大學(xué)物理高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)微積分能量守恒定律

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,2 – 4 能量守恒定律,第二,章 動力學(xué)基本,定律,,力對質(zhì)點所作的功為力在質(zhì)點位移方向的分量與位移大小的乘積（,功是,標(biāo)量,，,過程量,）。,一 功,和功率,力的,空間累積,效應(yīng),:,,，,動能定理,.,B,*,*,A,對 積累,,,合力的功,,=,分力的功的代數(shù)和,,變力的功,直角系,自然系,,,功的大小,與參照系有關(guān),,功的量綱和單位,,平均功率,,瞬時功率,,功率的單位,,（,瓦特）,,,思考1,一質(zhì)點受力 （SI）作用，沿,x,軸正方向

2、運動。求質(zhì)點從 到 m，力 作的功。,,思考2,一質(zhì)點同時在幾個力作用下的位移為：,,（SI），其中一個力 為恒力：,,（SI），求此力在該位移過程中所作的功。,,二 動能和動能定理,動能（,狀態(tài),函數(shù),）,,動能定理,,合,外力對,質(zhì)點,所作的功，等于質(zhì)點動能的,增量。,,功和動能都與,參考系,有關(guān)；動能定理僅適用于,慣性系,。,注意,1 質(zhì)點的動能定理,,,例1,質(zhì)量為,m,的質(zhì)點系在一端固定的繩子上在粗糙水平面上作半徑為,R,的圓周運動。當(dāng)它運動一周時，由初速,v,0,減小為,v,0,/2。求：(1)摩擦力作的功；(2)滑動摩擦因

3、數(shù)。,解：,（1）根據(jù),質(zhì)點,動能定理，摩擦力的功,,（2）因摩擦力,方向與運動方向相反,可得,,,例 2,,如圖所示，一鏈條總長為,L,、質(zhì)量為,M,，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的長度為,a,，鏈條與桌面之間的滑動摩擦系數(shù)為,μ,。在重力作用下鏈條由靜止開始下落，求鏈條末端離開桌面時的速率。,,解,鏈條受三個力作用：摩擦力、重力、桌面的支持力（此力不作功）。建立坐標(biāo)如圖所示，則重力、摩擦力的功（均為,變力,）分別為,,,重力的功可用重力勢能的減少來求。,,對鏈條、細(xì)棒這樣一些有一定長度的物體，計算,重力勢能,和,重力的力矩,時可將其質(zhì)量集中在質(zhì)心，從而當(dāng)作一個質(zhì)點處理。,解得,由動能定理

4、得,,1） 質(zhì)點系中,一對內(nèi)力的功,如圖所示，質(zhì)點系的兩個質(zhì)量為,,和,,的質(zhì)點，它們相對于參考點,O,,的位矢分別為,,和,,，,它們間的相互作用力為,,和,,，,,，在,d,t,時間內(nèi)的位移分別為 和 。,則 和,,對質(zhì)點,,和,,作功之和為,2 質(zhì)點系的動能定理,,質(zhì)點系中,一對內(nèi)力的總功,質(zhì)點系中,一對內(nèi)力的總功只取決于兩相互作用的質(zhì)點的,相對位移,，而,與參考系,的選擇,無關(guān),。,說明,一對內(nèi)力的作功的,充要條件,是：兩質(zhì)點間沿,相互作用力的方向上,有相對位移,。,,2） 質(zhì)點系的動能定理,,質(zhì)點系,動能定理,,內(nèi)力功,外力功,對質(zhì)點系，有

5、,對第 個質(zhì)點，有,內(nèi)力,可以,改變,質(zhì)點,系,的,動能,。,注意,,,例,3,,如圖所示，一輛質(zhì)量為,M,,的平頂小車靜止在,,光滑的水平軌道上，今有一質(zhì)量為,m,,的小物體以水平,,速度,v,0,,滑向車頂。設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為,?,,，,,求：,(,1),從物體滑上車頂?shù)较鄬図旍o止需多少時間？,,(2),要物體不滑下車頂，車長至少應(yīng)為多少,？,,,m,M,解,,(M+m),：,水平方向動量守恒,,式中,v,是相對靜止時的速度,。,,(1),物體,m,：由動量定理得,,聯(lián)立,(1)(2),得,（2）,因所求車的長度,L,即為物體,,與小車,相對位移,，物體與小車所,,組成的系

6、統(tǒng)的,一對內(nèi)力,——摩擦力,作功之和不為零,，又因只有摩擦力作功，故由質(zhì)點系的動能定理知：,或用牛頓第二定律及勻變速直線運動方程求解。,,m,M,,,例4,如圖所示，用質(zhì)量為,M,的鐵錘把質(zhì)量為,m,的釘子敲入木板。設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？,解,設(shè)鐵錘敲打釘子前的速度為,v,0,，敲打后兩者的共同速度為,v,。,,鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻力大小為：,由動能定理， 有：,,即,第二次能敲入的深度為：,設(shè)鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為Δ,S,

