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1、說課稿
課題:三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
教材:蘇教版數(shù)學(xué)4第1章1.2.3
一、教材分析
1、教材內(nèi)容
本節(jié)課是蘇教版必修4第一章《三角函數(shù)》1.2.3《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》的第一課時,該課時主要學(xué)習(xí)四組三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式。
2、教材的地位、作用
本節(jié)課是學(xué)生已學(xué)過的三角函數(shù)定義、單位圓中的三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)關(guān)系式等知識的延續(xù)和拓展,又是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式(五)、(六)的基礎(chǔ)。是本章“任意角的三角函數(shù)”一節(jié)及全章中起著承上啟下作用的重要紐帶。求三角函數(shù)值是三角函數(shù)中的重要內(nèi)容,利用誘導(dǎo)公式是求三角函數(shù)值的基本方法。誘導(dǎo)公式的重要作用是把求任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求0~90”角
2、的三角函數(shù)值問題,誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合和歸納轉(zhuǎn)化的思想方法,對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學(xué)生的思維能力、掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有重大的意義。
3、教學(xué)重點、難點
重點:四組誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)、記憶和運(yùn)用。
難點:誘導(dǎo)公式推導(dǎo)過程中數(shù)形關(guān)系的轉(zhuǎn)換;符號的判斷。
在教學(xué)中,通過動態(tài)演示、歸納轉(zhuǎn)化來突出重點,公式推導(dǎo)時注重師生互動、有效引導(dǎo)、學(xué)生自主探究來化解難點。
二、教學(xué)目標(biāo)分析
根據(jù)上述教材與重難點分析,結(jié)合新課標(biāo)要求,考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征,制定如下教學(xué)目標(biāo):
1. 理解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式;
2. 能運(yùn)用這些公式處理簡單的三角函數(shù)的化簡、求值等問題;
3、
目標(biāo)解析
1.在理解的基礎(chǔ)上,熟記誘導(dǎo)公式;
2.能運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù),并進(jìn)行簡單的三角變換;
3.經(jīng)歷由幾何特征(終邊的對稱)到發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系(誘導(dǎo)公式)的探索過程;
4.從公式推導(dǎo)和運(yùn)用的過程中,體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法;
5.初步體會三角函數(shù)和周期性變化的內(nèi)在聯(lián)系;
三、教法分析與學(xué)法分析
1.教法:本節(jié)課涉及到的公式比較多,為使學(xué)生有效掌握和運(yùn)用公式,我采用教師引導(dǎo)、學(xué)生自主探究的教學(xué)方法。
2.學(xué)法:指導(dǎo)學(xué)生通過公式的推導(dǎo)過程,體會數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想;通過解題分析,對學(xué)生進(jìn)行公式運(yùn)用與記憶的指導(dǎo)。
3.教學(xué)手
4、段:教學(xué)中采用多媒體演示,增強(qiáng)教學(xué)直觀性。
四、教學(xué)過程設(shè)計
本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計以新課標(biāo)為依據(jù),遵循教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的原則。下面從創(chuàng)設(shè)情境、建構(gòu)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)運(yùn)用、回顧反思、布置作業(yè)五個環(huán)節(jié)來談?wù)勎覍Ρ竟?jié)課的教學(xué)設(shè)想:
一、創(chuàng)設(shè)情境
教師先行組織:
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的概念。三角函數(shù)是以圓周運(yùn)動為原型,為了刻
畫周期性運(yùn)動而建立的數(shù)學(xué)模型。那么,周期性是怎樣體現(xiàn)在三角函數(shù)的概念之
中的?今天,我們僅就上述問題做一個初步的探討。
設(shè)計意圖:把對誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)放在“建構(gòu)和研究刻畫周期性的數(shù)學(xué)模型”這個大背景下進(jìn)行,從整體上突出三角函數(shù)是周期性函數(shù)的本質(zhì)。
5、二、建構(gòu)數(shù)學(xué)
1.終邊相同的角的三角函數(shù)
(1)提出問題(展示課件)
已知任意角,觀察角的終邊繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)的過程。
問題1:在上述變化過程中,有哪些東西會周而復(fù)始的重復(fù)出現(xiàn)?
