【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五篇 平面向量 第4講　平面向量的應(yīng)用教案 理 新人教版

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1、 第4講　平面向量的應(yīng)用 【2013年高考會(huì)這樣考】 1．考查利用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題． 2．考查利用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)中重點(diǎn)把握好向量平行、垂直的條件及其數(shù)量積的運(yùn)算，重視平面向量體現(xiàn)出的數(shù)形結(jié)合的思想方法，體驗(yàn)向量在解題過(guò)程中的工具性特點(diǎn)． 基礎(chǔ)梳理 1．向量在平面幾何中的應(yīng)用 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題． (1)證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用共線向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x

2、2y1＝0. (2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式 cos θ＝＝(θ為a與b的夾角)． 2．平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識(shí)來(lái)解決． (2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，這是力F與位移s的數(shù)量積．即W＝Fs＝|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角)． 一個(gè)手段 實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算． 兩條主線 (1)向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀與形象，

3、向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在利用向量解決問(wèn)題時(shí)，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合． (2)要注意變換思維方式，能從不同角度看問(wèn)題，要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題． 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)某人先位移向量a：“向東走3 km”，接著再位移向量b：“向北走3 km”，則a＋b表示(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．向東南走3 km B．向東北走3 km C．向東南走3 km D．向東北走3 km 解析　 要求a＋b，可利用向量和的三角形法則來(lái)求解，如圖所示，適當(dāng)選取比例尺作＝a＝“向東走3 km”，＝b＝“向北走

4、3 km”，則＝＋＝a＋b. ||＝＝3(km)， 又與的夾角是45，所以a＋b表示向東北走3 km. 答案　B 2．平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D，已知(＋－2)(－)＝0，則△ABC的形狀是(　　)． A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．無(wú)法確定 解析　由(＋－2)(－)＝0，得[(－)＋(－](－)＝0，所以(＋)(－)＝0. 所以||2－||2＝0，∴||＝||， 故△ABC是等腰三角形． 答案　C 3．(2012銀川模擬)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值，最小值分別是

5、(　　)． A．4,0 B．16,0 C．2,0 D．16,4 解析　設(shè)a與b夾角為θ， ∵|2a－b|2＝4a2－4ab＋b2＝8－4|a||b|cos θ＝8－8cos θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]， ∴8－8cos θ∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]， ∴|2a－b|∈[0,4]． 答案　A 4． 在△ABC中，已知向量與滿足＝0且＝，則 △ABC為(　　)． A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 解析　由＝0知△ABC為等腰三角形，AB＝AC.由＝知，

6、〈，〉＝60，所以△ABC為等邊三角形，故選A. 答案　A 5．(2012武漢聯(lián)考)平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點(diǎn)A(1,2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足＝4，則點(diǎn)P的軌跡方程是______________________________________． 解析　由＝4，得(x，y)(1,2)＝4， 即x＋2y＝4. 答案　x＋2y－4＝0 　　 考向一　平面向量在平面幾何中的應(yīng)用 【例1】?(2010遼寧)平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)＝a，＝b，則△OAB的面積等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. [審題視點(diǎn)] 由數(shù)量

7、積公式求出OA與OB夾角的余弦，進(jìn)而得正弦，再由公式S＝absin θ，求面積． 解析　∵cos∠BOA＝， 則sin∠BOA＝ ， ∴S△OAB＝|a||b| ＝. 答案　C 平面向量的數(shù)量積是解決平面幾何中相關(guān)問(wèn)題的有力工具：利用|a|可以求線段的長(zhǎng)度，利用cos θ＝(θ為a與b的夾角)可以求角，利用ab＝0可以證明垂直，利用a＝λb(b≠0)可以判定平行． 【訓(xùn)練1】 設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|bc|的值一定等于(　　)． A．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積 B．以b，c為鄰邊的平行四邊

8、形的面積 C．以a，b為兩邊的三角形的面積 D．以b，c為兩邊的三角形的面積 解析　 ∵|bc|＝|b||c||cos θ|，如圖， ∵a⊥c，∴|b||cos θ|就是以a，b為鄰邊的平行四邊形的高h(yuǎn)，而|a|＝|c|，∴|bc|＝|a|(|b||cos θ|)，∴|bc|表示以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積． 答案　A 考向二　平面向量與三角函數(shù)的交匯 【例2】?已知A，B，C的坐標(biāo)分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈. (1)若||＝||，求角α的值； (2)若＝－1，求的值． [審題視點(diǎn)] 首先求出向量、的坐標(biāo)，第(1)

