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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第2講 空間圖形的基本關(guān)系與公理
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時:40分鐘)
一、選擇題
1.(20xx江西七校聯(lián)考)已知直線a和平面α,β,α∩β=l,a α,a β,且a在α,β內(nèi)的射影分別為直線b和c,則直線b和c的位置關(guān)系是( ).
A.相交或平行 B.相交或異面
C.平行或異面 D.相交、平行或異面
解析 依題意,直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面,選D.
答案 D
2.在正方體AC1中,E,F(xiàn)分別是線段BC,CD1的中點,則直線A1B與直線EF的位
2、置關(guān)系是 ( ).
A.相交 B.異面
C.平行 D.垂直
解析 如圖所示,直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1,EF平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交.
答案 A
3.設(shè)P表示一個點,a,b表示兩條直線,α,β表示兩個平面,給出下列四個命題,其中正確的命題是 ( ).
①P∈a,P∈α?aα;②a∩b=P,bβ?aβ;③a∥b,aα,P∈b,P∈α?bα;④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b.
A.①② B.②③
C.①④ D.③④
解析 當a∩α=P時,P∈a,P∈α,但a?α,①錯;a∩β=P時,②錯;
3、
如圖,∵a∥b,P∈b,∴P?a,∴由直線a與點P確定唯一平面α,
又a∥b,由a與b確定唯一平面β,但β經(jīng)過直線a與點P,
∴β與α重合,
∴bα,故③正確;
兩個平面的公共點必在其交線上,故④正確.
答案 D
4.(20xx陜西五校聯(lián)考)已知l,m,n是空間中的三條直線,命題p:若m⊥l,n⊥l,則m∥n;命題q:若直線l,m,n兩兩相交,則直線l,m,n共面,則下列命題為真命題的是 ( ).
A.p且q B.p或q
C.p或(綈q) D.(綈p)且q
解析 命題p中,m,n可能平行、還可能相交或異面,所以命題p為假命題;命題q中,當三條直線交于三個不同的點時
4、,三條直線一定共面,當三條直線交于一點時,三條直線不一定共面,所以命題q也為假命題.所以綈p和綈q都為真命題,故p或(綈q)為真命題.選C.
答案 C
5. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,過頂點A1與正方體其他頂點的連線與直線BC1成60角的條數(shù)為 ( ).
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 有2條:A1B和A1C1.
答案 B
二、填空題
6.如果兩條異面直線稱為“一對”,那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對.
解析
如圖所示,與AB異面的直線有B1C1,CC1,A1D1,DD1四條,因為各棱具有
5、不同的位置,且正方體共有12條棱,排除兩棱的重復(fù)計算,共有異面直線=24(對).
答案 24
7. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別為棱C1D1、C1C的中點,有以下四個結(jié)論:
①直線AM與CC1是相交直線;
②直線AM與BN是平行直線;
③直線BN與MB1是異面直線;
④直線AM與DD1是異面直線.
其中正確的結(jié)論為________(注:把你認為正確的結(jié)論的序號都填上).
解析 A,M,C1三點共面,且在平面AD1C1B中,但C?平面AD1C1B,因此直線AM與CC1是異面直線,同理AM與BN也是異面直線,AM與DD1也是異面直線,①②錯,④正確;M,B
6、,B1三點共面,且在平面MBB1中,但N?平面MBB1,因此直線BN與MB1是異面直線,③正確.
答案?、邰?
8.(20xx江西卷)如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.
解析 取CD的中點為G,由題意知平面EFG與正方體的左、右側(cè)面所在平面重合或平行,從而EF與正方體的左、右側(cè)面所在的平面平行或EF在平面內(nèi).所以直線EF與正方體的前、后側(cè)面及上、下底面所在平面相交.故直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.
答案 4
三、解答題
9. 如圖,四邊形ABEF和ABCD都
7、是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90,BC綊AD,BE綊FA,G,H分別為FA,F(xiàn)D的中點.
(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;
(2)C,D,F(xiàn),E四點是否共面?為什么?
(1)證明 由已知FG=GA,F(xiàn)H=HD,可得GH綊AD.又BC綊AD,∴GH綊BC,
∴四邊形BCHG為平行四邊形.