7、，則有,,1,）,,萬有引力作功,以,為參考系， 的位置矢量為,.,1 萬有引力、重力、彈性力作功的特點,對,的萬有引力為,由 點移動到 點時 作功為,,三 保守力和非保守力 勢能,,,,A,B,2,）,,重力作功,,3,）,,彈性力作功,,2 保守力和勢能,重力功,彈力功,引力功,,保守力,：力所作的功,與路徑無關(guān),，僅決定于相互作用質(zhì)點的,始末,相對,位置,,.,,非保守力,：力所作的功與路徑,有關(guān),.（例如,摩擦,力）,,物體沿,閉合路徑,運動一周時，,保守力對它所作的,功等于零,.,,保守力的功,彈性,勢能,引力,勢能,重力,勢能,彈力,功,引

8、力,功,重力,功,,勢能,,在具有保守力相互作用的系統(tǒng)內(nèi)，,與物體間相互作用及,相對位置,有關(guān)的能量,稱為,系統(tǒng)的勢能,.,,,勢能具有,相對性,，勢能,大小,與,勢能零點,的選取,有關(guān),,.,勢能是,狀態(tài),函數(shù),令,,勢能是屬于,具有保守力相互作用,質(zhì)點系,系統(tǒng),的,,.,討論,,勢能計算,,勢能,微分式,,彈性,勢能曲線,重力,勢能曲線,引力,勢能曲線,,勢能曲線,,,機械能,質(zhì)點系動能定理,,非保守力的功,四 質(zhì)點系的功能原理,,質(zhì)點系的,功能原理,,質(zhì)點系機械能的增量等于外力和非保守內(nèi)力作功之和,.,,,當(dāng),時，,有,,功能原理,五 機械能守恒定律,,機械能守恒定律,只有,保

9、守內(nèi)力作功,的情況下，質(zhì)點系的機械能保持不變,.,,守恒定律的,意義,,不究過程細(xì)節(jié),而能對,系統(tǒng)的狀態(tài),下結(jié)論，這是,各個守恒定律的特點和優(yōu)點,.,,,如圖的系統(tǒng)，物體 A，B 置于光滑的桌面上，物體 A 和 C, B 和 D 之間摩擦因數(shù)均不為零，首先用外力沿水平方向相向推壓 A 和 B， 使彈簧壓縮，后拆除外力， 則 A 和 B 彈開過程中， 對A、B、C、D 及彈簧所組成的系統(tǒng),討論,（,A,）動量守恒，機械能守恒 .,,（,B,）動量不守恒，機械能不守恒 .,,（,C,）動量不守恒，機械能守恒 .,,（,D,）動量守恒，機械能不守恒 .,,（,E,）動量守恒，機械能不一定守恒,

10、.,D,B,C,A,D,B,C,A,,例 1,有一輕彈簧，其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點,P,，另一端系一質(zhì)量為,,m,,的小球，小球穿過圓環(huán)并在光滑圓環(huán)上運動。開始小球靜止于點,A,，彈簧處于自然狀態(tài)，其長度為圓環(huán)半徑,,R,； 當(dāng)小球運動到圓環(huán)的底端點,,B,,時，小球?qū)A環(huán)沒有壓力。求彈簧的勁度系數(shù),。,解,以彈簧、小球和地球為系統(tǒng),只有保守內(nèi)力做功,系統(tǒng)機械能守恒,取圖中點 為重力勢能零點,,又,,聯(lián)立（1）（2）解得,即,系統(tǒng)機械能守恒 ，圖中,B,點為重力勢能零點,,,例2,如圖所示，光滑地面上有一輛質(zhì)量為,,M,,的靜止的小車，小車上一長為,

11、,L,,的輕繩將小球,,m,,懸掛于,,O,點。把繩拉至水平，并將小球由靜止釋放。求,(,1,),小球運動到最低點時的速率、小車的速率；,(,2,),小球?qū)π≤囁龅墓Α?解得,對嗎？,解,以小球和地球為研究對象，,,它受兩個力：繩的拉力,,，重,,力,,。因為小球繞,,O,,點作圓運,,動，拉力,,與運動方向垂直，,,因此它不作功，只有重力（保,,守力）作功，所以,機械能守恒,：,O,L,m,M,,,說小球繞,O,點作圓運動，拉力,,,不作功，因而機械能守恒，這,,是以小車為參考系作的結(jié)論。這,,里有兩個錯誤：一是,小車,是,非慣,,性系,（有加速度），機械能守恒,,定律是,不成立,！二是機

