函數奇偶性 (2)

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1、函數的奇偶性（一）學 習 目 的 ：1、 了 解 函 數 奇 偶 性 的 定 義 ；2、 掌 握 判 斷 函 數 奇 偶 性 的 方 法 2xy 3xy 22 xy o 22 xy o 2 4 2f f 1 1 1f f 1 1 12 4 2f f 2 8 2f f 1 1 1f f 1 1 12 8 2f f 32 21 xyxy 研 究 函 數 xx 2xy xy o xx 3xy xy o xfxfxx 22 xfxfxx 33當 自 變 量 取 一 對 相 .,函 數 值 相 同反 數 時 當 自 變 量 取 一 對 相 反 .,函 數 值 也 是 相 反 數數 時 (一)函數的奇偶性

2、定義:偶函數（even function）的定義： 一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數 奇函數（odd function）的定義： 一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函數想 一 想 ：你能仿照偶函數的定義給出奇函數的定義嗎？思考：判斷上述例子中的兩個函數的奇偶性？偶函數奇函數非奇非偶函數 2xy 3xy -1,1x變式：2xy 注意： 函 數 是 奇 函 數 或 是 偶 函 數 稱 為 函 數 的 奇 偶 性 ，函 數 的 奇 偶 性 是 函 數 的 整 體 性 質 ；

3、 由 函 數 的 奇 偶 性 定 義 可 知 ， 函 數 具 有 奇 偶 性的 一 個 必 要 條 件 是 ， 對 于 定 義 域 內 的 任 意 一 個 x，則 x也 一 定 是 定 義 域 內 的 一 個 自 變 量 （ 即 定 義 域關 于 原 點 對 稱 ） 首要條件 (三)典型例題例1判斷下列函數的奇偶性：4(1) ( ) ;f x x 5(2) ( ) ;f x x 1(3) ( ) ;f x x x 21(4) ( ) ;f x x 解： 4( )f x x(1)對于函數 ，其定義域為( -,+ ). 對定義域內的每一個x，都有4 4( ) ( ) ( ).f x x x f x

4、 函數 為偶函數。 4( )f x x 4(1) ( ) ;f x x 解： 5( )f x x(2)對于函數 ，其定義域為( -,+ ). 對定義域內的每一個x，都有5 5( ) ( ) ( ).f x x x f x 函數 為奇函數。 5( )f x x 5(2) ( ) ;f x x 解： 對定義域內的每一個x，都有1 1( ) ( ) ( ).f x x x f xx x (3)對于函數 ，其定義域為 x|x0 .1( )f x x x 函數 為奇函數。1( )f x x x 1(3) ( ) ;f x x x 解： 對定義域內的每一個x，都有 2 21 1( ) ( ).( )f x

5、 f xx x (4)對于函數 ，其定義域為 x|x0 .21( )f x x 函數 為奇函數。1( )f x x x 21(4) ( ) ;f x x 想 一 想 ： 判 斷 函 數 奇 偶 性 的 大 體 步 驟 分 哪 幾 步 ？（1）若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數；（2） 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數3、 根 據 f(-x)與 f(x)的 關 系 判 斷 奇 偶 性 。可 分 三 步 ： 1、 寫 出 函 數 的 定 義 域 ； 2、 判 斷 定 義 域 是 否 關 于 原 點 對 稱

6、 ； 22, 0, ;2 , 2,2 ;3 ;4 3;5 0f x x xf x x xf x xf xf x 做 一 做 ： 判 斷 下 列 函 數 的 奇 偶 性1非奇非偶偶函數非奇非偶偶函數既是奇函數又是偶函數 歸納函數奇偶性的類型： 1 1 0 xf x 非 奇 函 數 非 偶 函 數 ， 如 ： f x 定 義 域 不 是 關 于 原 點 對 稱 的 函 數2 偶 函 數 ， 如 ： f x =f -x ,f x =a(即 常 數 函 數 )3 奇 函 數 ， 如 ： f -x4 既 是 奇 函 數 又 是 偶 函 數 ， 如 ： f x 1函數f（x）=x (-1x 1)的奇偶性是

7、（ ） A奇函數非偶函數B偶函數非奇函數 C奇函數且偶函數 D非奇非偶函數D 2. 已知函數 f（x）=ax2bxc（a0）是偶函數， 那么 g（x）=ax3bx2cx 是 ( ） A.奇函數 B.偶函數 C.既奇又偶函數D.非奇非偶函數A課堂練習： 12 x 2x x2 ).0()1( ),0()1( xxx xxx4. 判 斷 下 列 函 數 的 奇 偶 性 ：(1)f(x) lg(2)f(x) +(3) f（ x） = -x); 2 1x 2 1x 解 (1)此 函 數 的 定 義 域 為 R. f(-x)+f(x) lg( +x)+lg(（ 3） 函 數 f（ x） 定 義 域 （ ，

