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1、
2 角的概念的推廣
一、教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)與技能:
(1)推廣角的概念,理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義;
(2)理解象限角、坐標(biāo)軸上的角的概念;
(3)理解任意角的概念,掌握所有與角終邊相同的角(包括角)的表示方法;
(4)能表示特殊位置(或給定區(qū)域內(nèi))的角的集合;
(5)能進(jìn)行簡(jiǎn)單的角的集合之間運(yùn)算。
2、過(guò)程與方法:
類(lèi)比初中所學(xué)的角的概念,以前所學(xué)角的概念是從靜止的觀點(diǎn)闡述,現(xiàn)在是從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)闡述,進(jìn)行角的概念推廣,引入正角、負(fù)角和零角的概念;由于角本身是一個(gè)平面圖形,因此,在角的概念得到推廣以后,將角放入平面直角坐標(biāo)系,引出象限角、非象限角的概念,以及象限角的判
2、定方法;通過(guò)幾個(gè)特殊的角,畫(huà)出終邊所在的位置,歸納總結(jié)出它們的關(guān)系,探索具有相同終邊的角的表示;講解例題,總結(jié)方法,鞏固練習(xí)。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:
通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),使同學(xué)們對(duì)角的概念有了一個(gè)新的認(rèn)識(shí);樹(shù)立運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn),學(xué)會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物;揭示知識(shí)背景,引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣;創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景,激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度;讓學(xué)生感受圖形的對(duì)稱(chēng)美、運(yùn)動(dòng)美,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)美的追求。
二、教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn): 理解正角、負(fù)角和零角和象限角的定義,掌握終邊相同角的表示法及判斷。
難點(diǎn): 把終邊相同的角用集合和符號(hào)語(yǔ)言正確地表示出來(lái)。
三、學(xué)法與教法
在初中,我們知道最大的角是周角,
3、最小的角是零角;通過(guò)回憶和類(lèi)比初中所學(xué)角的概念,把角的概念進(jìn)行了推廣;角是一個(gè)平面圖形,把角放入平面直角坐標(biāo)系中以后,了解象限角的概念;通過(guò)角終邊的旋轉(zhuǎn)掌握終邊相同角的表示方法;我們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí),首先要弄清楚角的表示符號(hào),以及正負(fù)角的表示,另外還有相同終邊角的集合的表示等。教法: 類(lèi)比探究交流法。
四、教學(xué)過(guò)程
(一)、創(chuàng)設(shè)情境,揭示課題
同學(xué)們,我們?cè)跀Q螺絲時(shí),按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)會(huì)越擰越松,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)會(huì)越擰越緊。但不知同學(xué)們有沒(méi)有注意到,在這兩個(gè)過(guò)程中,扳手分別所組成的兩個(gè)角之間又有什么關(guān)系呢?請(qǐng)幾個(gè)同學(xué)暢談一下,教師控制好時(shí)間,2-3分鐘為宜。
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這里面到
4、底是怎么回事?這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
初中我們已給角下了定義,先請(qǐng)一個(gè)同學(xué)回憶一下當(dāng)時(shí)是怎么定義的?
我們把“有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角”,這是從靜止的觀點(diǎn)闡述的。
(二)、探究新知
如果我們從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看,角可以看成平面內(nèi)一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。(先后用教具圓規(guī)和多媒體給學(xué)生演示:逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)形成角,順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)而成角,轉(zhuǎn)幾圈也形成角,為推廣角的概念做好準(zhǔn)備)
1、正角、負(fù)角、零角的概念(打開(kāi)課件第一版,演示正角、負(fù)角、零角的形成過(guò)程).
我們規(guī)定:(板書(shū))按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角,如圖(見(jiàn)課件)。一條射線(xiàn)由原來(lái)的位置OA,
5、繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置OB,就形成角.旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線(xiàn)OA叫做角的始邊,OB叫終邊,射線(xiàn)的端點(diǎn)O叫做叫的頂點(diǎn).按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角;如果一條射線(xiàn)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn),我們認(rèn)為這時(shí)它也形成了一個(gè)角,并把這個(gè)角叫做零角,如果α是零角,那么α=0。鐘表的時(shí)針和分針在旋轉(zhuǎn)時(shí)所形成的角總是負(fù)角.為了簡(jiǎn)便起見(jiàn),在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以記成“α”。
過(guò)去我們研究了0~360范圍的角.如圖(見(jiàn)課件)中的角α就是一個(gè)0~360范圍內(nèi)的角(α=30).如果我們將角α的終邊OB繼續(xù)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周、兩周……而形成的角是多少度?是不是仍為30的角?(用多媒體演示這一旋
6、轉(zhuǎn)過(guò)程,讓學(xué)生思考;為終邊相同角概念做準(zhǔn)備).將終邊OB旋轉(zhuǎn)一周、兩周……,分別得到390,750……的角.如果將OB繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去,便可得到任意大小的正角。同樣地,如果將OB按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),也可得到任意大小的負(fù)角(通過(guò)課件,動(dòng)態(tài)演示這一無(wú)限旋轉(zhuǎn)過(guò)程).這就是說(shuō),角度并不局限于0~360的范圍,它可以為任意大小的角(與數(shù)軸進(jìn)行比較).(打開(kāi)課件第三版).如圖(1)中的角為正角,它等于750;(2)中,正角α=210,負(fù)角β=—150,γ=-660.在生活中,我們也經(jīng)常會(huì)遇到不在0~360范圍的角,如在體操中,有“轉(zhuǎn)體720”(即“轉(zhuǎn)體2周”),“轉(zhuǎn)體1080”(即“轉(zhuǎn)體3周”)這樣的動(dòng)作名稱(chēng);
7、緊固螺絲時(shí),扳手旋轉(zhuǎn)而形成的角.
