高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第二章 推理與證明學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè) 新人教A版選修22
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高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第二章 推理與證明學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè) 新人教A版選修22
第一、二章 學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)
時(shí)間120分鐘,滿(mǎn)分150分.
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)
1.設(shè)<<0,則在①a2>b2;②a+b>2;③ab<b2;④a2+b2>|a|+|b|.這4個(gè)不等式中恒成立的有( B )
A.0個(gè) B.1個(gè)
C.2個(gè) D.3個(gè)
[解析] ∵<<0,∴0>a>b,∴a2<b2,ab<b2,②④顯然不正確.
2.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( D )
A.(-∞,-),∪(,+∞) B.(-,)
C.(-∞,-]∪[,+∞) D.[-,]
[解析] f ′(x)=-3x2+2ax-1,∵f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù),且f ′(x)的圖象是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn),∴f ′(x)≤0恒成立,∴Δ=4a2-12≤0,∴-≤a≤,故選D.
3.(2018淄博三模)在平面幾何里有射影定理:設(shè)三角形ABC的兩邊AB⊥AC,D是A點(diǎn)在BC上的射影,則AB2=BDBC.拓展到空間,在四面體A-BCD中,AD⊥面ABC,點(diǎn)O是A在面BCD內(nèi)的射影,且O在△BCD內(nèi),類(lèi)比平面三角形射影定理,得出正確的結(jié)論是( A )
A.(S△ABC)2=S△BCOS△BCD
B.(S△ABD)2=S△BODS△BOC
C.(S△ADC)2=S△DOCS△BOC
D.(S△BDC)2=S△ABDS△ABC
[解析] 由已知在平面幾何中,
若△ABC中,AB⊥AC,AE⊥BC,E是垂足,
則AB2=BDBC,
我們可以類(lèi)比這一性質(zhì),推理出:
若三棱錐A-BCD中,AD⊥面ABC,AO⊥面BCD,O為垂足,
則(S△ABC)2=S△BOCS△BDC.
故選A.
4.下列代數(shù)式(其中k∈N*)能被9整除的是( D )
A.6+67k B.2+7k-1
C.2(2+7k+1) D.3(2+7k)
[解析] 特值法:當(dāng)k=1時(shí),顯然只有3(2+7k)能被9整除,故選D.
證明如下:
當(dāng)k=1時(shí),已驗(yàn)證結(jié)論成立,
假設(shè)當(dāng)k=n(n∈N*)時(shí),命題成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.
∵3(2+7n)能被9整除,36能被9整除,
∴21(2+7n)-36能被9整除,
這就是說(shuō),k=n+1時(shí)命題也成立.
故命題對(duì)任何k∈N*都成立.
5.函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)可導(dǎo),其圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f ′(x)的圖象可能為( C )
[解析] 由圖象知,f(x)在x<0時(shí),圖象增→減→增,x>0時(shí),單調(diào)遞增,故f ′(x)在x<0時(shí),其值為+→-→+,在x>0時(shí)為+,故選C.
6.如果1N能拉長(zhǎng)彈簧1cm,為了將彈簧拉長(zhǎng)6cm,所耗費(fèi)的功為( A )
A.0.18J B.0.26J
C.0.12J D.0.28J
[解析] 設(shè)F(x)=kx,當(dāng)F(x)=1時(shí),x=0.01m,則k=100,∴W=∫100xdx=50x2|=0.18.
7.定義一種運(yùn)算“*”;對(duì)于自然數(shù)n滿(mǎn)足以下運(yùn)算性質(zhì):( A )
(i)1]B.n+1
C.n-1 D.n2
[解析] 令an=n*1,則由(ii)得,an+1=an+1,由(i)得,a1=1,
∴{an}是首項(xiàng)a1=1,公差為1的等差數(shù)列,∴an=n,即n*1=n,故選A.
8.已知f(n)=+++…+,則( D )
A.f(n)中共有n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=+
B.f(n)中共有n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=++
C.f(n)中共有n2-n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=+
D.f(n)中共有n2-n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=++
[解析] 項(xiàng)數(shù)為n2-(n-1)=n2-n+1,故應(yīng)選D.
