高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)6 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 新人教A版選修22

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1、 課時(shí)分層作業(yè)(六)　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a，b)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖1310所示，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的極大值點(diǎn)有(　　) 圖1310 A．1個(gè)　　　　 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) B　[依題意，記函數(shù)y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)自左向右依次為x1，x2，x3，x4，當(dāng)a＜x＜x1時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x2＜x＜x4時(shí)，f′(x)≥0；當(dāng)x4＜x＜b時(shí)，f′(x)＜0.因此，函數(shù)f(x)分別在x＝x1

2、，x＝x4處取得極大值，選B.] 2．函數(shù)y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062053】 A．極大值5，極小值－27 B．極大值5，極小值－11 C．極大值5，無(wú)極小值 D．極小值－27，無(wú)極大值 C　[由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3. 當(dāng)x＜－1或x＞3時(shí)，y′＞0；由－1＜x＜3時(shí)，y′＜0. ∴當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極大值5；3?(－2,2)，故無(wú)極小值．] 3．已知a是函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點(diǎn)，則a＝(　　) A．－4 B．－2 C．4 D．2 D　[∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－

3、12，令f′(x)＝0，則x1＝－2，x2＝2. 當(dāng)x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，則f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(－2,2)時(shí)，f′(x)＜0，則f(x)單調(diào)遞減，∴f(x)的極小值點(diǎn)為a＝2.] 4．當(dāng)x＝1時(shí)，三次函數(shù)有極大值4，當(dāng)x＝3時(shí)有極小值0，且函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，則此函數(shù)是(　　) A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x B　[∵三次函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，故可設(shè)為 y＝x3＋bx2＋cx， ∴y′＝3x2＋2bx＋c. 又x＝1,3是y′＝0的兩個(gè)根， ∴，即 ∴y＝x3－6x2＋9x

4、， 又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3) ∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)極大值＝4 ， 當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)極小值＝0，滿(mǎn)足條件，故選B.] 5．函數(shù)f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)內(nèi)有且只有一個(gè)極小值，則(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062054】 A．00 D．b< A　[f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，則即解得0

5、)＝3x2＋2ax＋b， ∴即 解得a＝2，b＝－4， ∴a＋b＝2－4＝－2. [答案]　－2 7．設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的極值點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062055】 [解析]　∵y＝ex＋ax， ∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，則ex＝－a， 即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1. [答案]　(－∞，－1) 8．若直線(xiàn)y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象有相異的三個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________． [解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1，則極大值為f(－1)＝2

6、，極小值為f(1)＝－2.如圖，觀察得－2＜a＜2時(shí)恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)． [答案]　(－2,2) 三、解答題 9．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝1處取得極值，且f(1)＝－1. (1)試求常數(shù)a，b，c的值； (2)試判斷x＝1是函數(shù)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062056】 [解]　f′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c， (1)法一：∵x＝1是函數(shù)的極值點(diǎn)， ∴x＝1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的兩根． 由根與系數(shù)的關(guān)系知 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－. 法二：由f

7、′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0， ① 3a－2b＋c＝0， ② 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－. (2)f(x)＝x3－x， ∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)． 當(dāng)x＜－1或x＞1時(shí)f′(x)＞0， 當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0. ∴函數(shù)f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函數(shù)， 在(－1,1)上是減函數(shù)． ∴當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)取得極大值，x＝－1為極大值點(diǎn)；當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值，x＝1為極小值點(diǎn)． 10．設(shè)f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，

8、f(1))處的切線(xiàn)垂直于y軸． (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． [解]　(1)因?yàn)閒(x)＝aln x＋＋x＋1， 故f′(x)＝－＋. 由于曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)垂直于y軸，故該切線(xiàn)斜率為0， 即f′(1)＝0， 從而a－＋＝0， 解得a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x＞0)， f′(x)＝－－＋ ＝ ＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－因x2＝－不在定義域內(nèi)，舍去． 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)

9、在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 故f(x)在x＝1處取得極小值，且f(1)＝3. [能力提升練] 1．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1處取得極大值10，則的值為 (　　) A．－ B．－2 C．－2或－ D．不存在 A　[∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b且f(x)在x＝1處取得極大值10， ∴f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10， ∴a2＋8a＋12＝0，∴a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9. 當(dāng)a＝－2，b＝1時(shí)，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)． 當(dāng)＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x

10、)＞0， ∴f(x)在x＝1處取得極小值，與題意不符． 當(dāng)a＝－6，b＝9時(shí)，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)； 當(dāng)x＜1時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f′(x)＜0， ∴f(x)在x＝1處取得極大值，符合題意； ∴＝－＝－.] 2．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖1311所示，則下列結(jié)論中一定成立的是(　　) 圖1311 A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1) C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2) D．函數(shù)f

11、(x)有極大值f(－2)和極小值f(2) D　[由圖可知，當(dāng)x＜－2時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)－2＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)＞0.由此可以得到函數(shù)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值．] 3．函數(shù)y＝xex在其極值點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______． [解析]　由題知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函數(shù)解析式可得極值點(diǎn)的坐標(biāo)為，又極值點(diǎn)處的切線(xiàn)為平行于x軸的直線(xiàn)，故方程為y＝－. [答案]　y＝－ 4．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－4在區(qū)間(－1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______

12、. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062057】 [解析]　∵f′(x)＝3x2＋2x－a， 函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)， 即f′(x)＝0在(－1,1)內(nèi)恰有一個(gè)根． 又函數(shù)f′(x)＝3x2＋2x－a的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－. ∴應(yīng)滿(mǎn)足∴ ∴1≤a<5. [答案]　[1,5) 5．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的極值； (2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線(xiàn)y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)？ [解]　(1)f′(x)＝3x2－2x－1. 令f′(x)＝0，則x＝－或x＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x

13、 － 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 所以f(x)的極大值是f＝＋a， 極小值是f(1)＝a－1. (2)函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1， 由此可知，x取足夠大的正數(shù)時(shí)，有f(x)＞0， x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有f(x)＜0， 所以曲線(xiàn)y＝f(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)． 由(1)知f(x)極大值＝f＝＋a，f(x)極小值＝f(1)＝a－1. ∵曲線(xiàn)y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)， ∴f(x)極大值＜0或f(x)極小值＞0， 即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1， ∴當(dāng)a∈∪(1，＋∞)時(shí)，曲線(xiàn)y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375