高中數(shù)學(xué) 章末綜合測評(píng)2 推理與證明 新人教A版選修12
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1、 章末綜合測評(píng)(二) 推理與證明 (時(shí)間:120分鐘,滿分:150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f(x)=x2在R上是偶函數(shù)”的推理過程是( ) A.歸納推理 B.類比推理 C.演繹推理 D.非以上答案 C [根據(jù)演繹推理的定義知,推理過程是演繹推理,故選C.] 2.在△ABC中,E、F分別為AB、AC的中點(diǎn),則有EF∥BC,這個(gè)問題的大前提為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662104】 A.三角形的中位線平行于第三邊 B.三角形的中位線等于第三邊的一半
2、 C.EF為中位線 D.EF∥BC A [這個(gè)三段論推理的形式為:大前提:三角形的中位線平行于第三邊;小前提:EF為△ABC的中位線;結(jié)論:EF∥BC.] 3.在△ABC中,tan A·tanB>1,則△ABC是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定 A [∵tan A·tanB>1,∴A,B只能都是銳角, ∴tan A>0,tanB>0,1-tan A·tanB<0. ∴tan (A+B)=<0. ∴A+B是鈍角.∴角C為銳角.故選A.] 4.下列推理正確的是( ) A.把a(bǔ)(b+c)與loga(x+y
3、)類比,則有l(wèi)oga(x+y)=logax+logay B.把a(bǔ)(b+c)與sin (x+y)類比,則有sin (x+y)=sin x+sin y C.把a(bǔ)(b+c)與ax+y類比,則有ax+y=ax+ay D.把(a+b)+c與(xy)z類比,則有(xy)z=x(yz) D [(xy)z=x(yz)是乘法的結(jié)合律,正確.] 5.已知a+b+c=0,則ab+bc+ca的值( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662105】 A.大于0 B.小于0 C.不小于0 D.不大于0 D [因?yàn)閍+b+c=0, 所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0, 所以ab+bc+ca=-≤
4、0.故選D.] 6.對“a,b,c是不全相等的正數(shù)”,給出下列判斷: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a=b與b=c及a=c中至少有一個(gè)成立; ③a≠c,b≠c,a≠b不能同時(shí)成立. 其中判斷正確的個(gè)數(shù)為( ) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) B [若(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,則a=b=c,與“a,b,c是不全相等的正數(shù)”矛盾,故①正確.a(chǎn)=b與b=c及a=c中最多只能有一個(gè)成立,故②不正確.由于“a,b,c是不全相等的正數(shù)”,有兩種情形:至多有兩個(gè)數(shù)相等或三個(gè)數(shù)都互不相等,故③不正確.] 7.我們把平面幾何里相似形的概念
5、推廣到空間:如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等,但形狀完全相同,就把它們叫做相似體.下列幾何體中,一定屬于相似體的有( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662106】 ①兩個(gè)球體;②兩個(gè)長方體;③兩個(gè)正四面體;④兩個(gè)正三棱柱;⑤兩個(gè)正四棱錐. A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè) C [類比相似形中的對應(yīng)邊成比例知,①③屬于相似體.] 8.觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=( ) A.28 B.76 C.123 D.199 C [利用歸納法,a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b
6、4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123,規(guī)律為從第三組開始,其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和.] 9.對任意的銳角α,β,下列不等式中正確的是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662107】 A.sin (α+β)>sin α+sin β B.sin (α+β)>cos α+cos β C.cos (α+β)>sin α+sin β D.cos (α+β)<cos α+cos β D [因?yàn)棣?,β為銳角,所以0<α<α+β<π,所以cos α>
7、cos(α+β).又cos β>0,所以cos α+cos β>cos(α+β).] 10.在等差數(shù)列{an}中,若a10=0,則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19且n∈N*)成立,類比上述性質(zhì),在等比數(shù)列{bn}中,若b11=1,則有( ) A.b1·b2·…·bn=b1·b2·…·b19-n B.b1·b2·…·bn=b1·b2·…·b21-n C.b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n D.b1+b2+…+bn=
8、b1+b2+…+b21-n B [令n=10時(shí),驗(yàn)證即知選B.] 11.將石子擺成如圖1的梯形形狀.稱數(shù)列5,9,14,20,…為“梯形數(shù)”.根據(jù)圖形的構(gòu)成,此數(shù)列的第2 018項(xiàng)與5的差,即a2 018-5=( ) 圖1 A.2023×2018 B.2023×2017 C.1012×2016 D.1012×2017 D [an-5表示第n個(gè)梯形有n-1層點(diǎn),最上面一層為4個(gè),最下面一層為n+2個(gè). ∴an-5=,∴a2 018-5==2 017×1 012.] 12.如圖2中(1),在△ABC中,AB⊥AC于點(diǎn)A,A
