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第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例
考點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積
1．（2013湖南，5分）已知a，b是單位向量，ab＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值為( )
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
解析：本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量模的幾何含義與向量模的最值求解，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用能力．建立平面直角坐標(biāo)系，令向量a，b的坐標(biāo)a＝(1,0)，b＝(0,1)，令向量c＝(x，y)，則有＝1，|c|的
2、最大值為圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值，即圓心(1,1)到原點(diǎn)的距離加圓的半徑，即＋1.
答案：C
2．（2013湖北，5分）已知點(diǎn)A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為( )
A. B.
C．－ D．－
解析：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量投影的概念，意在考查考生對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況．＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影為||cos〈，〉＝||＝＝＝，故選A.
答案：A
3．（2010遼寧，5分）平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)＝a，＝b，則△OAB的面積等于( )
3、
A.
B.
C.
D.
解析：因?yàn)閏os〈a，b〉＝，
所以sin∠AOB＝sin〈a，b〉＝ ，
則S△AOB＝|a||b|sin∠AOB＝.
答案：C
4．(2010湖南，5分)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，則a與b的夾角為( )
A．30 B．60
C．120 D．150
解析：(2a＋b)b＝2ab＋b2＝2|a|2cos〈a，b〉＋a2＝0?cos〈a，b〉＝－，所以夾角為120.
答案：C
5．(2009福建，5分)設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則
4、|bc|的值一定等于( )
A．以a，b為兩邊的三角形的面積
B．以b，c為兩邊的三角形的面積
C．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積
D．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積
解析：∵|bc|＝|b||c||cosθ|，
如圖，∵a⊥c，∴|bcosθ|就是以a、b為鄰邊的平行四邊形的高，而|a|＝|c|，
∴|bc|＝|a|(|b||cosθ|)，
∴|bc|表示以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積．
答案：C
6．（2012新課標(biāo)全國，5分）已知向量a，b夾角為45，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________.
解析：依題意，可知|2a－b|2＝4|a|2
5、－4ab＋|b|2＝4－4|a||b|cos 45＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，∴|b|＝＝3(負(fù)值舍去)．
答案：3
7．（2013新課標(biāo)全國Ⅰ，5分）已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，c＝ta＋(1－t)b，若bc＝0，則t＝________.
解析：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算求解能力．根據(jù)數(shù)量積bc＝0，把已知兩向量的夾角轉(zhuǎn)化到兩向量數(shù)量積的運(yùn)算中．因?yàn)橄蛄縜，b為單位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夾角為60，所以ab＝，由bc＝0得b[ta＋(1－t)b]＝0，即tab＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t
6、)＝0，所以t＝2.
答案：2
8．（2013安徽，5分）若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________．
解析：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和夾角等基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)運(yùn)算．
對向量的模同時(shí)平方可得，|a|2＝9|b|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4ab，所以有4ab＝－4|b|2，即cos〈a，b〉＝－＝－.
答案：－
9．（2013浙江，4分）設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于________．
解析：本題考查向量的概念、運(yùn)算、函數(shù)的最值等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與
7、化歸能力、函數(shù)與方程思想以及靈活利用知識(shí)分析問題、解決問題的能力．當(dāng)x＝0時(shí)，＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，2＝＝＝≤4，所以的最大值是2，當(dāng)且僅當(dāng)＝－時(shí)取到最大值．
答案：2
10. （2012江蘇，5分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若＝，則的值是________．
解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．設(shè)F(x,2)(0≤x≤)，由＝?x＝?x＝1，所以F(1,2)，＝(，1)(1－，2)＝.
答案：
11．（2012湖北，5分）已知向量a＝(1,0)，b
8、＝(1,1)，則
(1)與2a＋b同向的單位向量的坐標(biāo)表示為________；
(2)向量b－3a與向量a夾角的余弦值為________．
解析：(1)因?yàn)?a＋b＝(3,1)，所以與它同向的單位向量的坐標(biāo)是(，)；
(2)b－3a＝(－2,1)，所以(b－3a)a＝－2，|b－3a|＝，所以b－3a與a夾角的余弦為＝＝－
答案：(1)(，)；(2)－
12．（2011新課標(biāo)全國，5分）已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________.
解析：∵a＋b與ka－b垂直，
∴(a＋b)(ka－b)＝0，
化簡得(k－1)(ab＋1
9、)＝0，根據(jù)a、b向量不共線，且均為單位向量得ab＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.
答案：1
考點(diǎn)二 平面向量的應(yīng)用
1．(2011山東，5分)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若＝λ (λ∈R)，＝μA1A2(μ∈R)，且＋＝2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2已知點(diǎn)C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0)，B(1,0)，則下面說法正確的是( )
A．C可能是線段AB的中點(diǎn)
B．D可能是線段AB的中點(diǎn)
C．C，D可能同時(shí)在線段AB上
D．C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長線上
解析：根據(jù)已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,
10、0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，從而得c＝λ；(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d＝μ.根據(jù)＋＝2，得＋＝2.線段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是線段AB的中點(diǎn)，則c＝，代入＋＝2得，＝0，此等式不可能成立，故選項(xiàng)A的說法不正確；同理選項(xiàng)B的說法也不正確；若C，D同時(shí)在線段AB上，則01，d>1，則＋<2，與＋＝2矛盾，若c<0，d<0，則＋
11、是負(fù)值，與＋＝2矛盾，若c>1，d<0，則<1，<0，此時(shí)＋<1，與＋＝2矛盾；故選項(xiàng)D的說法是正確的．
答案：D
2．（2013遼寧，12分）設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ab，求f(x)的最大值．
解：本題考查向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查三角函數(shù)的性質(zhì)．
(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，從而sin x＝，
所以x＝.
(2
12、)f(x)＝ab＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
當(dāng)x＝∈時(shí)，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值為.
3．（2013江蘇，15分）已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求證：a⊥b；
(2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
解：本題考查平面向量的加法、減法、數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解和推理論證能力．
(1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2.
又因?yàn)閍2＝b2＝|a|2
13、＝|b|2＝1，所以2－2ab＝2，即ab＝0，故a⊥b.
(2)因?yàn)閍＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以
由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝，而α>β，所以α＝，β＝.
4．（2013天津，13分）設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為， 過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 設(shè)A, B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)， 過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．若＋＝8，
14、求k的值.
解：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力．
(1)設(shè)F(－c,0)，由＝，知，a＝c.過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有＋＝1，解得y＝，于是＝，解得b＝，又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)．
由方程組消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
則x1＋x2＝－，x1x2＝.
因?yàn)锳(－，0)，B
15、(，0)，所以＋＝(x1＋，y1)(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝.
5．(2010江蘇，14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 已知點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；
(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(－t)＝0，求t的值．
解：(1)由題設(shè)知＝(3,5)，＝(－1,1)，
則＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的兩條對角線長分別為4，2.
(2)由題設(shè)知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)＝0，
得(3＋2t,5＋t)(－2，－1)＝0，
從而5t＝－11，所以t＝－.
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高三數(shù)學(xué)文一輪備考 第4章第3節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例
