《2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時集訓(xùn):43 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時集訓(xùn):43 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含解析(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
空間圖形的基本關(guān)系與公理
建議用時:45分鐘
一、選擇題
1.a(chǎn),b,c是兩兩不同的三條直線,下面四個命題中,真命題是( )
A.若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面
B.若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交
C.若a∥b,則a,b與c所成的角相等
D.若a⊥b,b⊥c,則a∥c
C [若直線a,b異面,b,c異面,則a,c相交、平行或異面;若a,b相交,b,c相交,則a,c相交、平行或異面;若a⊥b,b⊥c,則a,c相交、平行或異面;由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C.]
2.給出下列說法:①梯形的四個頂點共面;②三條平行直線共面;③有三個公
2、共點的兩個平面重合;④三條直線兩兩相交,可以確定1個或3個平面.其中正確的序號是( )
A.① B.①④
C.②③ D.③④
B [①顯然正確;②錯誤,三條平行直線可能確定1個或3個平面;③若三個點共線,則兩個平面相交,故③錯誤;④顯然正確.故選B.]
3.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則這四個點不共面的一個圖是( )
A B C D
D [A,B,C圖中四點一定共面,D中四點不共面.]
4.如圖所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,則平面ABC與平面β的交線是( )
A.
3、直線AC
B.直線AB
C.直線CD
D.直線BC
C [由題意知,D∈l,lβ,所以D∈β,
又因為D∈AB,所以D∈平面ABC,
所以點D在平面ABC與平面β的交線上.
又因為C∈平面ABC,C∈β,
所以點C在平面β與平面ABC的交線上,
所以平面ABC∩平面β=CD.]
5.(2019陜西省第三次聯(lián)考)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等,A1在底面ABC上的射影為BC的中點,則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
B [如圖,設(shè)BC的中點為D,連接A1D、AD、A1B,易知∠A1AB即為異面直線
4、AB與CC1所成的角(或其補角).
設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長均為1,
則AD=,A1D=,A1B=,
由余弦定理,得cos∠A1AB===.故選B.]
二、填空題
6.四條線段順次首尾相連,它們最多可確定________個平面.
4 [首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面,所以最多可以確定4個平面.]
7.在四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點.若BD,AC所成的角為60,且BD=AC=1,則EF的長為________.
或 [如圖,取BC的中點O,連接OE,OF.
因為OE∥AC,OF∥BD,
所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與B
5、D所成的角,而AC,BD所成角為60,所以∠EOF=60或∠EOF=120.當(dāng)∠EOF=60時,EF=OE=OF=.當(dāng)∠EOF=120時,取EF的中點M,則OM⊥EF,EF=2EM=2=.]
8.(2019長白山模擬)下列命題中不正確的是________.(填序號)
①沒有公共點的兩條直線是異面直線;
②分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面;
③一條直線和兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條直線不可能平行;
④一條直線和兩條異面直線都相交,則它們可以確定兩個平面.
①② [沒有公共點的兩直線平行或異面,故①錯;命題②錯,此時兩直線有可能相交;命題③正確,因為若直線a和b異面,c∥
6、a,則c與b不可能平行,用反證法證明如下:若c∥b,又c∥a,則a∥b,這與a,b異面矛盾,故c與b不平行;命題④正確,若c與兩異面直線a,b都相交,可知,a,c可確定一個平面,b,c也可確定一個平面,這樣,a,b,c共確定兩個平面.]
三、解答題
9.在正方體ABCDA1B1C1D1中,
(1)求AC與A1D所成角的大?。?
(2)若E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點,求A1C1與EF所成角的大?。?
[解] (1)如圖,連接B1C,AB1,由ABCDA1B1C1D1是正方體,易知A1D ∥B1C,從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角.
因為AB1=AC=B1C,
所以∠B1
7、CA=60.
即A1D與AC所成的角為60.
(2)連接BD,在正方體ABCDA1B1C1D1中,AC⊥BD,AC∥A1C1.
因為E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點,
所以EF∥BD,所以EF⊥AC.
所以EF⊥A1C1.即A1C1與EF所成的角為90.
10.如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BC綊AD,BE綊FA,G,H分別為FA,F(xiàn)D的中點.
(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;
(2)C,D,F(xiàn),E四點是否共面?為什么?
[解] (1)證明:由已知FG=GA,F(xiàn)H=HD,可得GH綊AD.又BC綊AD,∴GH綊BC.
∴四邊形BCHG為平行四邊形.
(2)
8、∵BE綊AF,G為FA的中點,
∴BE綊FG,
∴四邊形BEFG為平行四邊形,∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF與CH共面.
又D∈FH,∴C,D,F(xiàn),E四點共面.
1.已知A,B,C,D是空間四點,命題甲:A,B,C,D四點不共面,命題乙:直線AC和BD不相交,則甲是乙成立的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
A [若A,B,C,D四點不共面,則直線AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直線AC和BD不相交,當(dāng)直線AC和BD平行時,A,B,C,D四點共面,所以甲是乙成立的充分不必要條
9、件.]
2.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BB1,則AB1與BC1所成角的大小為
( )
A.30 B.60
C.75 D.90
D [將正三棱柱ABCA1B1C1補為四棱柱ABCDA1B1C1D1,連接C1D,BD,則C1D∥B1A,∠BC1D為所求角或其補角.設(shè)BB1=,則BC=CD=2,∠BCD=120,BD=2,又因為BC1=C1D=,所以∠BC1D=90.]
3.一個正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:
①AB⊥EF;②AB與CM所成的角為60;③EF與MN是異面直線;④MN∥CD.
以上四個命題中,正確命題的序號是__
10、______.
①③ [如圖,①AB⊥EF,正確;②顯然AB∥CM,所以不正確;③EF與MN是異面直線,所以正確;④MN與CD異面,并且垂直,所以不正確,則正確的是①③.]
4.(2019上海高考改編)如圖,在正三棱錐PABC中,PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=.
(1)若PB的中點為M,BC的中點為N,求AC與MN夾角的余弦值;
(2)求PABC的體積.
[解] (1)∵M,N分別為PB,BC的中點,
∴MN∥PC,
則∠PCA為AC與MN所成角,
在△PAC中,由PA=PC=2,AC=,
可得cos∠PCA
===,
∴AC與MN夾角的余弦值為.
(2)過P
11、作底面垂線,垂足為O,則O為底面三角形的中心,連接AO并延長,交BC于N,則AN=,
AO=AN=1.
∴PO==.
∴VPABC==.
1.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖,在鱉臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,則異面直線AC與BD所成的角的余弦值為( )
A. B.-
C. D.-
A [如圖所示,分別取AB,AD,BC,BD的中點E,F(xiàn),G,O,連接EF,F(xiàn)O,OG,GE,GF,
則EF∥BD,EG∥AC,F(xiàn)O⊥OG,
∴∠FEG或其補角為異面直線AC與BD所成的角.
設(shè)AB=2a,則E
12、G=EF=a,F(xiàn)G==a,
∴△EFG是等邊三角形,∴∠FEG=60,
∴異面直線AC與BD所成角的余弦值為,故選A.]
2.如圖所示,正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,將此正方形沿EF折成直二面角后,異面直線AF與BE所成角的余弦值為________.
[如圖,取BC的中點H,連接FH,AH,所以BE∥FH,所以∠AFH即為異面直線AF與BE所成的角.過A作AG⊥EF于G,
則G為EF的中點.連接HG,HE,則△HGE是直角三角形.設(shè)正方形邊長為2,則EF=,HE=,EG=,AG=,所以HG==,
所以AH==.
由余弦定理知cos∠AFH===.]