《高數(shù)微積分方向?qū)?shù)梯度》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高數(shù)微積分方向?qū)?shù)梯度（35頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,引例：,一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？,問題的,實(shí)質(zhì),：應(yīng)沿,由熱變冷變化最驟烈,的方向（即梯度方向）爬行,第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度,一、問題的提出,討論函數(shù) 在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題,二、方向?qū)?shù)的定義,當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，,是否存在？,記為,在偏導(dǎo)數(shù)存在的前提下,證明:,由于函數(shù)可微，則
2、增量可表示為,兩邊同除以,得到,是方向余弦,故有方向?qū)?shù),亦等于,x,z,y,0,l,y,x,z,P,P,0,z=f,(,x,y,),Q,M,是曲面在,點(diǎn),P,0,處沿,方向,l,的變化率，,即半切線,方向?qū)?shù),方向?qū)?shù)的幾何意義,的斜率.,N,（看成是割線，切線是割線的極限位置）,解：,所求方向?qū)?shù),解,由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,故,推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,解,令,故,方向余弦為,故,三、梯度的概念,結(jié)論：,沿梯度方向的方向?qū)?shù)取得最大值，,即,函數(shù)沿梯度方向增長(zhǎng)最快，,這個(gè)最大值等于這點(diǎn)處梯度的模。,類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?/p>
3、數(shù)的最大值.,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),稱為函數(shù),f,的,等值線,.,則,L,*,上點(diǎn),P,處的法向量為,同樣,對(duì)應(yīng)函數(shù),有,等值面,(等量面),當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí),其上,點(diǎn),P,處的法向量為,函數(shù)在一點(diǎn)的,梯度垂直于該點(diǎn)等值面,(或等,高,線),指向函數(shù)增大的方向,梯度的幾何意義：,梯度的方向與等值面（或者等高線）,該點(diǎn)的法線,的,一個(gè)方向,相同,（從數(shù)值低的等高線指向數(shù)值高的）.,看書p46圖,等高線的畫法,例如,解,由梯度計(jì)算公式得,故,勢(shì)與勢(shì)場(chǎng),向量函數(shù),grad,f,(,M,)確定了一個(gè)向量場(chǎng)(梯度場(chǎng)),它是,由數(shù)量場(chǎng),f,(,M,)產(chǎn)生的.通常稱函數(shù),f,(,M,)為這個(gè)向
4、量場(chǎng)的勢(shì),而這個(gè)向量場(chǎng)又稱為勢(shì)場(chǎng).,必須注意,任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是勢(shì)場(chǎng),因?yàn)樗?一定是某個(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場(chǎng).,四.數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng),如果對(duì)于空間區(qū)域,G,內(nèi)的任一點(diǎn),M,都有一個(gè)確定的數(shù)量,f,(,M,),則稱在這空間區(qū)域,G,內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng).,如果對(duì)于空間區(qū)域,G,內(nèi)的任一點(diǎn),M,都有一個(gè)確定的向量,F,(,M,),則稱在這空間區(qū)域,G,內(nèi)確定了一個(gè)向量場(chǎng).,例5,設(shè)質(zhì)量為,m,的質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn),質(zhì)量為,1 的質(zhì)點(diǎn),位于,記,它表示兩質(zhì)點(diǎn)間的引力,方向朝著原點(diǎn),大小與質(zhì)量,的乘積成正比,與兩點(diǎn)間距離的平方成反比.,這說明了引力場(chǎng)是數(shù)量場(chǎng),的梯度場(chǎng),因此,常稱,為,引力勢(shì),.,1、方向?qū)?shù)
5、的概念,2、梯度的概念,3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的,區(qū)別,）,（注意梯度是一個(gè),向量,）,小結(jié),思考題,答,所以沿著任意方向的方向?qū)?shù)都存在且相等,導(dǎo)數(shù),思考與練習(xí),1.設(shè)函數(shù),(1)求函數(shù)在點(diǎn),M,(1,1,1)處沿曲線,在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);,(2)求函數(shù)在,M,(1,1,1)處的,梯度,與(1)中,切線方向,的夾角,.,曲線,1.(1),在點(diǎn),解答提示:,函數(shù)沿,l,的方向?qū)?shù),M,(1,1,1)處切線的方向向量,2,.,函數(shù),在點(diǎn),處的梯度,解:,則,注意,x,y,z,具有輪換對(duì)稱性,(92考研),指向,B,(3,2,2)方向的方向?qū)?shù)是,.,在點(diǎn),A,(1,0,1)處沿點(diǎn),A,3.,函數(shù),提示:,則,(96考研),課后思考題：,1.研究多元函數(shù)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，方向?qū)?shù)，梯度的關(guān)系。,2.研究多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，全微分，,方向?qū)?shù)，梯度的幾何意義。,
高數(shù)微積分方向?qū)?shù)梯度