12、械能守恒,,條件中的功，應(yīng)該在慣性系中計,,算。在慣性系（地面）上看，拉,,力,F,T,是要作功的，機械能不守恒。,,正確的解法是取,小車,、,小球,和,地球,為系統(tǒng)，一對內(nèi)力（拉力 和 ）作功之和為零，系統(tǒng)中只有保守內(nèi)力——重力作功，所以系統(tǒng)的機械能守恒。,O,L,m,M,,(,1,)(,M,,+,,m,,+,,地球,),系統(tǒng)機械能守恒,,系統(tǒng)動量守恒嗎？,,豎直方向的動量顯然不守恒，,,原因是此時地面的支持力不等于,,兩物體的重力，在豎直方向合外,,力不為零；只有在,水平方向,（系統(tǒng)不受外力）,動量守恒,：,解式,(,1,)、(,2,),得小球運動到最低點時的速率為：

13、,O,L,m,M,,(,2,)以,小車為研究對象，由動能,,定理得,O,L,m,M,,六 碰撞,碰撞,：,兩,個或兩個以上的,物體，,相互作用的,接觸時間極短,而,互作用力很大,、,并使物體的,運動狀態(tài),發(fā)生,急劇變化,的過程。,,,設(shè)有質(zhì)量分別為 和 ，速度分別為 和,,的小球作,對心碰撞,，兩球的速度方向相同。分析碰撞后的速度 和 。,取速度方向為正向，由動量守恒定律得,碰前,碰后,碰撞的,恢復(fù)系數(shù),1 碰撞的基本方程,,機械能的損失,?,E,碰前,碰后,,碰前,碰后,2 碰撞的兩種極端情形,完全彈性碰撞,碰撞,恢復(fù)系數(shù),此時

14、,完全彈性碰撞,的,特點,：,兩物體碰撞之后，總動能保持不變。系統(tǒng),動量守恒,，,機械能守恒,。,,（,1,）若,則,（,2,）若,且,則,（,3,）若,且,則,討 論,碰前,碰后,,完全彈性碰撞,（五個小球質(zhì)量全同）,,完全非彈性碰撞,的,特點,：,兩物體碰撞后以共同速度運動；系統(tǒng),動量守恒,，,機械能不守恒,且損失最大。,非完全彈性碰撞,：,由于非保守力的作用，兩物體碰撞后，使機械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能、化學(xué)能等其他形式的能量；系統(tǒng)的,動量守恒,。,完全非彈性碰撞,碰撞,恢復(fù)系數(shù),非完全彈性碰撞,碰撞,恢復(fù)系數(shù),,,例1,一質(zhì)量為,M,的彈簧振子，水平放置并靜止在平衡位置，如圖所示。一質(zhì)量為

15、,m,,的子彈以水平速度,v,射入振子中，并隨之一起運動。設(shè)振子,M,與地面間的摩擦系數(shù)為,μ,，求彈簧的最大壓縮量。,,,解,,1,）以(,,M+m,,)為對象：水平方向的外力有摩擦力和彈性力，雖合力不會為零，但這兩個力均,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于,碰撞的內(nèi)力，因此兩力均可以忽略，故水平方向動量守恒：,平衡位置,m,,2,）,壓縮過程,,,,由功能原理得：,聯(lián)立(1)(2)解得彈簧的最大壓縮量為,平衡位置,m,,,例2,如圖所示，固定的光滑斜面與水平面的夾角,?,,=30,?，輕質(zhì)彈簧上端固定，今在其另一端輕輕地掛上一質(zhì)量為,M,=1.0,kg的木塊，木塊由靜止沿斜面向下滑動。當(dāng)木塊向下滑,,x,,=30,

16、厘米時，恰好有一質(zhì)量,m,=,,0.01,kg的子彈，沿水平方向以速度,,v,,=,,200,m/s,,射中木塊并陷在其中。設(shè)彈簧的倔強系數(shù),k,,=25,N/m。求子彈打入木塊后它們剛開始一起運動時的速度。,,x,k,?,?,m,M,零勢點,（木塊+彈簧+地球）系統(tǒng)機械能守恒。選彈簧原長處為彈性勢能和重力勢能的零點，木塊下滑,x,時的速度為,v,1,解,,1,）木塊的下滑過程,,則,x,k,?,?,m,M,零勢點,,方向沿斜面向下。,子彈射入木塊過程中，斜面給木塊的支持力不能忽略（與內(nèi)力相當(dāng)），而系統(tǒng)沿斜面方向的外力（重力、彈性力）的分力可以忽略，故只有,沿斜面方向,系統(tǒng)的近似,動量守恒,。