(2)解決問題
(根據(jù)學(xué)生回答的情況,視機(jī)提出下列提示性問題)
問題1-1:角的終邊的位置會重復(fù)出現(xiàn)嗎?三角函數(shù)值會重復(fù)出現(xiàn)嗎?
問題1-2:什么時候“角的終邊位置”會重復(fù)出現(xiàn)?什么時候三角函數(shù)值會重復(fù)出現(xiàn)?
要求學(xué)生把分析的結(jié)論用數(shù)學(xué)等式表示出來:
問題1-3 :角與角的三角函數(shù)值為什么相等呢?
(讓學(xué)生回到定義去解決問題)
(3)小結(jié): 回顧解決問題的思路,得到下面的框圖
6、終邊位置重合
(形的關(guān)系)
終邊上(對應(yīng))點的坐標(biāo)(數(shù)量關(guān)系)
三角函數(shù)值間的關(guān)系
(數(shù)量關(guān)系)
誘導(dǎo)公式
角之間的數(shù)量關(guān)系與
(數(shù)量關(guān)系)
(4)應(yīng)用
練習(xí) 求值:
(1); (2)cos(-690).
指出:利用這組公式,我們可以把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成我們熟悉的角的三角函數(shù)值。(出示框圖)
任意角的三角函數(shù)
角的三角函數(shù)
公式
設(shè)計意圖:新課標(biāo)強(qiáng)調(diào):“要重視數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程的教學(xué)”。三角函數(shù)的值是由角的終邊的位置決定的,因此考慮從終邊的位置關(guān)系提出問題,通過思考問題、解決問題的過程,讓學(xué)生經(jīng)
7、歷由幾何直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)過程,體驗如何把角的終邊具有的特定位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關(guān)系。感知三角函數(shù)的周期性。
2.角與角的三角函數(shù)的關(guān)系
(1)提出問題
問題2:若角終邊繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)半周,它的三角函數(shù)值是否也會重復(fù)出現(xiàn)呢?
(2)解決問題
● 角與角的終邊具有什么樣的位置關(guān)系?
● 相應(yīng)地,角與角的終邊上點的坐標(biāo)具有什么關(guān)系?
● (進(jìn)而有)角與角的三角函數(shù)值有什么關(guān)系?
討論得:
(3)小結(jié)
回顧解決問題的思路,得到下面的框圖
角之間的數(shù)量關(guān)系
(數(shù)量關(guān)系)
終邊對稱于原點
(形的關(guān)系)
終邊上(對應(yīng))點的坐標(biāo)間
8、的關(guān)系和
(數(shù)量關(guān)系)
三角函數(shù)值間的關(guān)系
(數(shù)量關(guān)系)
(4)應(yīng)用
練習(xí) 求值:(1) (2)
指出:這組公式揭示了角與角間的關(guān)系,因而利用這組公式我們可以將 角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成的三角函數(shù)。
公式
的三角函數(shù)
的三角函數(shù)
設(shè)計意圖:由終邊重合過渡到終邊關(guān)于原點對稱,符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,再次體會正切函數(shù)的周期性。
3.角與-的三角函數(shù)的關(guān)系
角與角的三角函數(shù)的關(guān)系
(1)提出問題
終邊還有哪些特殊位置關(guān)系值得我們研究?(學(xué)生探究活動)
問題3:終邊關(guān)于軸對稱的角與角的三角函數(shù)有什么樣的關(guān)系?
終邊關(guān)于軸對稱的角與
9、角的三角函數(shù)又有什么樣的關(guān)系呢?
(2)解決問題 (學(xué)生分組在事先備好的單位圓中研究,交流研究思路)
l
教師小結(jié)研究思路并指出:利用這組公式可以將任意負(fù)角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為正角的三角函數(shù)值。
負(fù)角的三角函數(shù)
正角三角函數(shù)
公式
l
形成如下框圖(逐步完成)
終邊位置的對稱關(guān)系
(形的關(guān)系)
終邊上(對應(yīng))點的坐標(biāo)間的關(guān)系(數(shù)的關(guān)系)
三角函數(shù)值間的關(guān)系
(數(shù)的關(guān)系)
討論:具有什么樣數(shù)量關(guān)系的兩個角的終邊才會對稱于軸呢?
