高中數(shù)學(xué)《平面向量的實(shí)際背景及基本概念》教案3新人教A版必修

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1、 課 題： 2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念 教學(xué)目的： 1．了解平面向量的實(shí)際背景； 2．掌握向量的幾何表示； 3．理解向量的有關(guān)概念； 4．逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、綜合和類(lèi)比能力和“知識(shí)重組”意識(shí)和“數(shù)形結(jié)合”能 力。 教學(xué)重點(diǎn)： 向量的概念、相等向量的概念、向量的幾何表示。 教學(xué)難點(diǎn)： 向量的概念和共線向量的概念。 授課類(lèi)型： 新授課 授課方式： 講授式、探究式 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析 ： 向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來(lái)的， 反過(guò)來(lái)， 向量的理論和方法， 又成為

2、 解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)， 通過(guò)向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算， 這樣通過(guò)向量就能較容易地研究空間的直 線和平面的各種有關(guān)問(wèn)題。 向量不同于數(shù)量， 它是一種新的量， 關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用。 因此， 本章在介紹向量概念時(shí)， 重點(diǎn)說(shuō)明了向量與數(shù)量的區(qū)別， 然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運(yùn)算法則，包括加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則等。之后，又將向 量與坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)， 把關(guān)于向量的代數(shù)運(yùn)算與數(shù)量 ( 向量的坐標(biāo) ) 的代數(shù)運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)， 這就為研究和解決有關(guān)幾何問(wèn)題又提

3、供了兩種方法——向量法和坐標(biāo)法。 本章共分五大節(jié)。第一節(jié)是“平面向量的實(shí)際背景及基本概念”， 內(nèi)容包括向量的物理 背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量。 本節(jié)從物理學(xué)中的位移、 力這些既有大小又有方向的量出發(fā)， 抽象出向量的概念， 并重 點(diǎn)說(shuō)明了向量與數(shù)量的區(qū)別， 然后介紹了向量的幾何表示、 向量的長(zhǎng)度、 零向量、 單位向量、 平行向量、共線向量、相等向量等基本概念。 在“向量的物理背景與概念”中介紹向量的定義；在“向量的幾何表示”中，主要介紹 有向線段、 有向線段的三個(gè)要素、 向量的表示、 向量與有向線段的區(qū)別與聯(lián)系、 向量的長(zhǎng)度、零向量、

4、單位向量、平行向量；在“相等向量與共線向量”中，主要介紹相等向量，共線向量定義等。 教學(xué)過(guò)程 ： 一、引入 同學(xué)們都知道， 數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科， 是解決其它一些學(xué)科問(wèn)題的有力工具。 其實(shí)數(shù)學(xué)的很多理論是由其它學(xué)科的一些知識(shí)抽象而來(lái)的。成為理論后又反過(guò)來(lái)對(duì)其它學(xué)科起作用。比如同學(xué)們學(xué)習(xí)的物理，它與數(shù)學(xué)就有非常密切的關(guān)系。 二、新授課 （一）向量的物理背景與概念 （提問(wèn)）請(qǐng)同學(xué)們回憶在物理中所學(xué)習(xí)過(guò)哪些既有大小又有方向的量？ 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 1 在 生活中，我 會(huì)遇到很多量，其中

5、一些 量在取定 位后用一個(gè) 數(shù)就可以表示出來(lái)，如 度、 量等。 有一些量，如我 在物理中所學(xué) 的位移、力是一個(gè)既有大小又有方向的量，例如： 物體受到的重力是 直向下的（ 2.1-1 ），物體的 量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到 的浮力是 直向上的（ 2.1-2 ），物體浸在液體中 的體 越大，它受到的浮力越大；被拉 的 簧的 力是向左的（ 2.1-3 ），被 的 簧的 力是向右的 （ 2.1-4 ），并且在 性限度內(nèi)， 簧拉 或 的 度越大， 力越大。 我 可以 位移、力?? 些既有大小又有方向的量 行

6、抽象，形成一種新的量。 種量就是我 本章所要研究的——向量。 向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一， 向量和數(shù)一 也能 行運(yùn)算， 而且用向量的有關(guān)知 能有效地解決數(shù)學(xué)、 物理等學(xué)科中的很多 ，在 一章，我 將學(xué) 向量的概念、運(yùn)算及其 用。 一 ，我 將學(xué) 向量的有關(guān)概念。 向量的概念： 我 把既有大小又有方向的量叫向量（物理學(xué)中常稱(chēng) 矢量） （而把那些只有大小，沒(méi)有方向的量如：年 、身高 度、面 、體 、 量等，稱(chēng) 數(shù)量。物理學(xué)中常稱(chēng) 量） 注意： 1 數(shù)量與向量的區(qū) ：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以 行代數(shù)運(yùn)算、比 大小；向量有方向，大小，雙重性，

7、不能比 大小。 （二）向量的幾何表示 引入：（由于 數(shù)與數(shù) 上的點(diǎn)一一 ，所以數(shù)量常常用數(shù) 上的一個(gè)點(diǎn)表示，而且不同的點(diǎn)表示不同的數(shù)量。 ） 于向量，我 常用 箭 的 段—— 有向 段 來(lái)表示， 段按一定比例（ 度）畫(huà)出，它的 短表示向量的大小，箭 的指向表示向量的方向。 有向 段： 有方向的 段叫有向 段。 （如 ） B 終點(diǎn) 我 在有向 段的 點(diǎn) 畫(huà)上箭 表示它的方向。以 A 起點(diǎn)、 B 點(diǎn)的有向 段 作 AB ，起點(diǎn)寫(xiě)在 點(diǎn)的前面。 A 起點(diǎn) 已知 AB ， 段 AB 的 度也叫做有向 段 AB 的 度， 作 AB . 有