9、D⊥BC于點(diǎn)D,則有AB2=BD·BC,類似地有命題:如圖(2),在三棱錐A-BCD中,AD⊥面ABC,若A在△BCD內(nèi)的射影為O,則S=S△BCO·S△BCD,那么上述命題( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662108】 圖2 A.是真命題 B.增加條件“AB⊥AC”后才是真命題 C.是假命題 D.增加條件“三棱錐A-BCD是正三棱錐”后才是真命題 A [由已知垂直關(guān)系,不妨進(jìn)行如下類比:將題圖(2)中的△ABC,△BCO,△BDC分別與題圖(1)中的AB,BD,BC進(jìn)行類比即可.嚴(yán)格推理如下:連結(jié)DO并延長交BC于點(diǎn)E,連結(jié)AE(圖略),則DE⊥BC,AE⊥B
10、C.因?yàn)锳D⊥面ABC,所以AD⊥AE.又因?yàn)锳O⊥DE,所以AE2=EO·ED,所以S=(BC·EA)2=(BC·EO)·(BC·ED)=S△BCO·S△BCD.故選A.] 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上) 13.已知x,y∈R,且x+y>2,則x,y中至少有一個(gè)大于1,在用反證法證明時(shí),假設(shè)應(yīng)為________. x,y均不大于1(或者x≤1且y≤1) [“至少有一個(gè)”的反面為“一個(gè)也沒有”,即“x,y均不大于1”,亦即“x≤1且y≤1”.] 14.當(dāng)n=1時(shí),有(a-b)(a
11、+b)=a2-b2,當(dāng)n=2時(shí),有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,當(dāng)n=3時(shí),有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,當(dāng)n∈N*時(shí),你能得到的結(jié)論是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662109】 (a-b)(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1-bn+1 [根據(jù)題意,由于當(dāng)n=1時(shí),有(a-b)(a+b)=a2-b2,當(dāng)n=2時(shí),有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,當(dāng)n=3時(shí),有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,當(dāng)n∈N*時(shí),左邊第二個(gè)因式可知為an+an-1b+…+abn-1+bn,那么對應(yīng)的表達(dá)式為(a-b)&
12、#183;(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1-bn+1.] 15.有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是________. 1和3 [法一:由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是2和3. 若丙的卡片上的數(shù)字是1和2,則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3,則甲的卡片上的數(shù)字是1和3,滿足題意; 若丙的卡片上的數(shù)字是1和3,則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3,則甲的卡片上的
13、數(shù)字是1和2,不滿足甲的說法. 故甲的卡片上的數(shù)字是1和3. 法二:因?yàn)榧着c乙的卡片上相同的數(shù)字不是2,所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5,所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因?yàn)橐遗c丙的卡片上相同的數(shù)字不是1,所以乙的卡片上的數(shù)字是2和3,所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3.] 16.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題:同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是a的正方形,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間,有兩個(gè)棱長為a的正方體,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662110】 [解法的類
14、比(特殊化),易得兩個(gè)正方體重疊部分的體積為.] 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分10分)用綜合法或分析法證明: (1)如果a,b>0,則lg ≥; (2)+>2+2. [證明] (1)當(dāng)a,b>0時(shí),有≥, ∴l(xiāng)g ≥lg , ∴l(xiāng)g ≥lg ab=. (2)要證+>2+2, 只要證(+)2>(2+2)2, 即2>2,這是顯然成立的, 所以,原不等式成立. 18.(本小題滿分12分)下列推理是否正確?若不正確,指出錯(cuò)誤之處. (1)求證:四邊形的內(nèi)角和等于360
15、176;. 證明:設(shè)四邊形ABCD是矩形,則它的四個(gè)角都是直角,有∠A+∠B+∠C+∠D=90°+90°+90°+90°=360°,所以四邊形的內(nèi)角和為360°. (2)已知和都是無理數(shù),試證:+也是無理數(shù). 證明:依題設(shè)和都是無理數(shù),而無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù),所以+必是無理數(shù). (3)已知實(shí)數(shù)m滿足不等式(2m+1)(m+2)<0,用反證法證明:關(guān)于x的方程x2+2x+5-m2=0無實(shí)根. 證明:假設(shè)方程x2+2x+5-m2=0有實(shí)根.由已知實(shí)數(shù)m滿足不等式(2m+1)(m+2)<0,解得-2<m<-,而關(guān)于x的
