【創(chuàng)新方案】年高考數學一輪復習 第五篇 平面向量 第4講　平面向量的應用教案 理 新人教版

《【創(chuàng)新方案】年高考數學一輪復習 第五篇 平面向量 第4講　平面向量的應用教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新方案】年高考數學一輪復習 第五篇 平面向量 第4講　平面向量的應用教案 理 新人教版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第4講　平面向量的應用 【2013年高考會這樣考】 1．考查利用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題． 2．考查利用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題． 【復習指導】 復習中重點把握好向量平行、垂直的條件及其數量積的運算，重視平面向量體現(xiàn)出的數形結合的思想方法，體驗向量在解題過程中的工具性特點． 基礎梳理 1．向量在平面幾何中的應用 平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題． (1)證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x

2、2y1＝0. (2)證明垂直問題，常用數量積的運算性質 a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夾角問題，利用夾角公式 cos θ＝＝(θ為a與b的夾角)． 2．平面向量在物理中的應用 (1)由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決． (2)物理學中的功是一個標量，這是力F與位移s的數量積．即W＝Fs＝|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角)． 一個手段 實現(xiàn)平面向量與三角函數、平面向量與解析幾何之間的轉化的主要手段是向量的坐標運算． 兩條主線 (1)向量兼具代數的抽象與嚴謹和幾何的直觀與形象，

3、向量本身是一個數形結合的產物，在利用向量解決問題時，要注意數與形的結合、代數與幾何的結合、形象思維與邏輯思維的結合． (2)要注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善于應用向量的有關性質解題． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)某人先位移向量a：“向東走3 km”，接著再位移向量b：“向北走3 km”，則a＋b表示(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．向東南走3 km B．向東北走3 km C．向東南走3 km D．向東北走3 km 解析　 要求a＋b，可利用向量和的三角形法則來求解，如圖所示，適當選取比例尺作＝a＝“向東走3 km”，＝b＝“向北走

4、3 km”，則＝＋＝a＋b. ||＝＝3(km)， 又與的夾角是45，所以a＋b表示向東北走3 km. 答案　B 2．平面上有四個互異點A、B、C、D，已知(＋－2)(－)＝0，則△ABC的形狀是(　　)． A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定 解析　由(＋－2)(－)＝0，得[(－)＋(－](－)＝0，所以(＋)(－)＝0. 所以||2－||2＝0，∴||＝||， 故△ABC是等腰三角形． 答案　C 3．(2012銀川模擬)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值，最小值分別是

5、(　　)． A．4,0 B．16,0 C．2,0 D．16,4 解析　設a與b夾角為θ， ∵|2a－b|2＝4a2－4ab＋b2＝8－4|a||b|cos θ＝8－8cos θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]， ∴8－8cos θ∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]， ∴|2a－b|∈[0,4]． 答案　A 4． 在△ABC中，已知向量與滿足＝0且＝，則 △ABC為(　　)． A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 解析　由＝0知△ABC為等腰三角形，AB＝AC.由＝知，

6、〈，〉＝60，所以△ABC為等邊三角形，故選A. 答案　A 5．(2012武漢聯(lián)考)平面直角坐標系xOy中，若定點A(1,2)與動點P(x，y)滿足＝4，則點P的軌跡方程是______________________________________． 解析　由＝4，得(x，y)(1,2)＝4， 即x＋2y＝4. 答案　x＋2y－4＝0 　　 考向一　平面向量在平面幾何中的應用 【例1】?(2010遼寧)平面上O，A，B三點不共線，設＝a，＝b，則△OAB的面積等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. [審題視點] 由數量

7、積公式求出OA與OB夾角的余弦，進而得正弦，再由公式S＝absin θ，求面積． 解析　∵cos∠BOA＝， 則sin∠BOA＝ ， ∴S△OAB＝|a||b| ＝. 答案　C 平面向量的數量積是解決平面幾何中相關問題的有力工具：利用|a|可以求線段的長度，利用cos θ＝(θ為a與b的夾角)可以求角，利用ab＝0可以證明垂直，利用a＝λb(b≠0)可以判定平行． 【訓練1】 設a，b，c為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|bc|的值一定等于(　　)． A．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積 B．以b，c為鄰邊的平行四邊