9.已知函數(shù)f(x)=lnx,則函數(shù)g(x)=f(x)-f ′(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( B )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
[解析] 由題可知g(x)=lnx-,∵g(1)=-1<0,g(2)=ln2-=ln2-ln>0,∴選B.
10.已知c>1,a=-,b=-,則正確的結(jié)論是( B )
A.a(chǎn)>b B.a(chǎn)<b
C.a(chǎn)=b D.a(chǎn)、b大小不定
[解析] a=-=,
b=-=,
因?yàn)?gt;>0,>>0,
所以+>+>0,所以a<b.
11.已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+x的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1、x2,且0<x1<1<x2,點(diǎn)P(m,n)表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)(x0,y0)滿(mǎn)足y0=loga(x0+4),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( B )
A.(0,)∪(1,3) B.(0,1)∪(1,3)
C.(,1)∪(1,3] D.(0,1)∪[3,+∞)
[解析] f ′(x)=x2+mx+,由條件知,方程f ′(x)=0的兩實(shí)根為x1、x2且0<x1<1<x2,
∴∴∴
由得∴
由y0=loga(x0+4)知,當(dāng)a>1時(shí),1<y0<loga3,∴1<a<3;當(dāng)0<a<1時(shí),y0=loga(x0+4)>loga3,由于y0>1,loga3<0,∴對(duì)?a∈(0,1),此式都成立,從而0<a<1,綜上知0<a<1或1<a<3,故選B.
12.設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表,數(shù)列{xn}滿(mǎn)足x0=5,且對(duì)任意的自然數(shù)均有xn+1=f(xn),則x2017=( B )
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
A.1 B.2
C.4 D.5
[解析] x1=f(x0)=f(5)=2,
x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,…,數(shù)列{xn}是周期為4的數(shù)列,所以x2017=x1=2,故應(yīng)選B.
二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線(xiàn)上)
13.已知1+23+332+432+…+n3n-1=3n(na-b)+c對(duì)一切n∈N*都成立,則a=,b=,c=.
[解析] 令n=1、2、3,得
所以a=,b=c=.
14.已知f(x)=x3+3x2+a(a為常數(shù)),在[-3,3]上有最小值3,那么在[-3,3]上f(x)的最大值是57.
[解析] f ′(x)=3x2+6x=3x(x+2),當(dāng)x∈[-3,-2)和x∈(0,3]時(shí),f ′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(-2,0)時(shí),f ′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,∴極大值為f(-2)=a+4,極小值為f(0)=a,又f(-3)=a,f(3)=54+a,由條件知a=3,∴最大值為f(3)=54+3=57.
15.函數(shù)f(x)=ax3-3x在區(qū)間(-1,1)上為單調(diào)減函數(shù),則a的取值范圍是a≤1.
[解析] f ′(x)=3ax2-3,∵f(x)在(-1,1)上為單調(diào)減函數(shù),∴f ′(x)≤0在(-1,1)上恒成立,
即3ax2-3≤0在(-1,1)上恒成立,
∴a≤,∵x∈(-1,1),∴a≤1.
16.(2017洛陽(yáng)高二檢測(cè))觀察下列等式:=1-,+=1-,++=1-,…,由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論:對(duì)于n∈N*,++…+=1-.
[解析] 由已知中的等式:=1-
+=1-,
++=1-,…,
所以對(duì)于n∈N*,++…+=1-.
三、解答題(本大題共6個(gè)大題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
17.(本題滿(mǎn)分10分)已知:a、b、c∈R,且a+b+c=1.
求證:a2+b2+c2≥.
[證明] 由a2+b2≥2ab,及b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
∴3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2.
由a+b+c=1,得3(a2+b2+c2)≥1,
即a2+b2+c2≥.
18.(本題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-3bx+c(b>0),且g(x)=f(x)-2是奇函數(shù).
(1)求a、c的值;
(2)若函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn),求b的取值范圍.
[解析] (1)∵g(x)=f(x)-2是奇函數(shù),
∴g(-x)=-g(x)對(duì)x∈R成立,
∴f(-x)-2=-f(x)+2對(duì)x∈R成立,
∴ax2+c-2=0對(duì)x∈R成立,
∴a=0且c=2.
