨淋遍全身，所以人淋雨的面積為： （7） 淋雨的時(shí)

15、間為： （8） 總降雨量為： （9） 帶入數(shù)據(jù)，，，，，得： 模型二： 若雨從迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為（如圖）： 所以人只有頭頂和前面淋到了雨即：人的淋雨量可分為：頭頂淋雨量和前部淋雨量。 （1） 頭頂淋雨量： 由圖可知，雨速在垂直方向只有向下的分量， 且與v無關(guān)。所以： 單位時(shí)間單位面積的降雨量為： 淋雨面積為：;淋雨時(shí)間為： 于是，頭頂淋雨量為:

16、 （10） （2） 前部淋雨量： 由圖可知，雨速的水平分量為且方向與相反，故人相對于雨的水平速度為： 所以，單位時(shí)間單位面積的降雨量為： (11) 淋雨面積為:ab; 淋雨時(shí)間為： 于是，前部淋雨量為： (12) 由（1）（2）得：總淋雨量為： (13) 代入數(shù)據(jù)得： 對v求導(dǎo)得： 所以是關(guān)于在定義域上的減函數(shù)，所以當(dāng)取最大值時(shí)，有最小值即： 當(dāng)時(shí)，總淋雨量最少。 （1） 當(dāng)，代入

17、得： 當(dāng)θ=30，代入得： 六、結(jié)果分析 (1)在該模型中考慮到雨的方向問題，這個(gè)模型跟模型二類似將模型二與第三題綜合起來跟實(shí)際的生活就差不多相似了，由這三個(gè)模型可以得出在一定速度下人跑的越快淋雨量就越少。 （2）若雨迎面吹來時(shí)，跑得越快越好。 但是該模型只是考慮雨線方向與人的跑步方向在同一平面內(nèi)若是雨線方向與人的跑步方向不在同一平面內(nèi)建立坐標(biāo)系上，對于這種情況，我們認(rèn)為在本質(zhì)和考慮問題的思想上來說模型是不變的，應(yīng)分別對幾個(gè)淋雨模型進(jìn)行以上同樣的方法建立求解模型，但是解算的過程中，我想應(yīng)該復(fù)雜。

18、 七、模型的評價(jià) 模型優(yōu)點(diǎn)： 總體上講，本文重點(diǎn)體現(xiàn)了模型的建立,運(yùn)用了求最優(yōu)解的思想，并且通過對圖形的有效利用，使結(jié)果更直觀明了。從解題思路和方法上看，相對客觀的對人在雨中奔跑的各個(gè)情況進(jìn)行了分析，合理假設(shè)了人在雨中奔跑的淋雨量不僅與跑步速度有關(guān)，還與雨線與人跑步方向的夾角，雨速以及人跑步速度等因素有關(guān)。 模型缺點(diǎn)： 本題在模型建立時(shí)，忽略了實(shí)際生活中降雨的種種不確定性，如降雨密度不均勻、雨滴的體積大小不等、風(fēng)向不穩(wěn)定、雨速大小與方向時(shí)刻改變、人體與長方體的差距等因素，模型建立的相對有些簡單，因此本文仍存在一定的局限性，考慮問題也不太全面，有待改進(jìn)和提高。 參考文獻(xiàn) 【1】姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)建模（第四版）,北京，高等教育出版社，2011年1月 【2】數(shù)學(xué)建模，劉峰，葛朝強(qiáng)，南京：南京大學(xué)出版社2005 【3】數(shù)學(xué)模型簡明教程，黨林立，孫曉群 主編，西安電子科技大學(xué)出版社 【4】全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽優(yōu)秀論文匯編，北京：中國物價(jià)出版社，2002