《高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)6 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 新人教A版選修22》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)6 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 新人教A版選修22(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時分層作業(yè)(六) 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
(建議用時:40分鐘)
[基礎(chǔ)達標(biāo)練]
一、選擇題
1.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖1310所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的極大值點有( )
圖1310
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
B [依題意,記函數(shù)y=f′(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)自左向右依次為x1,x2,x3,x4,當(dāng)a<x<x1時,f′(x)>0;當(dāng)x1<x<x2時,f′(x)<0;當(dāng)x2<x<x4時,f′(x)≥0;當(dāng)x4<x<b時,f′(x)<0.因此,函數(shù)f(x)分別在x=x1
2、,x=x4處取得極大值,選B.]
2.函數(shù)y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有( )
【導(dǎo)學(xué)號:31062053】
A.極大值5,極小值-27
B.極大值5,極小值-11
C.極大值5,無極小值
D.極小值-27,無極大值
C [由y′=3x2-6x-9=0,得x=-1或x=3.
當(dāng)x<-1或x>3時,y′>0;由-1<x<3時,y′<0.
∴當(dāng)x=-1時,函數(shù)有極大值5;3?(-2,2),故無極小值.]
3.已知a是函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點,則a=( )
A.-4 B.-2
C.4 D.2
D [∵f(x)=x3-12x,∴f′(x)=3x2-
3、12,令f′(x)=0,則x1=-2,x2=2.
當(dāng)x∈(-∞,-2),(2,+∞)時,f′(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(-2,2)時,f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減,∴f(x)的極小值點為a=2.]
4.當(dāng)x=1時,三次函數(shù)有極大值4,當(dāng)x=3時有極小值0,且函數(shù)過原點,則此函數(shù)是( )
A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x
B [∵三次函數(shù)過原點,故可設(shè)為
y=x3+bx2+cx,
∴y′=3x2+2bx+c.
又x=1,3是y′=0的兩個根,
∴,即
∴y=x3-6x2+9x
4、,
又y′=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
∴當(dāng)x=1時,f(x)極大值=4 ,
當(dāng)x=3時,f(x)極小值=0,滿足條件,故選B.]
5.函數(shù)f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)內(nèi)有且只有一個極小值,則( )
【導(dǎo)學(xué)號:31062054】
A.00 D.b<
A [f′(x)=3x2-3b,要使f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值,則即解得0
5、)=3x2+2ax+b,
∴即
解得a=2,b=-4,
∴a+b=2-4=-2.
[答案]?。?
7.設(shè)a∈R,若函數(shù)y=ex+ax(x∈R)有大于零的極值點,則a的取值范圍為________.
【導(dǎo)學(xué)號:31062055】
[解析] ∵y=ex+ax,
∴y′=ex+a,令y′=ex+a=0,則ex=-a,
即x=ln(-a),又∵x>0,∴-a>1,即a<-1.
[答案] (-∞,-1)
8.若直線y=a與函數(shù)f(x)=x3-3x的圖象有相異的三個公共點,則a的取值范圍是________.
[解析] 令f′(x)=3x2-3=0,得x=1,則極大值為f(-1)=2
6、,極小值為f(1)=-2.如圖,觀察得-2<a<2時恰有三個不同的公共點.
[答案] (-2,2)
三、解答題
9.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1處取得極值,且f(1)=-1.
(1)試求常數(shù)a,b,c的值;
(2)試判斷x=1是函數(shù)的極大值點還是極小值點,并說明理由.
【導(dǎo)學(xué)號:31062056】
[解] f′(x)=3ax2 +2bx+c,
(1)法一:∵x=1是函數(shù)的極值點,
∴x=1是方程3ax2+2bx+c=0的兩根.
由根與系數(shù)的關(guān)系知
又f(1)=-1,∴a+b+c=-1, ③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
法二:由f
7、′(1)=f′(-1)=0,得3a+2b+c=0, ①
3a-2b+c=0, ②
又f(1)=-1,∴a+b+c=-1, ③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
(2)f(x)=x3-x,
∴f′(x)=x2-=(x-1)(x+1).
