9、5)=2,
x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,…,數列{xn}是周期為4的數列,所以x2017=x1=2,故應選B.
二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線上)
13.已知1+23+332+432+…+n3n-1=3n(na-b)+c對一切n∈N*都成立,則a=,b=,c=.
[解析] 令n=1、2、3,得
所以a=,b=c=.
14.已知f(x)=x3+3x2+a(a為常數),在[-3,3]上有最小值3,那么在[-3,3]上f(x)的最大值是57.
[解析] f ′(x)=3x2+6x=3x(x+
10、2),當x∈[-3,-2)和x∈(0,3]時,f ′(x)>0,f(x)單調遞增,當x∈(-2,0)時,f ′(x)<0,f(x)單調遞減,∴極大值為f(-2)=a+4,極小值為f(0)=a,又f(-3)=a,f(3)=54+a,由條件知a=3,∴最大值為f(3)=54+3=57.
15.函數f(x)=ax3-3x在區(qū)間(-1,1)上為單調減函數,則a的取值范圍是a≤1.
[解析] f ′(x)=3ax2-3,∵f(x)在(-1,1)上為單調減函數,∴f ′(x)≤0在(-1,1)上恒成立,
即3ax2-3≤0在(-1,1)上恒成立,
∴a≤,∵x∈(-1,1),∴a≤1.
16.(
11、2017洛陽高二檢測)觀察下列等式:=1-,+=1-,++=1-,…,由以上等式推測到一個一般的結論:對于n∈N*,++…+=1-.
[解析] 由已知中的等式:=1-
+=1-,
++=1-,…,
所以對于n∈N*,++…+=1-.
三、解答題(本大題共6個大題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.(本題滿分10分)已知:a、b、c∈R,且a+b+c=1.
求證:a2+b2+c2≥.
[證明] 由a2+b2≥2ab,及b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
∴3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)
12、+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2.
由a+b+c=1,得3(a2+b2+c2)≥1,
即a2+b2+c2≥.
18.(本題滿分12分)已知函數f(x)=x3+ax2-3bx+c(b>0),且g(x)=f(x)-2是奇函數.
(1)求a、c的值;
(2)若函數f(x)有三個零點,求b的取值范圍.
[解析] (1)∵g(x)=f(x)-2是奇函數,
∴g(-x)=-g(x)對x∈R成立,
∴f(-x)-2=-f(x)+2對x∈R成立,
∴ax2+c-2=0對x∈R成立,
∴a=0且c=2.
(2)由(1)知f(x)=x3-3bx+2(b>0),
∴f ′(x)=3
13、x2-3b=3(x-)(x+),
令f ′(x)=0得x=,
x
(-∞,-)
-
(-,)
(,+∞)
f ′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
極大值
減
極小值
增
依題意有∴b>1,
故正數b的取值范圍是(1,+∞).
19.(本題滿分12分)已知函數f(x)=x3-2ax2+bx,其中a、b∈R,且曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為3.
(1)求b的值;
(2)若函數f(x)在x=1處取得極大值,求a的值.
[解析] (1)f ′(x)=a2x2-4ax+b,
由題意f ′(0)=b=3.
(2)∵函數f(
14、x)在x=1處取得極大值,
∴f ′(1)=a2-4a+3=0,解得a=1或a=3.
①當a=1時,f ′(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3),
x、f ′(x)、f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f ′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
由上表知,函數f(x)在x=1處取得極大值,符合題意.
②當a=3時,f ′(x)=9x2-12x+3=3(3x-1)(x-1),
x、f ′(x)、f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,)
(,1)
1
(1,
15、+∞)
f ′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
由上表知,函數f(x)在x=1處取得極小值,不符合題意.
綜上所述,若函數f(x)在x=1處取得極大值,a的值為1.
20.(本題滿分12分)若x>0,y>0,用分析法證明:(x2+y2)>(x3+y3).
[證明] 要證(x2+y2)>(x3+y3),
只需證(x2+y2)3>(x3+y3)2,
即證x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6,
即證3x4y2+3y4x2>2x3y3.
又因為x>0,y>0,所以x2y2>0,
故只需證3x2+3y2>2x
16、y.
而3x2+3y2>x2+y2≥2xy成立,
所以(x2+y2)>(x3+y3)成立.
21.(本題滿分12分)已知函數f(x)=ax+(a>1).
(1)證明:函數f(x)在(-1,+∞)上為增函數;
(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根.
[解析] (1)證法1:任取x1、x2∈(-1,+∞),不妨設x10,ax2-x1>1且ax1>0,
∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0,
又∵x1+1>0,x2+1>0,
∴-
=
=>0,
于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+->0,
故函數f(x)在(-1,+∞)上為
17、增函數.
證法2:f ′(x)=axlna+=axlna+
∵a>1,∴l(xiāng)na>0,∴axlna+>0,
f ′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,
即f(x)在(-1,+∞)上為增函數.
(2)解法1:設存在x0<0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,
則ax0=-,且00,ax0>0,∴f(x0)>0.
綜上,x<0(x≠-1)時,f(x)<-1或f(x)
18、>0,即方程f(x)=0無負數根.
22.(本題滿分14分)設a>1,函數f(x)=(1+x2)ex-a.
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)證明:f(x)在(-∞,+∞)上僅有一個零點;
(3)若曲線y=f(x)在點P處的切線與x軸平行,且在點M(m,n)處的切線與直線OP平行(O是坐標原點),證明:m≤-1.
[解析] (1)依題f′(x)=(1+x2)′ex+(1+x2)(ex)′=(1+x)2ex≥0,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是單調增函數.
(2)證明:∵a>1,
∴f(0)=1-a<0且f(a)=(1+a2)ea-a>1+a2-a>0,
∴f(x)在(0,
19、a)上有零點.
又由(1)知f(x)在(-∞,+∞)上是單調增函數,
∴f(x)在(-∞,+∞)上僅有一個零點.
(3)證明:令f′(x)=(1+x)2ex=0,得x=-1,
而f(-1)=[1+(-1)2]e-1-a=-a,
故P.
直線OP的斜率kOP==a-,
而f(x)在點M(m,n)處的切線斜率為
f′(m)=(1+m)2em.
由平行關系知-+a=(1+m)2em.
要證m≤-1,
即證(m+1)3≤a-=(1+m)2em,
即m+1≤em.
令g(m)=em-m-1,則g′(m)=em-1.
當m<0時,g′(m)<0,g(m)在(-∞,0)上單調遞減;
當m>0時,g′(m)>0,g(m)在(0,+∞)上單調遞增.
故g(m)在(-∞,+∞)上的最小值為g(0)=0,
即g(m)=em-m≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
于是m+1≤em,即m≤-1得證.
我國經濟發(fā)展進入新常態(tài),需要轉變經濟發(fā)展方式,改變粗放式增長模式,不斷優(yōu)化經濟結構,實現(xiàn)經濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調發(fā)展,推進新型城鎮(zhèn)化,推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國經濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。