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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,*,南開大學(xué)金融學(xué)本科核心課程,投資學(xué),第五版,南開大學(xué)金融學(xué)系,李學(xué)峰,2006,年第二學(xué)期,第八章 套利定價(jià)理論,在一個(gè)均衡的資本市場中，所有的資產(chǎn)將遵循,“,一價(jià)法則,”,，即同一個(gè)資產(chǎn)既便在不同的市場上,也只有一個(gè)均衡價(jià)格。當(dāng),“,一價(jià)法則,”,被違反時(shí)，,即出現(xiàn)了套利（,arbitrage,）機(jī)會。套利定價(jià)理論,（,arbitrage pricing,theory,APT,）即通過對套利,條件和行為的研究，揭示出套利定價(jià)模型及其對市,場均衡的影響。套利定價(jià)理論本質(zhì)上是一個(gè)多因素,定價(jià)模型。,第
2、一節(jié) 多因素定價(jià)模型,一、多因素模型的提出,指數(shù)模型將收益分解為系統(tǒng)的和公司特有的兩,部分，但宏觀因素其本身又受到多種因素的影響，,如經(jīng)濟(jì)周期、利率和通貨膨脹等；第六章我們在對,經(jīng)典,CAPM,進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)中也指出，,CAPM,所揭示的影,響資產(chǎn)定價(jià)的因素并不全面。正是這些理論考慮，,構(gòu)成了多因素模型的定義基礎(chǔ)。,此外，單指數(shù)模型的一個(gè)隱含假定是，每個(gè)證,券對每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素具有相同的敏感度。但實(shí)際上不,同的證券對不同的宏觀經(jīng)濟(jì)因素有不同的貝塔值。,假設(shè)經(jīng)濟(jì)周期的不確定性和利率的變動是宏觀,經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)的來源，前者我們用,GDP,來測度，后者用,IR,表示。考慮兩家公司，一家是公用事業(yè)公司，一家,是航
3、空公司。由于公用事業(yè)公司的收益受到政府管,制，一般它對,GDP,的敏感性較弱，即有一個(gè),“,低,GDP,貝塔值,”,；但可能對利率的敏感度較高，即有一個(gè),“,負(fù)的高利率貝塔值,”,。相反，航空公司的業(yè)績對,經(jīng)濟(jì)活動非常敏感，而對利率的敏感度較低，即它,有一個(gè)高的,GDP,貝塔值和低的,IR,貝塔值。很明顯，這,種情況下，單指數(shù)模型很難對風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)行精確處,理。,對上述情況，我們可以把單指數(shù)模型擴(kuò)展成為,一個(gè)雙因素模型，即：,R,i,=,+,GDP,GDP,t,+,IR,IR,t,+e,t,（,8.1,）,這樣，我們即可精確描述不同宏觀風(fēng)險(xiǎn)對不同,證券的影響。這即是多因素模型（,multifac
4、tor models,）優(yōu)于單指數(shù)模型的原因所在。,在應(yīng)用多因素模型時(shí)，一個(gè)重要的工作是對因,素的選擇與確定，也就是說，我們在眾多的宏觀經(jīng),濟(jì)因素中，應(yīng)選擇哪些因素作為對證券收益產(chǎn)生影,響的宏觀風(fēng)險(xiǎn)？一般而言，對因素的選擇應(yīng)遵循兩,個(gè)原則，其一是僅考慮與證券收益直接有關(guān)的宏觀,因素；其二是選擇那些投資者最關(guān)心的因素。,二、多因素模型的理論基礎(chǔ),當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)對期望收益有影響時(shí)，這一風(fēng)險(xiǎn)即是,“,可定價(jià),”,的。單因素模型認(rèn)為，只有市場因素可,定價(jià)。默頓（,Robert,C.Merton,，,1973,）則推導(dǎo)出了,多因素的,CAPM,，并證明，其他風(fēng)險(xiǎn)來源因素也可定,價(jià)，這些因素包括勞動收入、重要消費(fèi)
5、品價(jià)格（如,能源價(jià)格）等。也就是說，對其他風(fēng)險(xiǎn)來源可否定,價(jià)的研究，構(gòu)成了多因素模型的理論基礎(chǔ)。,三、多因素模型,對于與,n,種證券的收益相關(guān)的,m,（,m0,（,8.5,）,否則構(gòu)建組合無意義。,可見，有效的套利組合是有吸引力的：不需要,額外資金、無額外風(fēng)險(xiǎn)、收益為正。,第三節(jié) 套利定價(jià)模型,套利定價(jià)模型也可以分為單因素模型和多因素模,型。,一、單因素套利定價(jià)模型,假設(shè)只有單個(gè)系統(tǒng)性因素影響證券的收益，即考,察一個(gè)單因素的情況。在這一模型中，證券收益的,不確定性來自兩個(gè)方面：系統(tǒng)性因素和公司特有的,因素。如果我們用,F,代表系統(tǒng)性因素的影響，,i,表,示公司,i,對該因素的敏感性，,i,表示
