(課標通用)高考數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù)與解三角形大題沖關 理-人教版高三全冊數(shù)學試題

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1、第四章 三角函數(shù)與解三角形 高考中三角函數(shù)與解三角形問題的 熱點題型 從近幾年的高考試題看,新課標全國卷交替考查三角函數(shù)、解三角形.該部分解答題是高考得分的基本組成部分,考查中難度屬于中低檔題,但考生得分不高,其主要原因是公式不熟導致運算錯誤,不能掉以輕心.該部分的解答題考查的熱點題型有:一、考查三角函數(shù)的圖象變換以及單調(diào)性、最值等;二、考查解三角形問題;三、是考查三角函數(shù)、解三角形與平面向量的交匯性問題,在解題過程中抓住平面向量作為解決問題的工具,要注意三角恒等變換公式的多樣性和靈活性,注意題目中隱含的各種限制條件,選擇合理的解決方法,靈活地實現(xiàn)問題的轉化. 熱點一 解三角形與三角恒

2、等 變換的綜合 解三角形多與三角恒等變換相結合,主要涉及兩角和與差的正弦和余弦公式、二倍角公式以及正弦定理和余弦定理,考查題型既有選擇題、填空題,也有解答題. [典題1] [2016·浙江卷]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acos B. (1)證明:A=2B; (2)若△ABC的面積S=,求角A的大?。? (1)[證明] 由正弦定理,得 sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B). 又A,

3、B∈(0,π),故0

4、三角恒等變換中求值.具體解題步驟如下: 第一步:利用正(余)弦定理進行邊角轉化; 第二步:利用三角恒等變換求邊與角; 第三步:代入數(shù)據(jù)求值; 第四步:查看關鍵點,易錯點. [2017·四川資陽高三上學期第一次診斷]在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足=,D是BC邊上的一點. (1)求角B的大小; (2)若AC=7,AD=5,DC=3,求AB的長. 解:(1)由=,得 ccos B-acos B=bcos A, 即ccos B=acos B+bcos A, 根據(jù)正弦定理,sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A

5、+B)=sin C,所以cos B=, 又0°

6、m·n+1. (1)求函數(shù)f(x)在[0,π]上的最值,并求此時x的值; (2)將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),再將所得圖象向左平移個單位長度并向下平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象.若在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,g=,a=2,b+c=4,求△ABC的面積. [解] (1)f(x)=sin cos -cos2+1 =sin x-cos x+ =sin+. ∵x∈[0,π],∴x-∈, ∴當x-=-,即x=0時,f(x)min=0; 當x-=,即x=時,f(x)max=. ∴當x=0時,f(x)min=0, 當x=時,f

7、(x)max=. (2)將f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),得到函數(shù)y=sin+的圖象,再將所得圖象向左平移個單位長度并向下平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)=sin=sin=cos 2x的圖象. ∵g=cos A=, 又0

8、和解三角形的結合,一般可以利用三角變換化簡所給函數(shù)關系式,再結合正、余弦定理解三角形. [2017·廣東汕頭一模]設a=(2cos ωx,),b=(sin ωx,cos2ωx-sin2ωx)(ω>0),函數(shù)f(x)=a·b,且函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足f(A)=0,B=,a=2,求c的邊的長. 解:(1)f(x)=a·b=2sin ωxcos ωx+(cos2ωx-sin2ωx) =sin 2ωx+cos 2ωx=2 =2sin. 又由

9、題意知,T==4×, 所以ω=1. (2)解法一:由(1)知,f(A)=2sin=0, 所以sin=0, 又因為 0

10、,c=或c=(舍去). 熱點三 解三角形中的最值問題 解三角形中的最值問題也是高考考查的一個重點,主要以考查面積的最值、邊長(周長的取值范圍)、兩角三角函數(shù)和的取值范圍等. [典題3] [2015·山東卷]設f(x)=sin xcos x-cos2. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面積的最大值. [解] (1)由題意知, f(x)=- =-=sin 2x-. 由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z; 由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x

11、≤+kπ,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z); 單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z). (2)由f=sin A-=0,得sin A=, 由題意,知A為銳角,所以cos A=. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 可得1+bc=b2+c2≥2bc, 即bc≤2+,當且僅當b=c時等號成立. 因此bcsin A≤. 所以△ABC面積的最大值為. 解三角形的最值問題常需結合基本不等式求解,關鍵是由余弦定理得到兩邊關系,再結合不等式求解最值問題,或者將所求轉化為某個角的三角函數(shù),借助三角函數(shù)的值域求范圍. [2017·江西臨川一中模擬]已知f(x)=co

12、s 2x+2sinsin(π-x),x∈R. (1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間; (2)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且f(A)=-,a=3,求BC邊上的高的最大值. 解:(1)f(x)=cos 2x-sin 2x =-2sin, ∴f(x)的最小正周期為π, 令2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得 kπ+π≤x≤kπ+π(k∈Z), ∴單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). (2)由f(A)=-,得sin=, 又A∈, ∴2A∈(0,π),2A-∈,∴A=. 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,得9=b2+c2-bc≥bc,即bc≤9(當且僅當b=c時等號成立), 設BC邊上的高為h,由三角形等面積法知ah=bcsin A,得3h=bc≤, ∴h≤,即h的最大值為.

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