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1、
專題強(qiáng)化訓(xùn)練(三) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
(建議用時(shí):40分鐘)
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]
一、選擇題
1.如圖32所示,在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是( )
圖32
A.A B.B
C.C D.D
B [設(shè)z=a+bi(a,b∈R),且a<0,b>0,則z的共軛復(fù)數(shù)為a-bi,其中a<0,-b<0,故應(yīng)為B點(diǎn).]
2.已知a,b∈C,下列命題正確的是( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662165】
A.3i<5i B.a(chǎn)=0?|a|=0
C.若|a|=|b|,則a=b D.a(chǎn)2≥0
B [A選項(xiàng)中,虛數(shù)不能比較大??;B選項(xiàng)正
2、確;C選項(xiàng)中,當(dāng)a,b∈R時(shí),結(jié)論成立,但在復(fù)數(shù)集中不一定成立,如|i|=,但i≠-+i或-i;D選項(xiàng)中,當(dāng)a∈R時(shí)結(jié)論成立,但在復(fù)數(shù)集中不一定成立,如i2=-1<0.]
3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為( )
A.-+i B.+i
C.-i D.--i
D [===-+i,共軛復(fù)數(shù)為--i,故選D.]
4.已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若a+i=2-bi,則 (a+bi)2=( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662166】
A.3-4i B.3+4i
C.4-3i D.4+3i
A [由a+i=2-bi可得a=2,b=-1,則(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.]
5.如果復(fù)數(shù)
3、(m2+i)(1+mi)是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)m等于( )
A.1 B.-1
C. D.-
B [∵(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是實(shí)數(shù),m∈R,∴由a+bi(a、b∈R)是實(shí)數(shù)的充要條件是b=0,得m3+1=0,即m=-1.]
二、填空題
6.設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為,則(a+bi)(a-bi)=________.
3 [∵|a+bi|==,∴(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.]
7.復(fù)數(shù)z滿足方程i=1-i,則z=________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662167】
-1+i [∵i=1-i,∴===-i(1-i)=-1-i,∴z=-
4、1+i.]
8.若復(fù)數(shù)(-6+k2)-(k2-4)i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
(-,-2)∪(2,) [由已知得∴4
5、z=bi (b∈R,b≠0),
則(z+2)2-8i=(2+bi)2-8i=(4-b2)+(4b-8)i,
∵(z+2)2-8i為純虛數(shù),
∴4-b2=0且4b-8≠0.∴b=-2.∴z=-2i.
[能力提升練]
1.設(shè)z是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是( )
A.若z2≥0,則z是實(shí)數(shù)
B.若z2<0,則z是虛數(shù)
C.若z是虛數(shù),則z2≥0
D.若z是純虛數(shù),則z2<0
C [設(shè)z=a+bi(a,b∈R),選項(xiàng)A,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi≥0,則故b=0或a,b都為0,即z為實(shí)數(shù),正確.選項(xiàng)B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi<0,則則故z一定
6、為虛數(shù),正確.選項(xiàng)C,若z為虛數(shù),則b≠0,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,由于a的值不確定,故z2無(wú)法與0比較大小,錯(cuò)誤.選項(xiàng)D,若z為純虛數(shù),則則z2=-b2<0,正確.]
2.復(fù)數(shù)z=(m∈R,i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662169】
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A [z===[(m-4)-2(m+1)i],其實(shí)部為(m-4),虛部為-(m+1),由得此時(shí)無(wú)解.故復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限.]
3.已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=的虛部為_(kāi)_______.
-1 [z===-i,
7、因此虛部為-1.]
4.已知復(fù)數(shù)z1=i(1-i)3,若|z|=1,則|z-z1|的最大值為_(kāi)_______.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662170】
2+1 [∵|z1|=|i(1-i)3|=|i||1-i|3=2.
如圖所示,由|z|=1可知,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1,圓心為O(0,0)的圓,而z1對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z1(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成是點(diǎn)Z1(2,-2)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值.由圖知|z-z1|max=|z1|+r(r為圓半徑)=2+1.]
5.已知z,w為復(fù)數(shù),(1+3i)z為實(shí)數(shù),w=且|w|=5,求z,w.
[解] 設(shè)z=x+yi
8、,(x,y∈R),
所以(1+3i)z=(x-3y)+(3x+y)i,又(1+3i)z為實(shí)數(shù),所以3x+y=0,即y=-3x,所以w===[(2x-3x)+(-6x-x)i]=-(1+7i),又因?yàn)閨w|=5,
所以=5,所以x=5.
當(dāng)x=5時(shí),z=5-15i,當(dāng)x=-5時(shí),z=-5+15i.w=(1+7i).
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375