6、公司,i,特定因素的,擾動，則該單因素模型可以表述為：,r,i,=,E(r,i,)+,i,F+,i,（,8.6,）,上式即是單因素套利定價(jià)模型。公式（,8.6,）,中，所有非系統(tǒng)性收益,i,之間均相互獨(dú)立，同時(shí)與,F,相互獨(dú)立。,為了理解,F,在單因素套利定價(jià)模型中的作用，我,們假設(shè)宏觀因素,F,代表,GDP,的意外變化比例。如果投,資者一致認(rèn)為今年,GDP,增長率為,8,，而實(shí)際增長率,為,7,，則,F,值為,1,，表明在與期望增長率相比較,時(shí)，實(shí)際增長率有,1,的失望。如果我們進(jìn)一步假定,某股票的貝塔值為,1.2,，即可將該股票的收益較之前,的預(yù)測降低,1.2,。這即是,F,因素對證券收益
7、的影響,所在。,例題,8.1,：,假設(shè)一個(gè)充分分散化的投資組合,A,，其,A,1,，,預(yù)期收益為,10,，則該投資組合的收益為：,E(r,A,)+,A,F,=10%+1,F,（,8.7,）,如果宏觀因素發(fā)生積極的變化，即,F,為正值，投,資組合的收益將超過預(yù)期收益，反之如果,F,為負(fù)值，,則收益將低于平均值。,進(jìn)一步，假設(shè)存在另一投資組合,B,，其預(yù)期收益,為,8,，,B,1,。那么，組合,A,和組合,B,如果同時(shí)存,在，將導(dǎo)致套利機(jī)會的出現(xiàn)。以數(shù)字為例表述即,是，如果我們做,100,萬元的組合,B,的空頭，同時(shí)買入,100,萬元組合,A,，即實(shí)施一項(xiàng)凈投資為零的策略，我,們將獲利,2,萬元。
8、即：,(0.1+1,F),100,萬元,-(0.8+1,F),100,萬,元,=2,萬元,資產(chǎn)組合,A,做多頭 資產(chǎn)組合,B,做空頭,即我們獲得了凈收益,2,萬元的無風(fēng)險(xiǎn)利潤。這種,情況下，投資者的套利行為必將使利差消失。,二、多因素套利定價(jià)模型,以上的研究中，我們將系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)因素概括為一,個(gè)抽象的,F,，這即是單因素套利定價(jià)模型的實(shí)質(zhì)。而,實(shí)際上，系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)是由多種因素構(gòu)成的，如利率,的變動、通貨膨脹的變動等?？疾爝@些因素的變動,對預(yù)期收益的影響，即是所謂多因素套利定價(jià)模型（,multi-factors APT model,）。,假設(shè)證券,i,的收益受,k,個(gè)系統(tǒng)性因素的影響：,r,i,=E
9、(r,i,)+,i1,F,1,+,i2,F,2,+,ik,F,n,+,i,（,8.8,）,其中,r,i,為證券,i,的收益率，,E(r,i,),為證券,i,的預(yù)期,收益率，,ik,是證券,i,對第,k,個(gè)因素的敏感度，,i,為,非系統(tǒng)性因素，且,E(,i,)=0,。,對于一個(gè)高度分散化的資產(chǎn)組合，由于非系統(tǒng),性風(fēng)險(xiǎn)將被分散掉，因此只有系統(tǒng)性因素需要給以,風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。證券,i,預(yù)期收益與這些系統(tǒng)性因素的關(guān)系,為：,E(r,i,)=,0,+,i1,1,+,i2,2,+,+,ik,k,（,8.9,）,式中,0,為無風(fēng)險(xiǎn)因素所得到的補(bǔ)償額，即無風(fēng),險(xiǎn)收益率（,r,f,）；,k,（其中,k=1,2,k,）
10、為投資者承,擔(dān)第,k,個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素所得到的補(bǔ)償額；,ik,為風(fēng)險(xiǎn)的衡,量。當(dāng)證券,i,對所有,k,個(gè)因素都不敏感時(shí)，該證券或證券組合即是零,或零風(fēng)險(xiǎn)組合。,假設(shè)資產(chǎn)組合,p,1,只與因素,1,有一個(gè)單位的敏感,度，即,i1,1,，而：,i2,i3,=,ik,=0,則：,E(r,p,)=,0,+,1,i1,（,8.10,）,由于,i1,1,，因此有：,E(r,p1,)=,0,+,1,（,8.11,）,從而,1,E(r,p1,),0,（,8.12,）,即風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償額為預(yù)期收益率超過無風(fēng)險(xiǎn)收益率,的部分。,以上述方法類推其他,值后，得到多因素,APT,模,型：,E(r,p1,)=,0,+,i1,E(r,