(2)由(1)知f(x)=x3-3bx+2(b>0),
∴f ′(x)=3x2-3b=3(x-)(x+),
令f ′(x)=0得x=,
x
(-∞,-)
-
(-,)
(,+∞)
f ′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
極大值
減
極小值
增
依題意有∴b>1,
故正數(shù)b的取值范圍是(1,+∞).
19.(本題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)=x3-2ax2+bx,其中a、b∈R,且曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)斜率為3.
(1)求b的值;
(2)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,求a的值.
[解析] (1)f ′(x)=a2x2-4ax+b,
由題意f ′(0)=b=3.
(2)∵函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,
∴f ′(1)=a2-4a+3=0,解得a=1或a=3.
①當(dāng)a=1時(shí),f ′(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3),
x、f ′(x)、f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f ′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
由上表知,函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,符合題意.
②當(dāng)a=3時(shí),f ′(x)=9x2-12x+3=3(3x-1)(x-1),
x、f ′(x)、f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,)
(,1)
1
(1,+∞)
f ′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
由上表知,函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,不符合題意.
綜上所述,若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,a的值為1.
20.(本題滿(mǎn)分12分)若x>0,y>0,用分析法證明:(x2+y2)>(x3+y3).
[證明] 要證(x2+y2)>(x3+y3),
只需證(x2+y2)3>(x3+y3)2,
即證x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6,
即證3x4y2+3y4x2>2x3y3.
又因?yàn)閤>0,y>0,所以x2y2>0,
故只需證3x2+3y2>2xy.
而3x2+3y2>x2+y2≥2xy成立,
所以(x2+y2)>(x3+y3)成立.
21.(本題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)=ax+(a>1).
(1)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù);
(2)用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.
[解析] (1)證法1:任取x1、x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,ax2-x1>1且ax1>0,
∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0,
又∵x1+1>0,x2+1>0,
∴-
=
=>0,
于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+->0,
故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).
證法2:f ′(x)=axlna+=axlna+
∵a>1,∴l(xiāng)na>0,∴axlna+>0,
f ′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,
即f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).
(2)解法1:設(shè)存在x0<0(x0≠-1)滿(mǎn)足f(x0)=0,
則ax0=-,且0<ax0<1.
∴0<-<1,即<x0<2,與假設(shè)x0<0矛盾.
故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.
解法2:設(shè)x0<0(x0≠-1),
①若-1<x0<0,則<-2,ax0<1,∴f(x0)<-1.
②若x0<-1則>0,ax0>0,∴f(x0)>0.
綜上,x<0(x≠-1)時(shí),f(x)<-1或f(x)>0,即方程f(x)=0無(wú)負(fù)數(shù)根.
22.(本題滿(mǎn)分14分)設(shè)a>1,函數(shù)f(x)=(1+x2)ex-a.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:f(x)在(-∞,+∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn);
(3)若曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與x軸平行,且在點(diǎn)M(m,n)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),證明:m≤-1.
[解析] (1)依題f′(x)=(1+x2)′ex+(1+x2)(ex)′=(1+x)2ex≥0,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).
(2)證明:∵a>1,
∴f(0)=1-a<0且f(a)=(1+a2)ea-a>1+a2-a>0,
∴f(x)在(0,a)上有零點(diǎn).
又由(1)知f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),
∴f(x)在(-∞,+∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn).
(3)證明:令f′(x)=(1+x)2ex=0,得x=-1,
而f(-1)=[1+(-1)2]e-1-a=-a,
故P.
直線(xiàn)OP的斜率kOP==a-,
而f(x)在點(diǎn)M(m,n)處的切線(xiàn)斜率為
f′(m)=(1+m)2em.
由平行關(guān)系知-+a=(1+m)2em.
要證m≤-1,
即證(m+1)3≤a-=(1+m)2em,
即m+1≤em.
令g(m)=em-m-1,則g′(m)=em-1.
當(dāng)m<0時(shí),g′(m)<0,g(m)在(-∞,0)上單調(diào)遞減;
當(dāng)m>0時(shí),g′(m)>0,g(m)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
故g(m)在(-∞,+∞)上的最小值為g(0)=0,
即g(m)=em-m≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
于是m+1≤em,即m≤-1得證.
我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式,改變粗放式增長(zhǎng)模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化,推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。