16、方程x2+2x+5-m2=0的判別式Δ=4(m2-4),∵-2<m<-,∴<m2<4,∴Δ<0,即關(guān)于x的方程x2+2x+5-m2=0無實(shí)根. [解] (1)犯了偷換論題的錯(cuò)誤,在證明過程中,把論題中的四邊形改為矩形. (2)使用的論據(jù)是“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”,這個(gè)論據(jù)是假的,因?yàn)閮蓚€(gè)無理數(shù)的和不一定是無理數(shù),因此原題的真實(shí)性仍無法判定. (3)利用反證法進(jìn)行證明時(shí),要把假設(shè)作為條件進(jìn)行推理,得出矛盾,本題在證明過程中并沒有用到假設(shè)的結(jié)論,也沒有推出矛盾,所以不是反證法. 19.(本小題滿分12分)觀察: ①tan 10°·tan 20&
17、#176;+tan 20°·tan 60°+tan 60°·tan 10°=1,②tan 5°·tan 10°+tan 10°·tan 75°+tan 75°·tan 5°=1. 由以上兩式成立能得到一個(gè)從特殊到一般的推廣,此推廣是什么?并證明你的推廣. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662111】 [解] 從已知觀察到10°+20°+60°=90°,10°+75°+5°=90
18、6;,因此猜測推廣式為若α+β+γ=,且α,β,γ都不為kπ+(k∈Z),則tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1. 證明如下:由α+β+γ=,得α+β=-γ. 因?yàn)閠an (α+β)=tan =.又因?yàn)閠an (α+β)=,所以tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)= (1-tan αtan β),所以tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=tan γ(tan α+tan β)+tan αtan β=tan γ(1-tan αtan β)·+tan αtan β=1-tan αtan β+t
19、an αtan β=1. 20.(本小題滿分12分)如圖2,正三棱柱ABCA1B1C1的棱長均為a,D,E分別為C1C與AB的中點(diǎn),A1B交AB1于點(diǎn)G. 圖2 (1)求證:A1B⊥AD; (2)求證:CE∥平面AB1D. [證明] (1)連接A1D,BD,DG, ∵三棱柱ABC-A1B1C1是棱長均為a的正三棱柱, ∴四邊形A1ABB1為正方形, ∴A1B⊥AB1. ∵D是C1C的中點(diǎn), ∴△A1C1D≌△BCD,∴A1D=BD, ∵G為A1B中點(diǎn), ∴A1B⊥DG. 又∵DG∩AB1=G, ∴A1B⊥平面AB1D, 又∵AD?平面AB1D
20、, ∴A1B⊥AD. (2)連接GE,∵EG∥A1A, ∴GE⊥平面ABC. ∵DC⊥平面ABC, ∴GE∥DC,∵GE=DC=a, ∴四邊形GECD為平行四邊形,∴EC∥GD, 又∵EC?平面AB1D,DG?平面AB1D, ∴EC∥平面AB1D. 21. (本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ax+(a>1). (1)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù); (2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662112】 [證明] (1)法一:任取x1、x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,ax2-x1&g
21、t;1且ax1>0, ∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0, 又∵x1+1>0,x2+1>0, ∴-= =>0, 于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+->0, 故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù). 法二:f′(x)=axln a+=axln a+ ∵a>1,∴l(xiāng)n a>0,∴axln a+>0, f′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立, 即f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù). (2)設(shè)存在x0<0(x0≠-1)滿足f(x0)=0, 則ax0=-,且0<ax0<1.
22、∴0<-<1,即<x0<2,與假設(shè)x0<0矛盾. 故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根. 22. (本小題滿分12分) (1)橢圓C:+=1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N,求證:·為定值b2-a2. (2)類比(1)可得如下真命題:雙曲線-=1(a>0,b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N,求證:·為定值,請寫出這個(gè)定值(不要求寫出解題過程). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662113】
23、 [解] (1)證明如下:設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),(x0≠±a). 依題意,得A(-a,0),B(a,0), 所以直線PA的方程為y=(x+a), 令x=0,得yM=.同理得yN=-. 所以yMyN=. 又點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上,所以+=1, 因此y=(a2-x). 所以yMyN==b2. 因?yàn)椋絳a,yN},=(-a,yM), 所以·=-a2+yMyN=b2-a2. (2)-(a2+b2). 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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