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第9章 概率
第3節(jié) 幾何概型
考點 幾何概型
1．（2013湖南，5分）已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則＝( )
A. B.
C. D.
解析：本題主要考查幾何概型與三角形的最大角的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力．由已知，點P的分界點恰好是邊CD的四等分點，由勾股定理可得AB2＝2＋AD2，解得2＝，即＝.
答案：D
2．（2013福建，4分）利用計算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事
2、件“3a－1>0”發(fā)生的概率為________．
解析：本題考查了幾何概型與隨機(jī)模擬等知識，意在考查考生的轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力．
因為0≤a≤1，由3a－1>0得0”發(fā)生的概率為＝.
答案：
3．（2013湖北，5分）在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________.
解析：本題以非常簡單的區(qū)間和不等式的解集立意，考查幾何概型．由幾何概型知：＝?m＝3.
答案：3
4．（2012北京，5分）設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點，則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是( )
3、
A. B.
C. D.
解析：不等式組表示坐標(biāo)平面內(nèi)的一個正方形區(qū)域，設(shè)區(qū)域內(nèi)點的坐標(biāo)為(x，y)，則隨機(jī)事件：在區(qū)域D內(nèi)取點，此點到坐標(biāo)原點的距離大于2表示的區(qū)域就是圓x2＋y2＝4的外部，即圖中的陰影部分，故所求的概率為.
答案：D
5．（2012湖北，5分）如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓，在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自陰影部分的概率是( )
A.－ B.
C．1－ D.
解析：設(shè)OA＝OB＝r，則兩個以為半徑的半圓的公共部分面積為2[π()2－()2]＝，兩個半圓外部的陰影部分面積為πr2
4、－[π()22－]＝，所以所求概率為＝1－.
答案：C
6．（2011福建，5分）如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點Q，則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：點E為邊CD的中點，故所求的概率P＝＝.
答案：C
7．（2011湖南，5分）已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25.
(1)圓C的圓心到直線l的距離為________；
(2)圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為________．
解析：根據(jù)點到直線的距離公式得d＝＝5；設(shè)直線4x＋3y＝c到圓
5、心的距離為3，則＝3，取c＝15，則直線4x＋3y＝15把圓所截得的劣弧的長度和整個圓的周長的比值即是所求的概率，由于圓半徑是2，則可得直線4x＋3y＝15截得的圓弧所對的圓心角為60，故所求的概率是.
答案：5
8．(2010福建，12分)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1，D1C1上的點(點E與B1不重合)，且EH∥A1D1.過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點分別為F，G.
(1)證明：AD∥平面EFGH；
(2)設(shè)AB＝2AA1＝2a，在長方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點，記該點取自幾何體A1ABFE－D1DCGH內(nèi)的概率為P.
6、當(dāng)點E，F(xiàn)分別在棱A1B1，B1B上運動且滿足EF＝a，求P的最小值．
解：法一：(1)證明：在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1.
又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH.
∵AD?平面EFGH，EH?平面EFGH，
∴AD∥平面EFGH.
(2)設(shè)BC＝b，則長方體ABCD－A1B1C1D1的體積V＝ABBCAA1＝2a2b，
幾何體EB1F－HC1G的體積V1＝(EB1B1F)B1C1＝EB1B1F.
∵EB＋B1F2＝a2，
∴EB1B1F≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)EB1＝B1F＝a時等號成立．
從而V1≤.
∴p＝1－≥1－＝，當(dāng)且僅當(dāng)EB1＝B1F＝a時等號成立．
所以P的最小值等于.
法二：(1)同解法一．
(2)設(shè)BC＝b，則長方體ABCD－A1B1C1D1的體積V＝ABBCAA1＝2a2b，
幾何體EB1F－HC1G的體積
V1＝(EB1B1F)B1C1＝EB1B1F.
設(shè)∠B1EF＝θ(0≤θ≤90)，則EB1＝acosθ，B1F＝asinθ.
故EB1B1F＝a2sinθcosθ＝sin2θ≤，當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ＝1，即θ＝45時等號成立．
從而V1≤.
∴P＝1－≥1－＝，當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ＝1，即θ＝45時等號成立．
所以P的最小值等于.
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