17、若以,v,2,表示一起運動的速度，有,2,）碰撞過程——以,（子彈+木塊）為系統(tǒng),解得：,v,2,,= – 0.89 m/s,，,負(fù)號,表示,沿斜面向上,。,,（,子彈+,木塊+彈簧）組成的系統(tǒng),機械能守恒,：,解,,,子彈與,木塊組成的系統(tǒng)水平方向,動量守恒,：,,例3,如圖在光滑的水平面上，一原長為 、勁度系數(shù)為 的,輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與質(zhì)量為 的木塊相連并靜止于,,A,,點。設(shè)有一質(zhì)量,,的子彈，以初速度 水平射中木塊并嵌在其中。當(dāng)木塊運動到,,B,,點時彈簧的長度為 。求木塊在,,B,,點時的速度 。,,A,O,B,,（,子彈+,木塊）組成的

18、系統(tǒng),角動量守恒,：,A,O,B,聯(lián)立 求出 ；,（1）,（2）,代入 求出 。,（3）,,解,,,1,）,兩物體碰撞過程中為完全非彈性,碰撞,，水平方向動量守恒。運用動量守恒定律得：,,,例4,質(zhì)量為,,,的物體，靜止在固定于桌面上的半徑為,,R,,的光滑半球頂端，如圖所示。今有另一質(zhì)量為,,的粘性物體，以水平速度,,與之碰撞，并一起,,沿此半球面滑下。求：1）物體滑離球面時的角度,?,,；,,2）當(dāng),,多大時，物體直接飛離球面。,?,,?,兩物體在球面上滑動時，只有重力作功，所以,機械能守恒,。設(shè)當(dāng)物體,滑離球面,時的速率為,

19、,，相應(yīng)夾角為,?,,。,滑離球面的條件,,?,2,）當(dāng) 時，物體將直接飛離球面,,,例,5,一質(zhì)量為,m,,的小球豎直落入水中，剛接觸水面時其速率為 。設(shè)此球在水中所受的浮力與重力相等，水的阻力為 ，,b,為一常量。求阻力對球作的功與時間的函數(shù)關(guān)系,。,解,如圖建立坐標(biāo)軸,即,又,,,例 6,一質(zhì)量為1.0kg 的小球系在長為1.0m 細(xì)繩下 端 , 繩的上端固定在天花板上 . 起初把繩子放在與豎直線成 角處, 然后放手使小球沿圓弧下落 . 試求繩與豎直線成 角時小球的速率,.,

20、解,,,由動能定理,得,,例7,如圖所示，質(zhì)量為,,m,,的雪橇與一勁度系數(shù)為,,k,,的輕彈簧碰撞，雪橇將彈簧壓縮了,,x,0,,米。設(shè)雪橇與斜面間的摩擦因數(shù)為,?,，求開始碰撞時雪橇的速率,v,?,解,以雪橇、彈簧和地球為系統(tǒng)，力 與 不作功、,,摩擦力 作功，重力、彈簧的彈力是保守力。,,取地面為零重力勢能點，由功能原理,,,例8,質(zhì)量為,,、,,( ) 的兩木板A和B，用輕彈簧連在一起，如圖所示。問：(1)至少需用多大的壓力,,加于上板，才能在該力撤去后，恰好使 離開地面? (2) 如 、,,交換位置，結(jié)果如何?

21、,解,設(shè)彈簧初始壓縮 ，施,,加,,后， 下降 ；,,,撤去后，,,比原位置上升,,，這時,恰使,,,,被提起,,,A,B,,,恰好使 離開地面的條件為,取最低點處為重力勢能零點,由機械能守恒得,解得,故,A,B,,,?,,例 9,半徑為,R,、質(zhì)量為,,M,,且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一質(zhì)量為,,m,,的小物體，當(dāng)小物體從頂端無初速地下滑，在如圖所示的,?,,角位置處，開始脫離球面，試求：,,1）,?,,角滿足的關(guān)系式；,,2）分別討論,,m,/,M,<<1,,和,,m,/,M,>>1,,時,cos,?,,的取值。,,解,：

22、,1,）取地面為慣性系，因 ( m+M ) 系統(tǒng)沿水平方向不受外力，所以,水平方向動量守恒,；又以m、M和地球為系統(tǒng)的,機械能守恒,，有,?,,注意,式中的,,、,,是,m,相對地面的速度。由速度合成定理得,（1）,（2）,,?,注意：,小物體脫離半球后，半球以 作慣性運動。以半球為慣性系分析，小物體脫離半球瞬間仍相對球面作圓運動，小物體沿法向滿足,,2,）當(dāng),,m,/,M,<<1,,時，,這表明，這時,,M,,一下子滑出，,m,,豎直下落,。,當(dāng),,m,/,M,>>1,,時，,分解因式得,這相當(dāng)于,,M,,固定不動,的情況。,則有,聯(lián)立式,,解得：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,,