3、AOB=|m| =,
解得m2=或m2=.①
又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0),
因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn),
所以=1.②
由①②得t2=4或t2=,
又t>0,所以t=2或t=.
(ⅱ)當(dāng)A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸不對(duì)稱時(shí),
設(shè)直線AB的方程為y=kx+h,
將其代入橢圓的方程+y2=1,
得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由判別式Δ>0可得1+2k2>h2,
此時(shí)x1+x2=-,x1x2=,
y1+y2=k(x1+x2)+2h=,
所以|AB|=
=2 .
因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AB的距離d=,
所以S△
4、AOB=|AB|d=2= |h|.
又S△AOB=,
所以 |h|=.③
令n=1+2k2,代入③整理得3n2-16h2n+16h4=0,
解得n=4h2或n=h2,
即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.④
又=t=t(+)=t(x1+x2,y1+y2)=,
因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn),
所以t22+2=1,
即=1.⑤
將④代入⑤得t2=4或t2=.
又t>0,所以t=2或t=.經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.
綜合(ⅰ)(ⅱ)得t=2或t=.
3.(2011浙江,5分)已知橢圓C1:+=1(a>b>0)與雙曲線C2:x2-=1有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓
5、相交于A,B兩點(diǎn).若C1恰好將線段AB三等分,則( )
A.a(chǎn)2= B.a(chǎn)2=13
C.b2= D.b2=2
解析:對(duì)于直線與橢圓、圓的關(guān)系,如圖所示,設(shè)直線AB與橢圓C1的一個(gè)交點(diǎn)為C(靠近A的交點(diǎn)),則|OC|=,
因tan∠COx=2,
∴sin∠COx=,
cos∠COx=,
則C的坐標(biāo)為(,),代入橢圓方程得+=1,∴a2=11b2.∵5=a2-b2,∴b2=.
答案:C
4.(2012安徽,13分)如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是橢圓C的頂點(diǎn),B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn),∠F1AF2=60.
6、
(1)求橢圓C的離心率;
(2)已知△AF1B的面積為40,求a,b的值.
解:(1)由題意可知,△AF1F2為等邊三角形,a=2c,所以e=.
(2)法一:a2=4c2,b2=3c2,
直線AB的方程可為y=-(x-c).
將其代入橢圓方程3x2+4y2=12c2,得B(c,-c).
所以|AB|=|c-0|=c.
由S△AF1B=|AF1||AB|sin ∠F1AB=ac=a2=40,解得a=10,b=5.
法二:設(shè)|AB|=t.
因?yàn)閨AF2|=a,所以|BF2|=t-a.
由橢圓定義|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t.
再由余弦定理(3a-t
7、)2=a2+t2-2atcos 60可得,
t=a.
由S△AF1B=aa=a2=40知,
a=10,b=5.
5.(2011陜西,12分)設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,4),離心率為.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo).
解:(Ⅰ)將(0,4)代入C的方程得=1,∴b=4,
又e==得=,
即1-=,∴a=5,
∴C的方程為+=1.
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y=(x-3),
設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線方程y=(x-3)代入C的方程,得
+=1,
即x2-3
8、x-8=0,解得
x1=,x2=,
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)==,
==(x1+x2-6)=-,
即中點(diǎn)坐標(biāo)為(,-).
注:用韋達(dá)定理正確求得結(jié)果,同樣給分.
考點(diǎn)二 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
1.(2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,5分)設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P是C上的點(diǎn),PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30,則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:本題主要考查橢圓離心率的計(jì)算,涉及橢圓的定義、方程與幾何性質(zhì)等知識(shí),意在考查考生的運(yùn)算求解能力.
法一:由題意可設(shè)|PF2|=m,結(jié)合條件可知|PF1|=2m,|F
9、1F2|=m,故離心率e=====.
法二:由PF2⊥F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c,將x=c代入橢圓方程可解得y=,所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30可得|F1F2|=|PF2|,故2c=,變形可得(a2-c2)=2ac,等式兩邊同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去).
答案:D
2.(2013遼寧,5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:本題主要考查圓錐曲線的定義、離心率,解三角形
10、等知識(shí),意在考查考生對(duì)圓錐曲線的求解能力以及數(shù)據(jù)處理能力.由余弦定理得,|AF|=6,所以2a=6+8=14,又2c=10,所以e==.
答案:B
3.(2013四川,5分)從橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn)F1,A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn),B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn),且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則該橢圓的離心率是( )
A. B.
C. D.
解析:本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),意在考查曲線和方程這一解析幾何的基本思想.由已知,點(diǎn)P(-c,y)在橢圓上,代入橢圓方程,得P.∵AB∥OP,∴kAB=kOP,即-=-,則b=c,∴a2=b2+c
11、2=2c2,則=,即該橢圓的離心率是.
答案:C
4.(2013福建,4分)橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于________.
解析:本題主要考查橢圓的定義、圖像和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力.直線y=(x+c)過(guò)點(diǎn)F1(-c,0),且傾斜角為60,所以∠MF1F2=60,從而∠MF2F1=30,所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中,|MF1|=c,|MF2|=c,所以該橢圓的離心率e===-1.
答案:-1
12、
5.(2012新課標(biāo)全國(guó),5分)設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=上一點(diǎn),△F2PF1是底角為30的等腰三角形,則E的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:由題意可得|PF2|=|F1F2|,所以2(a-c)=2c,所以3a=4c,所以e=.
答案:C
6.(2012江西,5分)橢圓+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.-2
解析:依題意得
|F1F2|2=|AF1|
13、|F1B|,即4c2=(a-c)(a+c)=a2-c2,整理得5c2=a2,所以e==.
答案:B
7.(2011新課標(biāo)全國(guó),5分)橢圓+=1的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:由+=1可得a2=16,b2=8,∴c2=a2-b2=8.
∴e2==.∴e=.
答案:D
8.(2010福建,5分)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最大值為( )
A.2 B.3
C.6 D.8
解析:由橢圓+=1,可得點(diǎn)F(-1,0),點(diǎn)O(0,0),設(shè)P(x,y),-2≤x≤2,則=x2+x+y2=x2+x+3(1-)=x2+x+3=(x+2)2+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),取得最大值6.
答案:C
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
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