11、p1,)-,0,+,i2,E(r,p2,)-,0,+,ik,E(r,pk,)-,0,（,8.13,）,例題,8.2,：,假設(shè)某股票的收益受到行業(yè)狀態(tài),I,、市場利率,R,和經(jīng)濟(jì)增長率,G,三種因素的影響，并假設(shè),E(r,I,),12,，,E(r,R,),8,，,E(r,G,),10,，且,I,1,，,R,0.5,，,G,0.75,。給定無風(fēng)險(xiǎn)收益率為,6,。請用套,利定價(jià)模型確定該股票的無套利均衡收益率。,解：根據(jù)多因素套利定價(jià)模型，我們有：,E(r,)=,0,+,I,E(r,I,)-,0,+,R,E(r,R,)-,0,+,G,E(r,G,)-,0,=6%+1(12,-6%)+0.5(8,-6
12、%)+0.75(10,-6%),=16,即該股票的無套利均衡收益率為,16,。,三、套利定價(jià)模型的應(yīng)用,這里我們以單因素套利定價(jià)理論為例，觀察套,利定價(jià)理論在投資決策中的應(yīng)用。單因素套利定價(jià),模型為：,r,i,=,E(r,i,)+,i,F+,i,假設(shè)投資者持有,A,、,B,、,C,三種股票，,x,A,為第,I,種股票的改變量，則根據(jù)公式（,8.3,）、（,8.4,）和,（,8.5,），構(gòu)建套利組合必須同時(shí)滿的三個(gè)條件可以,表述為：,x,A,+x,B,+x,C,=0,A,x,A,+,B,x,B,+,C,x,C,=0,E(r,A,)x,A,+E(r,B,)x,B,+E(r,C,)x,C,0,即凈投
13、資為,0,、風(fēng)險(xiǎn)為,0,且收益為正。根據(jù)方程,組中的前兩個(gè)公式，可以得出無窮多組解，因此,可以任取,x,A,m,，則方程組中的前兩個(gè)條件為：,m+xB+xC,=0,Am+BxB+CxC,=0,解方程組可得：,x,B,=(,A,-,C,)m/,C,-,B,x,C,=(,A,-,B,)m/,B,-,C,將,x,A,、,x,B,和,x,C,的值代入方程組中的第三,個(gè)條件，得：,E(r,A,)m+E(r,B,)(,A,-,C,)m/,C,-,B,+,E(r,C,)(,A,-,B,)m/,B,-,C,0 (8.14),只要式（,8.14,）成立，即就意味著存在套利機(jī),會。投資者只要對變動量為負(fù)的股票做空
14、頭，而對,變動量為正的股票做多頭，就可達(dá)到無需追加資,金，而且又不冒任何風(fēng)險(xiǎn)的情況下獲利（若,i,十分,小）。為了說明這一結(jié)果，假設(shè),A,0.8,，,B,1.8,，,C,3,；并假設(shè),E(r,A,),0.16,，,E(r,B,),0.1,，,E(r,C,),0.24,。將這些已知數(shù)代入方程組，得到：,x,A,+x,B,+x,C,=0,0.8x,A,+1.8x,B,+3x,C,=0,0.16x,A,+0.1x,B,+0.24x,C,0,任意設(shè),x,A,=6,萬元，代入方程組的前兩個(gè)條,件，得到：,x,B,=-11,萬元，,x,C,=5,萬元,將,x,A,=6,、,x,B,=-11,、,x,C,=
15、5,代入方程組的第,三個(gè)條件，得：,0.16,6,0.1,110.24,5=1.060,即存在套利機(jī)會。投資者通過減持股票,B,而獲取,的,11,萬元的資金用于購買,6,萬元的股票,A,和,5,萬元的股,票,C,，股票變動量的凈額為,0,，而投資者的股票總市,值保持不變。最終的結(jié)果是投資者既不增加投資，,又不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，只要預(yù)期收益率能夠?qū)崿F(xiàn)，就可以,套取,1.06,萬元的現(xiàn)金收益。,這一結(jié)果也說明，股票,A,與股票,C,的價(jià)值被市場,低估，而股票,B,的價(jià)值被高估。隨著套利行為的不斷,繼續(xù)，股票,B,因供過于求而遭到大量的拋售，從而導(dǎo),致股價(jià)下降，預(yù)期收益率逐漸上升；股票,A,和股票,C,因受市場的青睞而有大量資金涌入，致使股價(jià)紛紛,抬升，預(yù)期收益率逐漸下降，直到套利機(jī)會消失。,應(yīng)用雙因素套利定價(jià)模型的過程與上述單因素,的情況相同。由于在短期內(nèi)對股票的影響因素相對,較少，因此在進(jìn)行套利分析時(shí)，通常采用單因素模,型或雙因素模型。,
南開大學(xué)金融學(xué)本科核心課程(1)