得公式
(3)小結(jié)
根據(jù)研究思路將上面的框圖補(bǔ)成下圖
角之
10、間的數(shù)量關(guān)系(如:與)
(數(shù)量關(guān)系)
終邊位置的對稱關(guān)系:…
(形的關(guān)系)
終邊上(對應(yīng))點的坐標(biāo)間的關(guān)系…
(數(shù)量關(guān)系)
三角函數(shù)值間的關(guān)系
(數(shù)量關(guān)系)
思考:根據(jù)第二、三組公式能否推導(dǎo)第四組公式?
根據(jù)這三組公式中任兩組公式是否都能推導(dǎo)出另外一組公式呢?(課后研究)
(4)應(yīng)用
練習(xí) 求值: (1); (2).
指出:利用這組公式,我們可以將的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)。π/2—π的三角函數(shù)
銳角三角函數(shù)
公式
設(shè)計意圖:突出以問題為中心,由學(xué)生自主探究公式,教師巡視,并展示學(xué)生探究思路與成果,培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和勇于探索的良好
11、品質(zhì),突出學(xué)生的主體地位。通過思考題,讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及公式的聯(lián)系。
4. 揭示課題
我們把這四組公式總稱為誘導(dǎo)公式。(板書課題:1.2.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式)。它揭示了終邊具有某種對稱關(guān)系的兩個角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。
(和同角三角函數(shù)關(guān)系式不同,誘導(dǎo)公式反映了具有特定關(guān)系的兩個角之間的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。)
三、數(shù)學(xué)運(yùn)用
1. 將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)
例 求值:
(1) ; (2) ; (3).
思考:運(yùn)用公式將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的一般步驟?
任意負(fù)角的三角函數(shù)
討論得到如下程序:
銳角三角函數(shù)
12、
正角的
三角函數(shù)
解題過程實際上是一個不斷轉(zhuǎn)化與化歸的過程。
2. 練習(xí)
(1)、求值:
①
(2)、化簡:
(學(xué)生練習(xí)后,投影點評)
設(shè)計意圖:通過例題、練習(xí),鞏固誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,形成方法網(wǎng)絡(luò)。
四、回顧反思(學(xué)生總結(jié),教師提煉)
(課件展示)歸納小結(jié)
(1) 三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)。
公式的實質(zhì)是將終邊對稱的圖形關(guān)系翻譯成三角函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系。
其思路為:角的數(shù)量關(guān)系→終邊位置的對稱關(guān)系→終邊上點的坐標(biāo)關(guān)
13、系→三角函數(shù)間的關(guān)系。(對照框圖)
角之間的數(shù)量關(guān)系(數(shù)量關(guān)系)
終邊位置的對稱關(guān)系:
(形的關(guān)系)
終邊上(對應(yīng))點的坐標(biāo)間的關(guān)系…
(數(shù)量關(guān)系)
三角函數(shù)值間的關(guān)系
(數(shù)量關(guān)系)
(2)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運(yùn)用(求值、化簡等)。
(3)數(shù)學(xué)思想方法:數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸。
設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生對本課內(nèi)容進(jìn)行歸納小結(jié),深刻領(lǐng)會誘導(dǎo)公式的實質(zhì)、作用,利于學(xué)生形成知識網(wǎng)路和方法網(wǎng)路。
五、布置作業(yè)
必做題:書本第23頁 13、14題。
思考題: 1、下列函數(shù)為奇函數(shù)的是 。
14、 (1) (2) (3)
2、已知 ,則 = 。
設(shè)計意圖:鞏固本課所學(xué)內(nèi)容,強(qiáng)化基本方法與技能訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì),練習(xí)題由淺入深,體現(xiàn)梯度,使不同程度的學(xué)生都有發(fā)展,體現(xiàn)因材施教的原則。
附:
板書設(shè)計: 1.2.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
例題解答
終邊相同
終邊關(guān)于原點對稱
終邊關(guān)于軸對稱
終邊關(guān)于軸對稱