8、向 段的三要素： 起點(diǎn)、方向、 度。 （知道了有向 段的起點(diǎn)、方向和 度，它的 點(diǎn)就唯一確定。 ） 向量的表示方法： 幾何表示： ①用有向 段表示； 字母表示： ②用表示向量的有向 段的起點(diǎn)與 點(diǎn)字母表示如： AB, CD ； ③用字母 a 、 b 、 c 等表示。 問(wèn)題 1：“向量就是有向 段，有向 段就是向量。 ”的 法 ？（提 ） （ ①向量是自由向量，只有大小和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無(wú)關(guān)：只要大小和方向相同， 兩個(gè)向量就是相同的向量； ②有向 段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向 段 ）

9、 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 2 向量的長(zhǎng)度（或稱(chēng)模） ：向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的長(zhǎng)度 （或稱(chēng) 模）：記作 AB 。 零向量、單位向量概念： ①長(zhǎng)度為 0 的向量叫零向量，記作 0 。 注意 0 與 0 的區(qū)別（及書(shū)寫(xiě)方法） 。 ②長(zhǎng)度等于 1 個(gè)單位的向量，叫單位向量。 說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向。 例 1 如圖 2.1-6 ，試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中分別用向量表示 A 地至 B、 C兩地的位移，并求出 A 地至 B、 C 兩地的實(shí)際距離（精

10、確到 1km） 解： AB 表示 A 地至 B 地的位移，且 AB 240km . AC 表示 A 地至 C 地的位移，且 AC 300km . （三）平行向量、共線向量與相等向量 平行向量定義： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我們規(guī)定 0 與任一向量平行。 說(shuō)明：（ 1）綜合①、②才是平行向量的完整定義； 

11、 a b （2）向量 a, b, c 平行，記作 a // b // c 。 共線向量定義：  c 平行向量也叫做共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上 . 說(shuō)明：（ 1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系； （2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系 . 相等向量定義： 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫 相等向量 。 說(shuō)明：（ 1）向量 a 與 b 相等，記作

12、a b； 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 3 （ 2）零向量與零向量相等； （ 3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú) 關(guān)。在平面上， 兩個(gè)長(zhǎng)度相等且指向一致的有向線段表示同一個(gè)向量， 因?yàn)橄蛄客耆伤? 方向和模確定。 問(wèn)題 2：兩個(gè)向量是否可以比較大小？（向量不能比較大小，我們知道，長(zhǎng)度相等且方 向相同的兩個(gè)向量表示相等向量，但是兩個(gè)向量之間只有相等關(guān)系，沒(méi)有大小之分， “對(duì)于 向量 a 、 b ， a b 或 a b ”這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的。 ） 例 2 判斷下列命題是否正確

13、，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由 . ①向量 AB 與 CD 是共線向量，則 A、 B、 C、 D ③若 AB ＝ DC ，則四邊形 ABCD是平行四邊形； ④若一個(gè)向量的模為 0 ⑤共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同。 解：①不正確 . 共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量 AB 、 AC 在同一直線上。 ②不正確 . 單位向量模均相等且為 1，但方向并不確定。 ③不正確 . ④正確 . ⑤不正確 . 如圖 AC 與 BC 共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同 . A B C 評(píng)

14、述：本題考查基本概念，對(duì)于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及 相互關(guān)系必須把握好。 三、練習(xí) ： 1．下列各量中不是向量的是（ ） A. 浮力 B. 風(fēng)速 C. 位移 D. 密度 2. 下列說(shuō)法中錯(cuò)誤 的是（ ） ．． A. 零向量是沒(méi)有方向的 B. 零向量的長(zhǎng)度為 0 C. 零向量與任一向量平行 D. 零向量的方向是任意的 3．把平面上一切單位向量的始點(diǎn)放在同一點(diǎn) , 那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是（ ） A. 一條線段 B. 一段圓弧 C. 圓上一群孤立點(diǎn) D. 一個(gè)單位圓 4．已知非零向量 a // b , 若非

15、零向量 c // a ，則 c 與 b 必定 . 5 ．已知 a 、 b 是兩非零向量 , 且 a 與 b 不共線 , 若非零向量 c 與 a 共線 , 則 c 與 b 必 定 . 6. 設(shè)在平面上給定了一個(gè)四邊形ABCD,點(diǎn) K、 L、M、 N 分別是 AB、BC、 CD、DA的中點(diǎn) , 則 | KL | _______, KL ________ 參考答案： 1.D 2.A 3.D 4. 平行 5. 6. | NM | ， NM 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 4 四、小結(jié) ： 1．了解平面向量的實(shí)際背景； 2．掌握向量的幾何表示； 3．理解向量的有關(guān)概念。 五、作業(yè) P86 習(xí)題 2.1 相關(guān)內(nèi)容，預(yù)習(xí) p85 例 2 六、板書(shū)設(shè)計(jì) （略） 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 5