8、 0） （ 0， + ） ，當 x 0時 ， x 0， f（ x） =（ x） 1 （ x） = x（ 1+x） = f（ x） （ x 0） .當 x 0時 ， x 0， f（ x） = x（ 1 x） = f（ x） （ x 0） .故 函 數 f（ x） 為 奇 函 數 . -x) lg1 0 f(-x) -f(x)， 即 f(x)是 奇 函 數 。(2)此 函 數 定 義 域 為 2 ， 故 f(x)是 非 奇 非 偶 函 數 。 5, ,R已 知 函 數 f x ， x都 有 f x+y =f x +f y1 證 明 f x 是 奇 函 數 ;2 若 f -3 =a， 試 用 a表

9、示 24 證明：（1）證明： 令y=-x，得：f（x）+f（-x）=f（0）， 令x=y=0，則f（0）=2f（0）即f（0）=0， f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x）， f（x）是奇函數（2） f（24）=f（3）+f（21） =2f（3）+f（18） = =8f（3）， 又 f（-3）=a f（3）=-a f（24）=-8a 小 結奇函數的概念偶函數的概念判斷函數奇偶性的方法與步驟總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟： 首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱； 確定f(-x)與f(x)的關系； 作出相應結論： 若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(

10、x) = 0，則f(x)是偶 函數； 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是 奇函數 函數的奇偶性（二）學習目的： 函數奇偶性的靈活運用 : ?.思 考 題奇 函 數 和 偶 函 數 的 圖 象 各 有 什 么 特 點各 舉 一 例 2xy xy o 3xy xy o o xyxy 1 | 1xy o xy xfxP , xfxP , xfxP , xfxP , 一、具有奇偶性的函數的圖象的特征: 偶函數的圖象關于y軸對稱； 奇函數的圖象關于原點對稱注 意 ： 簡 稱 ： 奇 原 偶 其 逆 命 題 也 成 立 二、單調性：偶函數在對稱區(qū)間的單調性相反；奇函

11、數在對稱區(qū)間的單調性相同； 2xy xy o 3xy xy o 奇偶函數的圖象對稱定理的應用：作圖；判斷函數的奇偶性；數形結合解題 1利用函數的奇偶性補全函數的圖象例如圖是函數 圖像的一部分，你能根據 的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？ 3( )f x x x ( )f x課堂練習： 解： 對定義域內的每一個x，都有3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f x x x x x f x 對于函數 ，其定義域為(-,+).3( )f x x x 函數 為奇函數。 3( )f x x x 奇函數的圖象關于原點對稱，因此可以畫出函數 的圖象：3( )f x x x 2、 已 知 f(x)是 奇

12、 函 數 ， g(x)是 偶 函 數 ，如 圖 （ 1） 、 （ 2） 分 別 是 他 們的 局 部 圖 象 ， 試 求 f(-2) ， g(1) ，并 把 這 兩 個 函 數 的 圖 象 補 充 完 整 。 x43210-1-2-3-4 213-3y-2-1 f(x)(1) 3210-1-3 23-3-2-14y 1-2 x(2)g (x)f(-2)=- f(2)=-2 g(1)=g(-1)=1 x43210-1-2-3-4 213-3y-2-1 f(x)（ 1） x3210-1-3 23-3-2-14y1-2g (x) (2) 3： 奇 函 數 f(x)在 區(qū) 間 3， 7上 遞 增 ，

13、且 最 小 值 為 5， 那 么 在 區(qū) 間 7， 3 上 是 （ ） A 增 函 數 且 最 小 值 為 5 B 增 函 數 且 最 大 值 為 5 C 減 函 數 且 最 小 值 為 5 D 減 函 數 且 最 大 值 為 5 B 3 ,0 12 _0 _f xx f x xfx f x 4、 設 是 定 義 在 上 的 偶 函 數 ， 且 時 , 則 ； 當 時 ， ；解析：f(2)f(2)9， x0時， x0 f(x)(x)311x3。 而函數f(x)是定義在R上的偶函數， 所以有f(-x) = f(x) 所以f(x) = 1x 3 9 1x3 題 結 ： 在 哪 個 區(qū) 間 求 解 函 數 式 ， 就 設 在 哪 個 區(qū) 間 里 ； 利 用 已 知 區(qū) 間 的 解 析 式 進 行 代 入 ; 利 用 f(x)的 奇 偶 性 把 f(-x)寫 成 -f(x)或 f(x)， 從 而 求 解 f(x). 本節(jié)主要學習了函數的奇偶性，判斷函數的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法，用定義法判斷函數的奇偶性時，必須注意首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱單調性與奇偶性的綜合應用是本節(jié)的一個難點，需要學生結合函數的圖象充分理解好單調性和奇偶性這兩個性質