(2)解 由BE綊AF,G為FA中點知,BE綊FG,
∴四邊形BEFG為平行四邊形,
∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH,∴EF∥CH,
∴EF與CH共面.
又D∈FH,∴C,D,F(xiàn),E四點共面.
10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線A1C與平面BDC1交于點O
8、,AC,BD交于點M,求證:點C1,O,M共線.
證明 如圖所示,∵A1A∥C1C,
∴A1A,C1C確定平面A1C.
∵A1C平面A1C,O∈A1C,
∴O∈平面A1C,而O=平面BDC1∩線A1C,
∴O∈平面BDC1,
∴O在平面BDC1與平面A1C的交線上.
∵AC∩BD=M,
∴M∈平面BDC1,且M∈平面A1C,
∴平面BDC1∩平面A1C=C1M,
∴O∈C1M,即C1,O,M三點共線.
能力提升題組
(建議用時:25分鐘)
一、選擇題
1.(20xx長春一模)一個正方體的展開圖如圖所示,A、B、C、D為原正方體的頂點,則在原來的正方體中 (
9、 ).
A.AB∥CD
B.AB與CD相交
C.AB⊥CD
D.AB與CD所成的角為60
解析 如圖,把展開圖中的各正方形按圖1所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原,得到圖2所示的直觀圖,可見選項A,B,C不正確.∴正確選項為D.圖2中,BE∥CD,∠ABE為AB與CD所成的角, △ABE為等邊三角形,∴∠ABE=60.
答案 D
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1, CC1的中點,則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線 ( ).
A.不存在 B.有且只有兩條
C.有且只有三條 D.有
10、無數(shù)條
解析 法一
圖1
在EF上任意取一點M,直線A1D1與M確定一個平面(如圖1),這個平面與CD有且僅有1個交點N,當M取不同的位置就確定不同的平面,從而與CD有不同的交點N,而直線MN與這3條異面直線都有交點.如圖所示.故選D.
法二 在A1D1上任取一點P,過點P與直線EF作一個平面α(如圖2),因CD與平面α不平行,
圖2
所以它們相交,設(shè)它們交于點Q,連接PQ,則PQ與EF必然相交,即PQ為所求直線.由點P的任意性,知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1,EF,CD都相交.
答案 D
二、填空題
3.(20xx安徽卷)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的
11、棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC1上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號).
①當0<CQ<時,S為四邊形;②當CQ=時,S為等腰梯形;③當CQ=時,S與C1D1的交點R滿足C1R=;④當<CQ<1時, S為六邊形;⑤當CQ=1時,S的面積為.
解析 如圖1,當CQ=時,平面APQ與平面ADD1A1的交線AD1必平行于PQ,且D1Q=AP=,
∴S為等腰梯形,∴②正確;
同理,當0<CQ<時,S為四邊形,∴①正確;
圖1
圖2
如圖2,當CQ=時,將正方體ABCD-A1B1C1D1補成
12、底面不變,高為1.5的長方體ABCD-A2B2C2D2.Q為CC2的中點,連接AD2交A1D1于點E,易知PQ∥AD2,作ER∥AP,交C1D1于R,連接RQ,則五邊形APQRE為截面S.延長RQ,交DC的延長線于F,同時與AP的延長線也
交于F,由P為BC的中點,PC∥AD,知CF=DF=1,
由題意知△RC1Q∽△FCQ,∴=,
∴C1R=,∴③正確;由圖2知當<CQ<1時,S為五邊形,∴④錯誤;當CQ=1時,點Q與點C1重合,截面S為邊長為的菱形,對角線AQ=,另一條對角線為,∴S=,⑤正確.
答案?、佗冖邰?
三、解答題
4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
(
13、1)求A1C1與B1C所成角的大?。?
(2)若E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點,求A1C1與EF所成角的大?。?
解 (1)如圖,連接AC,AB1,
由ABCD-A1B1C1D1是正方體,
知AA1C1C為平行四邊形,
所以AC∥A1C1,從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.由 △AB1C中,由AB1=AC=B1C可知∠B1CA=60,即A1C1與B1C所成角為60.
(2)如圖,連接BD,由(1)知AC∥A1C1.
∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.
∵EF是△ABD的中位線,∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD,∴AC⊥EF,即所求角為90.
∴EF⊥A1C1.即A1C1與EF所成的角為90.