2020-2021學年高三數(shù)學一輪復習知識點專題5-1 平面向量的概念及其線性運算

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1、專題5.1 平面向量的概念及其線性運算 【考情分析】 1.了解向量的實際背景； 2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義； 3.理解向量的幾何表示； 4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義； 5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義； 6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義. 【重點知識梳理】 知識點一 向量的有關(guān)概念 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量 零向量 長度為0的向量 記作0，其方向是任意的 單位向量 長度等于1個單位的向量 非零向量a的單

2、位向量為 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量) 0與任一向量平行或共線 相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不相等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 知識點二 向量的線性運算 向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 三角形法則　　 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與

3、向量a的積的運算 |λa|＝|λ||a|，當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 知識點三 共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.,向量概念的4點注意 (1)注意0與0的區(qū)別，0是一個實數(shù)，0是一個向量，且|0|0. (2)單位向量有無數(shù)個，它們的模相等，但方向不一定相同． (3)零向量和單位向量是兩個特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向不確定，因此在解題時要注意它們的特殊性． 比如：命題“若a∥b

4、，b∥c，則a∥c”是假命題，因為當b為零向量時，a，c可為任意向量，兩者不一定平行． (4)任一組平行向量都可以平移到同一直線上． 【特別提醒】向量線性運算的3點提醒 (1)兩個向量的和仍然是一個向量． (2)利用三角形法則時，兩向量要首尾相連，利用平行四邊形法則時，兩向量要有相同的起點． (3)當兩個向量共線時，三角形法則仍然適用，而平行四邊形法則不適用． 【拓展提升】共線向量定理的深解讀 定理中限定了a≠0，這是因為如果a＝0，則λa＝0， (1)當b≠0時，定理中的λ不存在； (2)當b＝0時，定理中的λ不唯一． 因此限定a≠0的目的是保證實數(shù)λ的存在性和唯一性．

5、 知識點四 必備結(jié)論 1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即＋＋＋…＋＝.特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量． 2.在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論： (1) ＋＋＝0； (2) ＝(＋)； (3) ＝(＋)＝(＋)． 3．若＝λ＋μ (λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1. 4．對于任意兩個向量a，b，都有：①|(zhì)|a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2

6、＋|b|2)．當a，b不共線時：①的幾何意義是三角形中的任意一邊的長小于其他兩邊長的和且大于其他兩邊長的差的絕對值；②的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長與兩對角線的長之間的關(guān)系． 【典型題分析】 高頻考點一 平面向量的有關(guān)概念 【例1】（2020江蘇啟東中學模擬）給出下列命題： ①兩個具有公共終點的向量一定是共線向量； ②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小； ③若λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零； ④已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【答案】A　 【解析】①錯誤．兩向

7、量共線要看其方向而不是起點與終點．②正確．因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大?。坼e誤．當a＝0時，無論λ為何值，λa＝.④錯誤．當λ＝μ＝0時，λa＝μb，此時，a與b可以是任意向量． 【歸納總結(jié)】向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點 (1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度． (2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制． (3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等． (4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度． (5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線． 【變式探究】（2020湖南長沙二中模擬）對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是

8、“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A　 【解析】若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b. 若a∥b，則a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件． 高頻考點二 向量的線性運算 【例2】 (2018全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D．＋ 【答案】A 【解析】作出示意圖如圖所示．＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝－. 【方法技巧】向量線性運算的解題策略 (1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般

9、共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則． (2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解． 【變式探究】[2017全國卷Ⅱ]設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則(　　) A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b| C．a(chǎn)∥b D．|a|＞|b| 【答案】A 【解析】解法一：∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|2＝|a－b|2. ∴a2＋b2＋2ab＝a2＋b2－2ab. ∴ab＝0.∴a⊥b. 故選A. 解法二：利用向量加法的平行四邊形法則． 在?ABCD中，設(shè)＝a，＝

10、b， 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||， 從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b. 故選A. 高頻考點三 根據(jù)向量線性運算求參數(shù) 【例3】(2020山東棗莊模擬)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，則λ＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 【答案】D　 【解析】由＝λ可知－＝λ(－)， ∴＝＋， 又＝－＋， ∴ 解得λ＝－3，故選D. 【方法技巧】解決此類問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較求參數(shù)的值. 【變式探究】(2020河北廊坊模擬) 在△ABC中，點M

11、，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝ ；y＝ . 【答案】　－　 【解析】＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝－ ＝x＋y， ∴x＝，y＝－。 高頻考點四 共線向量定理的應用 【例4】（2020河南商丘模擬）已知O為△ABC內(nèi)一點，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三點共線，則t＝(　　) A. B. C. D. 【答案】B　 【解析】設(shè)E是BC邊的中點，則(＋)＝，由題意得＝，所以＝＝(＋)＝＋，又因為B，O，D三點共線，所以＋＝1，解得t＝，故選B. 【方法技巧】利用共線向量定理解題的方法 (1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共

12、線的主要依據(jù)．注意待定系數(shù)法和方程思想的運用． (2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．即A，B，C三點共線?，共線． (3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0. (4)＝λ＋μ (λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1. 【變式探究】(2020廣東惠州質(zhì)檢) 已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a與向量b共線，則(　　) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 【答案】D　 【解析】因為向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因為向量a和b共線，存在實數(shù)k，使得a＝kb，所以e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝(2k－1)e1，所以e1∥e2或λ＝0。