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第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用
考點一 函數(shù)模型的實際應(yīng)用
1.(2013陜西,5分)在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為________(m).
解析:本題主要考查構(gòu)建函數(shù)模型,利用基本不等式求解應(yīng)用問題的能力.如圖,過A作AH⊥BC于H,交DE于F,易知===?AF=x?FH=40-x.則S=x(40-x)≤2,當(dāng)且僅當(dāng)40-x=x,即x=20時取等號.所以滿足題意的邊長x為20(m).
答案:20
2
2、.(2013重慶,12分)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率).
(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;
(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.
解:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想.
(1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為1002πrh=200πrh元,底面的總成本為1
3、60πr2元,所以蓄水池的總成本為(200πrh+160πr2)元.
根據(jù)題意得200πrh+160πr2=12 000π,
所以h=(300-4r2),
從而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
由h>0,且r>0可得00,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù);
當(dāng)r∈(5,5)時,V′(r)<0,故V(r)在(5,5)上為減函數(shù).
4、
由此可知,V(r)在r=5處取得最大值,此時h=8,即當(dāng)r=5,h=8時,該蓄水池的體積最大.
3.(2009浙江,4分)某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進(jìn)行分時計價.該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下:
高峰時間段用電價格表
高峰月用電量(單位:千瓦時)
高峰電價(單位:元/千瓦時)
50及以下的部分
0.568
超過50至200的部分
0.598
超過200的部分
0.668
低谷時間段用電價格表
低谷月用電量(單位:千瓦時)
低谷電價(單位:元/千瓦時)
50及以下的部分
0.288
超過50至200的部分
0.318
超過200的部分
0.
5、388
若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時,低谷時間段用電量為100千瓦時,則按這種計費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為________元(用數(shù)字作答).
解析:高峰時段電費(fèi)a=500.568+(200-50)0.598=118.1(元).
低谷時段電費(fèi)b=500.288+(100-50)0.318=30.3(元).故該家庭本月用電量為a+b=148.4(元).
4.(2011山東,12分)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計要求容器的容積為立方米,且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部
6、分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.
(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域;
(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時的r.
解:(1)設(shè)容器的容積為V,
由題意知V=πr2l+πr3,又V=,
故l==-r=(-r).
由于l≥2r,因此03,所以c-2>0,
當(dāng)r3-=0時,r=.
令 =m,
7、則m>0.
所以y′=(r-m)(r2+rm+m2).
①當(dāng)0時,
當(dāng)r=m時,y′=0;
當(dāng)r∈(0,m)時,y′<0;
當(dāng)r∈(m,2)時,y′>0,
所以r=m是函數(shù)y的極小值點,也是最小值點.
②當(dāng)m≥2即3時,建造費(fèi)用最小時r= .
考點二 函數(shù)與其他知識的交匯
1.(2013安徽,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,區(qū)間I={x|f(x)>0}.
(1)求I的長度(注:
8、區(qū)間(α,β)的長度定義為β-α);
(2)給定常數(shù)k∈(0,1),當(dāng)1-k≤a≤1+k時,求I長度的最小值.
解:本題考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等,意在考查考生恒等變形能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.
(1)因為方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有兩個實根x1=0,x2=,
故f(x)>0的解集為{x|x10,d(a)單調(diào)遞增;
當(dāng)1
9、減.
所以當(dāng)1-k≤a≤1+k時,d(a)的最小值必定在a=1-k或 a=1+k處取得.
而==<1,
故d(1-k)
10、,c=-1,n≥2時,f(x)=xn+x-1.
∵f()f(1)=(-)1<0,∴f(x)在(,1)內(nèi)存在零點.
又當(dāng)x∈(,1)時,f′(x)=nxn-1+1>0,
∴f(x)在(,1)上是單調(diào)遞增的,∴f(x)在(,1)內(nèi)存在唯一零點.
(2)法一:由題意知
即
由圖象知,b+3c在點(0,-2)處取到最小值-6,
在點(0,0)處取到最大值0,
∴b+3c的最小值為-6,最大值為0.
法二:由題意知
-1≤f(1)=1+b+c≤1,即-2≤b+c≤0,①
-1≤f(-1)=1-b+c≤1,即-2≤-b+c≤0,②
①2+②得
-6≤2(b+c)+(-b+c)
11、=b+3c≤0,
當(dāng)b=0,c=-2時,b+3c=-6;
當(dāng)b=c=0時,b+3c=0,
所以b+3c的最小值為-6,最大值為0.
法三 由題意知
解得b=,c=,
∴b+3c=2f(1)+f(-1)-3.
又∵-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,
∴-6≤b+3c≤0,
當(dāng)b=0,c=-2時,b+3c=-6;
當(dāng)b=c=0時,b+3c=0,
所以b+3c的最小值為-6,最大值為0.
(3)當(dāng)n=2時,f(x)=x2+bx+c.
對任意x1,x2∈[-1,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤4等價于f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值之差M≤4.據(jù)此分類討論
12、如下:
(ⅰ)當(dāng)||>1,即|b|>2時,M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4,與題設(shè)矛盾.
(ⅱ)當(dāng)-1≤-<0,即0