當(dāng)x<-1或x>1時f′(x)>0,
當(dāng)-1<x<1時,f′(x)<0.
∴函數(shù)f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函數(shù),
在(-1,1)上是減函數(shù).
∴當(dāng)x=-1時,函數(shù)取得極大值,x=-1為極大值點;當(dāng)x=1時,函數(shù)取得極小值,x=1為極小值點.
10.設(shè)f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(1,
8、f(1))處的切線垂直于y軸.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
[解] (1)因為f(x)=aln x++x+1,
故f′(x)=-+.
由于曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線垂直于y軸,故該切線斜率為0,
即f′(1)=0,
從而a-+=0,
解得a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-ln x++x+1(x>0),
f′(x)=--+
=
=.
令f′(x)=0,解得x1=1,x2=-因x2=-不在定義域內(nèi),舍去.
當(dāng)x∈(0,1)時,f′(x)<0,故f(x)在(0,1)上為減函數(shù);
當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,故f(x)
9、在(1,+∞)上為增函數(shù).
故f(x)在x=1處取得極小值,且f(1)=3.
[能力提升練]
1.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,則的值為
( )
A.- B.-2
C.-2或- D.不存在
A [∵f′(x)=3x2+2ax+b且f(x)在x=1處取得極大值10,
∴f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,
∴a2+8a+12=0,∴a=-2,b=1或a=-6,b=9.
當(dāng)a=-2,b=1時,f′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1).
當(dāng)<x<1時,f′(x)<0,當(dāng)x>1時,f′(x
10、)>0,
∴f(x)在x=1處取得極小值,與題意不符.
當(dāng)a=-6,b=9時,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3);
當(dāng)x<1時,f′(x)>0,當(dāng)1<x<3時,f′(x)<0,
∴f(x)在x=1處取得極大值,符合題意;
∴=-=-.]
2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1-x)f′(x)的圖象如圖1311所示,則下列結(jié)論中一定成立的是( )
圖1311
A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)
B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)
C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)
D.函數(shù)f
11、(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)
D [由圖可知,當(dāng)x<-2時,f′(x)>0;當(dāng)-2<x<1時,f′(x)<0;當(dāng)1<x<2時,f′(x)<0;當(dāng)x>2時,f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)在x=-2處取得極大值,在x=2處取得極小值.]
3.函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為________.
[解析] 由題知y′=ex+xex,令y′=0,解得x=-1,代入函數(shù)解析式可得極值點的坐標(biāo)為,又極值點處的切線為平行于x軸的直線,故方程為y=-.
[答案] y=-
4.若函數(shù)f(x)=x3+x2-ax-4在區(qū)間(-1,1)上恰有一個極值點,則實數(shù)a的取值范圍為________
12、.
【導(dǎo)學(xué)號:31062057】
[解析] ∵f′(x)=3x2+2x-a,
函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上恰有一個極值點,
即f′(x)=0在(-1,1)內(nèi)恰有一個根.
又函數(shù)f′(x)=3x2+2x-a的對稱軸為x=-.
∴應(yīng)滿足∴
∴1≤a<5.
[答案] [1,5)
5.設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的極值;
(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時,曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點?
[解] (1)f′(x)=3x2-2x-1.
令f′(x)=0,則x=-或x=1.
當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
13、
-
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
所以f(x)的極大值是f=+a,
極小值是f(1)=a-1.
(2)函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,
由此可知,x取足夠大的正數(shù)時,有f(x)>0,
x取足夠小的負(fù)數(shù)時,有f(x)<0,
所以曲線y=f(x)與x軸至少有一個交點.
由(1)知f(x)極大值=f=+a,f(x)極小值=f(1)=a-1.
∵曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點,
∴f(x)極大值<0或f(x)極小值>0,
即+a<0或a-1>0,∴a<-或a>1,
∴當(dāng)a∈∪(1,+∞)時,曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點.
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