9、問(wèn)利用兩個(gè)向量的模相等建立角α的三角方程進(jìn)行求解；第(2)問(wèn)利用向量與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，得到角α的三角函數(shù)值，把所求式子化簡(jiǎn)，尋找兩個(gè)式子之間的關(guān)系． 解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)， ∴2＝(cos a－3)2＋sin2α＝10－6cos α， 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由||＝||，可得2＝2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又∵α∈，∴α＝. (2)由＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α

10、＋cos α＝.① 又＝＝2sin αcos α. 由①式兩邊分別平方，得1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－.∴＝－. 解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題的關(guān)鍵，準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題解決． 【訓(xùn)練2】 已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)． (1)若a∥b，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值． 解　(1)因?yàn)閍∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝. (2)由|a|＝|b|知，sin2θ

11、＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5. 從而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， 即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin＝－. 又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜， 所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝. 考向三　平面向量與平面解析幾何交匯 【例3】?(2012蘭州模擬)已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且(＋)(－)＝0. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； (2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求的最值． [審題視點(diǎn)] 第(1)問(wèn)直接設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，

12、先把向量之間的關(guān)系化簡(jiǎn)，然后代入向量坐標(biāo)，化簡(jiǎn)整理即得軌跡方程；第(2)問(wèn)先利用圓的性質(zhì)化簡(jiǎn)向量數(shù)量積，將其轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)N的距離的最值，最后代入點(diǎn)的坐標(biāo)將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解． 解　(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)． 由(＋)(－)＝0，得|PC|2－|PQ|2＝0， 即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化簡(jiǎn)得＋＝1. 所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為＋＝1. (2)因＝(－)(－)＝(－－)(－)＝(－)2－2＝2－1， P是橢圓＋＝1上的任一點(diǎn)，設(shè)P(x0，y0)，則有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17＝－(y0＋3)

13、2＋20. 因y0∈[－2，2]，所以當(dāng)y0＝－3時(shí)，2取得最大值20，故的最大值為19； 當(dāng)y0＝2時(shí)，2取得最小值(2－1)2＝13－4，(此時(shí)x0＝0)，故的最小值為12－4. 平面向量與平面解析幾何交匯的題目，涉及向量數(shù)量積的基本運(yùn)算，數(shù)量積的求解以及軌跡、直線和圓、直線和橢圓中最值等問(wèn)題，解決此類問(wèn)題應(yīng)從向量的坐標(biāo)運(yùn)算入手，這也是解決解析幾何問(wèn)題的基本方法——坐標(biāo)法． 【訓(xùn)練3】 已知點(diǎn)P(0，－3)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，點(diǎn)M滿足＝0，＝－，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程． 解　設(shè)M(x，y)為所求軌跡上任一點(diǎn)，設(shè)A(a,0)，Q(0，b)(b＞0

14、)，則＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)， 由＝0，得a(x－a)＋3y＝0.① 由＝－， 得(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝， ∴∴ 把a(bǔ)＝－代入①，得－＋3y＝0， 整理得y＝x2(x≠0)．　　 難點(diǎn)突破12——高考中平面向量與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題 平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，是高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)．近幾年新課標(biāo)高考對(duì)向量知識(shí)的命題，既充分體現(xiàn)自身知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的命題形式多樣化，又保持與其他知識(shí)交匯的命題思路，呈現(xiàn)出“綜合應(yīng)用，融會(huì)貫通”的特色，充分彰顯平面向量的交匯價(jià)值． 一、平面向量與命題的交匯 【示例】? (2011陜西)設(shè)a，b是

15、向量，命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是 (　　)． A．若a≠b，則|a|≠|(zhì)b| B．若a＝－b，則|a|≠|(zhì)b| C．若|a|≠|(zhì)b|，則a≠－b D．若|a|＝|b|，則a＝－b 二、平面向量與函數(shù) 【示例】? (2010北京)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|(zhì)b|，則函數(shù)f(x)＝(xa＋b)(xb－a)是(　　)． A．一次函數(shù)且是奇函數(shù) B．一次函數(shù)但不是奇函數(shù) C．二次函數(shù)且是偶函數(shù) D．二次函數(shù)但不是偶函數(shù) ▲平面向量與線性規(guī)劃(教師備選) 【示例】? (2011福建)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1,1)．若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是(　　)． A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2] 9