角的概念經(jīng)過(guò)這樣的推廣以后,就包括正角、負(fù)角和零角.
2.象限角、坐標(biāo)軸上的角的概念.
由于角是一個(gè)平面圖形,所以今后我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角,(板書(shū))我們使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸(包括原點(diǎn))重合,那么角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限,我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.(打開(kāi)課件第四版)例如圖(1)中的30、390、-330角都是第一象限角,圖(2)中的300、-60角都是第四象限角;585角是第三象限角.
(板書(shū))如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任一象限.
3.終邊相同的表示方法.
(返回課件第二版,在圖(1)1
8、(2)中分別以O(shè)為原點(diǎn),直線(xiàn)0A為x軸建立直角坐標(biāo)系,重新演示前面的旋轉(zhuǎn)過(guò)程)在圖(1)中,如果將終邊OB按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一圈、兩圈……,分別得到390,750……的角,這些角的終邊與30角的終邊相同,只是轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)不同,它們可以用30角來(lái)表示,如390=30十360,750=30十2360,……在圖(2)中,如果將終邊OB按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一圈、兩圈……分別得到-330,-690……的角,這些角的終邊與30角終邊也相同,也只是轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)不同,它們也都可以用30的角來(lái)表示,如-330=30-360,-690=30—2360,……
由此可以發(fā)現(xiàn),上面旋轉(zhuǎn)所得到的所有的角(記為β),都可以表示成一
9、個(gè)0到360的角與k(k∈Z)個(gè)周角的和,即:β=30十k360(k∈Z).如果我們把β的集合記為S,那么S={β|β=30十k360, k∈Z}.容易看出:所有與30角終邊相同的角,連同30角(k=0)在內(nèi),都是集合S的元素;反過(guò)來(lái),集合S的任一元素顯然與30角終邊相同。
(三)、鞏固深化,發(fā)展思維
1、例題講評(píng)
例1.判斷下列各角是第幾象限角.
(1)—60; (2)585; (3)—95012’.
解:(1)∵—60角終邊在第四象限,∴它是第四象限角;(2)∵585=360十225,∴585與225終邊相同,又∵225終邊在第三象限,∴585是第三象限角;(3)∵
10、 —95012’=-23012’—2360,又∵-23012’終邊在第二象限,∴—95012’是第二象限角.
例2.在直角坐標(biāo)系中,寫(xiě)出終邊在y軸上的角的集合(α用0~360的角表示).
解:在0~360范圍內(nèi),終邊在y軸上的角有兩個(gè),即90與270角,因此,所有與90角終邊相同的角構(gòu)成集合S1={β|β=90+k360,k∈Z};所有與270角終邊相同的角構(gòu)成集合S
2={β|β=270+k360,k∈Z};所以,終邊在y軸上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90+k360,k∈Z}∪{β|β=270+k360,k∈Z}.
例3.寫(xiě)出與60角終邊相同的角的集合S,并把S中
11、適合不等式-360≤β<270的元素β寫(xiě)出來(lái).
解:S={β|β=60+k360,k∈Z},S中適合-360≤β<270的元素是:
60-1360=-300,60+0360=60,60+1360=420.
2.學(xué)生課堂練習(xí):參考練習(xí) (通過(guò)多媒體給題)。
(1) (口答)銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來(lái)回答這兩個(gè)問(wèn)題.
(2)與—496終邊相同的角是 ,它是第 象限的角,它們中最小正角是 ,最大負(fù)角是 。
(3)時(shí)針經(jīng)過(guò)3小時(shí)20分,則時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 ,分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為
12、 。
(4)若α、β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則α與β的關(guān)系是 ;若α與β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則α與β的關(guān)系是 ;若α、β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則α與β的關(guān)系是 ;若角α是第二象限角,則180—α是第 象限角。
[答案](1)是,不一定.(2)—496十k360(k∈Z),三,240,—136.(3)—100,—1200.(4)α十β=k360(k∈Z);α十β=180十k360。(k∈Z);α一β=180十k360(k∈Z);一.
(四)、歸納整理,整體認(rèn)識(shí)
(1) 請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容有哪些?你知道角是如何推廣的嗎?
(2) 象限角是如何定義的呢? 你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎?
(3)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中,還有那些不太明白的地方,請(qǐng)向老師提出。
(4)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣?你的體會(huì)是什么?
(五)、布置作業(yè): 習(xí)題1—2第2,3題.
五、教后反思:
希望對(duì)大家有所幫助,多謝您的瀏覽!