（課標通用）高考數(shù)學一輪復習 課時跟蹤檢測51 理-人教版高三全冊數(shù)學試題

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1、課時跟蹤檢測(五十一) [高考基礎題型得分練] 1．橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為(　　) A. B. C．2 D．4 答案：A　 解析：由題意知，a2＝，b2＝1，且a＝2b， ∴＝4，∴m＝. 2．已知實數(shù)4，m,9構成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為(　　) A. B. C.或 D.或 答案：C　 解析：因為實數(shù)4，m,9構成一個等比數(shù)列， 所以可得m2＝36， 解得m＝6或m＝－6. 當圓錐曲線為橢圓時，即＋y2＝1的方程為＋y2＝1， 所以a2＝6，b2＝1，則c2＝a2－b2＝5，

2、 所以離心率e＝＝＝. 當曲線是雙曲線時，可求得離心率為. 3．[2017·河北邯鄲一模]橢圓＋＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，如果線段PF2的中點在y軸上，那么|PF2|是|PF1|的(　　) A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 答案：A　 解析：設線段PF2的中點為D， 則|OD|＝|PF1|且OD∥PF1，OD⊥x軸， ∴PF1⊥x軸．∴|PF1|＝＝＝. 又∵|PF1|＋|PF2|＝4， ∴|PF2|＝4－＝. ∴|PF2|是|PF1|的7倍． 4．已知橢圓C：＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓C上的點A滿足AF2⊥F1F2.若點P是橢圓

3、C上的動點，則·的最大值為(　　) A. B. C. D. 答案：B　 解析：設向量，的夾角為θ. 由條件知，|AF2|為橢圓通徑的一半，即|AF2|＝＝，則·＝||cos θ， 于是·要取得最大值， 只需在上的投影值最大， 易知此時點P為橢圓短軸的上頂點， 所以·＝×||cos θ≤.故選B. 5．[2017·陜西西安質量檢測]已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則橢圓C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 答案：C　 解析：依題意，所求橢圓的焦點位于x軸上，且c＝1，e＝＝?a＝2，b2＝a

4、2－c2＝3， 因此橢圓C的方程是＋＝1，故選C. 6．[2017·甘肅蘭州診斷]已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B，若橢圓C的中心到直線AB的距離為|F1F2|，則橢圓C的離心率e＝(　　) A. B. C. D. 答案：A　 解析：設橢圓C的焦距為2c(c

5、，過原點與線段AB中點的直線的斜率為，則的值為(　　) A. B. C. D. 答案：B　 解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則ax＋by＝1，ax＋by＝1， 即ax－ax＝－(by－by)，＝－1， ∴＝－1， ∴×(－1)×＝－1， ∴＝，故選B. 8．[2017·山東青島模擬]設橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為________． 答案：＋＝1　 解析：拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)， ∴m2－n2＝4，① e＝＝，∴m＝4， 代入①得，n2＝12， ∴橢圓的方程為＋＝1.

6、 9．[2017·湖南長沙一模]橢圓Г：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 答案：－1　 解析：依題意得∠MF1F2＝60°， ∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°， 設|MF1|＝m，則有|MF2|＝m，|F1F2|＝2m， 該橢圓的離心率是e＝＝－1. 10．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F(－2,0)，離心率為. (1)求橢圓C的標準方程； (2)設O為坐標原點，T為直線x＝－3上一點，過F作TF的垂線交橢圓于P，

7、Q.當四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積． 解：(1)由已知可得，＝，c＝2， 所以a＝. 又由a2＝b2＋c2，解得b＝， 所以橢圓C的標準方程是＋＝1. (2)設點T的坐標為(－3，m)， 則直線TF的斜率kTF＝＝－m. 當m≠0時，直線PQ的斜率kPQ＝， 直線PQ的方程是x＝my－2. 當m＝0時，直線PQ的方程是x＝－2， 也符合x＝my－2的形式． 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得 消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0， 其判別式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0. 所以y1＋y2＝，y

8、1y2＝， x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝. 因為四邊形OPTQ是平行四邊形，所以＝， 即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2)． 所以 解得m＝±1. 此時，S四邊形OPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF||y1－y2| ＝2＝2. [沖刺名校能力提升練] 1．[2017·廣東汕頭一模]已知橢圓＋＝1上有一點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，若△F1PF2為直角三角形，則這樣的點P有(　　) A．3個 B．4個 C．6個 D．8個 答案：C　 解析：當∠PF1F2為直角時，根據(jù)橢圓的對稱性知，這樣的點P有2個；同理當∠PF2F1為直角時，這樣的點P有2個

9、；當點P為橢圓的短軸端點時，∠F1PF2最大，且為直角，此時這樣的點P有2個．故符合要求的點P有6個． 2.[2017·河北唐山模擬]橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，若F關于直線x＋y＝0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為(　　) A. B. C. D.－1 答案：D　 解析：解法一：設A(m，n)，則 解得A， 代入橢圓C中，有＋＝1， ∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2， ∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)， ∴c4－8a2c2＋4a4＝0， ∴e4－8e2＋4＝0， ∴e2＝4±2， ∵0

10、解法二：設F′是橢圓的右焦點，連接AF，AF′. 由已知得△AFF′是直角三角形，其中∠A＝90°，∠AFF′＝30°， ∵|FF′|＝2c，∴|AF|＝c，|AF′|＝c， ∴e＝＝＝＝－1，故選D. 3．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 答案：3　 解析：設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則 ∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2， 又∵S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3. 4．[2017·河北保定一模]與圓C1：(

11、x＋3)2＋y2＝1外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝81內切的動圓圓心P的軌跡方程為________． 答案：＋＝1　 解析：設動圓的半徑為r，圓心為P(x，y)， 則有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r. 所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|， 即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)為焦點，長軸長為10的橢圓上，得點P的軌跡方程為＋＝1. 5．已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1和F2，且|F1F2|＝2，點在該橢圓上． (1)求橢圓C的方程； (2)過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AF2B的面積為，求以F2為圓心

12、且與直線l相切的圓的方程． 解：(1)由題意知c＝1,2a＝＋＝4， 解得a＝2，故橢圓C的方程為＋＝1. (2)①當直線l⊥x軸時， 可取A，B，△AF2B的面積為3，不符合題意． ②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，代入橢圓方程得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， 顯然Δ>0成立，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝， 可得|AB|＝· ＝， 又圓F2的半徑r＝， ∴△AF2B的面積為|AB|·r＝＝，化簡得17k4＋k2－18＝0，解得k＝±1， ∴r＝，圓的方程為(x－1)2＋y2＝2. 6

13、．[2016·浙江卷]如圖，設橢圓＋y2＝1(a>1)． (1)求直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)； (2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍． 解：(1)設直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段為AP， 由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0， 故x1＝0，x2＝－. 因此|AP|＝|x1－x2| ＝·. (2)假設圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|＝|AQ|. 記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2. 由(1)知，|AP|＝， |AQ|＝， 故＝ 所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0. 由于k1≠k2，k1，k2>0得 1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0， 因此＝1＋a2(a2－2)，① 因為①式關于k1，k2的方程有解的充要條件是 1＋a2(a2－2)>1, 所以a>. 因此，任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1