8、形的面積 C．以a，b為兩邊的三角形的面積 D．以b，c為兩邊的三角形的面積 解析　 ∵|bc|＝|b||c||cos θ|，如圖， ∵a⊥c，∴|b||cos θ|就是以a，b為鄰邊的平行四邊形的高h，而|a|＝|c|，∴|bc|＝|a|(|b||cos θ|)，∴|bc|表示以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積． 答案　A 考向二　平面向量與三角函數的交匯 【例2】?已知A，B，C的坐標分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈. (1)若||＝||，求角α的值； (2)若＝－1，求的值． [審題視點] 首先求出向量、的坐標，第(1)

9、問利用兩個向量的模相等建立角α的三角方程進行求解；第(2)問利用向量與數量積的坐標運算化簡已知條件，得到角α的三角函數值，把所求式子化簡，尋找兩個式子之間的關系． 解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)， ∴2＝(cos a－3)2＋sin2α＝10－6cos α， 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由||＝||，可得2＝2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又∵α∈，∴α＝. (2)由＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α

10、＋cos α＝.① 又＝＝2sin αcos α. 由①式兩邊分別平方，得1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－.∴＝－. 解決平面向量與三角函數的交匯問題的關鍵，準確利用向量的坐標運算化簡已知條件，將其轉化為三角函數中的有關問題解決． 【訓練2】 已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)． (1)若a∥b，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值． 解　(1)因為a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝. (2)由|a|＝|b|知，sin2θ

11、＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5. 從而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， 即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin＝－. 又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜， 所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝. 考向三　平面向量與平面解析幾何交匯 【例3】?(2012蘭州模擬)已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且(＋)(－)＝0. (1)求動點P的軌跡方程； (2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求的最值． [審題視點] 第(1)問直接設動點P的坐標，

12、先把向量之間的關系化簡，然后代入向量坐標，化簡整理即得軌跡方程；第(2)問先利用圓的性質化簡向量數量積，將其轉化為動點P與定點N的距離的最值，最后代入點的坐標將其轉化為函數的最值求解． 解　(1)設P(x，y)，則Q(8，y)． 由(＋)(－)＝0，得|PC|2－|PQ|2＝0， 即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化簡得＋＝1. 所以點P在橢圓上，其方程為＋＝1. (2)因＝(－)(－)＝(－－)(－)＝(－)2－2＝2－1， P是橢圓＋＝1上的任一點，設P(x0，y0)，則有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17＝－(y0＋3)

13、2＋20. 因y0∈[－2，2]，所以當y0＝－3時，2取得最大值20，故的最大值為19； 當y0＝2時，2取得最小值(2－1)2＝13－4，(此時x0＝0)，故的最小值為12－4. 平面向量與平面解析幾何交匯的題目，涉及向量數量積的基本運算，數量積的求解以及軌跡、直線和圓、直線和橢圓中最值等問題，解決此類問題應從向量的坐標運算入手，這也是解決解析幾何問題的基本方法——坐標法． 【訓練3】 已知點P(0，－3)，點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸上，點M滿足＝0，＝－，當點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程． 解　設M(x，y)為所求軌跡上任一點，設A(a,0)，Q(0，b)(b＞0

14、)，則＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)， 由＝0，得a(x－a)＋3y＝0.① 由＝－， 得(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝， ∴∴ 把a＝－代入①，得－＋3y＝0， 整理得y＝x2(x≠0)．　　 難點突破12——高考中平面向量與其他知識的交匯問題 平面向量是高中數學的重要知識，是高中數學中數形結合思想的典型體現(xiàn)．近幾年新課標高考對向量知識的命題，既充分體現(xiàn)自身知識結構體系的命題形式多樣化，又保持與其他知識交匯的命題思路，呈現(xiàn)出“綜合應用，融會貫通”的特色，充分彰顯平面向量的交匯價值． 一、平面向量與命題的交匯 【示例】? (2011陜西)設a，b是

15、向量，命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是 (　　)． A．若a≠b，則|a|≠|b| B．若a＝－b，則|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，則a≠－b D．若|a|＝|b|，則a＝－b 二、平面向量與函數 【示例】? (2010北京)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，則函數f(x)＝(xa＋b)(xb－a)是(　　)． A．一次函數且是奇函數 B．一次函數但不是奇函數 C．二次函數且是偶函數 D．二次函數但不是偶函數 ▲平面向量與線性規(guī)劃(教師備選) 【示例】? (2011福建)已知O是坐標原點，點A(－1,1)．若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則的取值范圍是(　　)． A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2] 9