金版教程高考數(shù)學 文二輪復習講義:第一編 數(shù)學 思想方法 第一講 函數(shù)與方程思想 Word版含解析
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1、 第一講 函數(shù)與方程思想 思想方法解讀 考點 求最值或參數(shù)的范圍 典例1 20xx山東高考]設(shè)函數(shù)f(x)= 則滿足f(f(a))=2f(a)的a的取值范圍是( ) A. B.0,1] C. D.1,+∞) 解析] 由題意知,f(a)= 由f(a)<1,解得a<. 所以f(f(a))= = 故當a<時,方程f(f(a))=2f(a)化為9a-4=23a-1,即18a-8=23a. 如圖,分別作出直線y=18x-8與函數(shù)y=23x=8x的圖象,根據(jù)圖象分析可知,A點橫坐標為,故a<不符合題意. 當≤a<1時,方程f(f(a))=2f
2、(a)化為23a-1=23a-1,顯然方程恒成立. 當a≥1時,方程f(f(a))=2f(a)化為22a=22a,顯然方程恒成立. 所以a的取值范圍是. 答案] C 四類參數(shù)范圍(或最值)的求解方法 (1)求字母(式子)的值的問題往往要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建以待求字母(式子)為元的方程(組),然后由方程(組)求得. (2)求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等問題中的重要問題,解決這類問題一般有兩種途徑:其一,充分挖掘題設(shè)條件中的不等關(guān)系,構(gòu)建以待求字母為元的不等式(組)求解;其二,充分應用題設(shè)中的等量關(guān)系,將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù),然后,應用函數(shù)知識求值域.
3、 (3)當問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時,是構(gòu)建一元二次方程的明顯信息,構(gòu)造方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決. (4)當問題中出現(xiàn)多個變量時,往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個數(shù),如最后能把其中一個變量表示成關(guān)于另一個變量的表達式,那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決. 【針對訓練1】 20xx西安模擬]已知f(x)=ln x+a(1-x) (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)當f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時,求a的取值范圍. 解 (1)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=-a. 若a≤0,則f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 若a>0,則
4、當x∈時,f′(x)>0;當x∈ 時,f′(x)<0. 所以f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 綜上,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當a>0時,f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (2)由(1)知,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)無最大值;當a>0時,f(x)在x=處取得最大值,最大值為f=ln +a=-ln a+a-1. 因此f>2a-2等價于ln a+a-1<0. 令g(a)=ln a+a-1,則g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(1)=0.于是,當01時,g(a)>0. 因此,a的取值范圍是(0,1). 考點 解
5、決圖象交點或方程根等問題 典例2 已知函數(shù)f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+(x>0),其中e表示自然對數(shù)的底數(shù). (1)若g(x)=m有實根,求m的取值范圍; (2)確定t的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異實根. 解] (1)解法一:因為x>0,所以g(x)=x+≥2=2e,等號成立的條件是x=e.故g(x)的值域是2e,+∞),因而只需m≥2e,g(x)=m就有實根. 解法二:作出g(x)=x+(x>0)的圖象,如圖所示,觀察圖象可知g(x)的最小值為2e,因此要使g(x)=m有實根,則只需m≥2e. 解法三:由g(x)=m,得x2-mx+
6、e2=0,此方程有大于0的根,故 等價于 故m≥2e. (2)若g(x)-f(x)=0有兩個相異的實根,則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點. 因為f(x)=-x2+2ex+t-1=-(x-e)2+t-1+e2,所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=e,開口向下,最大值為t-1+e2. 由題意,作出g(x)=x+(x>0)及f(x)=-x2+2ex+t-1的大致圖象,如圖所示. 故當t-1+e2>2e,即t>-e2+2e+1時,g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點,即g(x)-f(x)=0有兩個相異實根. 所以t的取值范圍是(-e2+2e+1,+∞). 解
7、決圖象交點及方程根問題的方法 函數(shù)圖象的交點、函數(shù)零點、方程的根三者之間可互相轉(zhuǎn)化,解題的宗旨就是函數(shù)與方程的思想即方程的根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點、函數(shù)圖象的交點,反之函數(shù)零點、函數(shù)圖象交點個數(shù)問題也可轉(zhuǎn)化為方程根的問題. 【針對訓練2】 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,則方程f(x)=g(x)在區(qū)間-5,1]上的所有實根之和為( ) A.-5 B.-6 C.-7 D.-8 答案 C 解析 g(x)===2+,由題意知函數(shù)f(x)的周期為2,則函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間-5,1]上的圖象如圖所示: 由圖象知f(x)、
8、g(x)有三個交點,故方程f(x)=g(x),在x∈-5,1]上有三個根xA、xB、xC,且xB=-3,=-2,xA+xC=-4,∴xA+xB+xC=-7. 考點 函數(shù)與方程思想在不等式中的應用 典例3 設(shè)函數(shù)f(x)=cos2x+sinx+a-1,已知不等式1≤f(x)≤對一切x∈R恒成立,求a的取值范圍. 解] f(x)=cos2x+sinx+a-1=1-sin2x+sinx+a-1=-2+a+. 因為-1≤sinx≤1,所以當sinx=時, 函數(shù)有最大值f(x)max=a+, 當sinx=-1時,函數(shù)有最小值f(x)min=a-2. 因為1≤f(x)≤對一切x∈R恒成
9、立, 所以f(x)max≤且f(x)min≥1, 即 解得3≤a≤4, 所以a的取值范圍是3,4]. 不等式恒成立問題的處理方法 在解決不等式恒成立問題時,一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題.同時要注意在一個含多個變量的數(shù)學問題中,需要確定合適的變量和參數(shù),從而揭示函數(shù)關(guān)系,使問題更明朗化.一般地,已知存在范圍的量為變量,而待求范圍的量為參數(shù). 【針對訓練3】 設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當x<0時,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是________
10、. 答案 (-∞,-3)∪(0,3) 解析 設(shè)F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),得F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上為奇函數(shù). 又當x<0時,F(xiàn)′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 所以x<0時,F(xiàn)(x)為增函數(shù). 因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,所以x>0時,F(xiàn)(x)也是增函數(shù). 因為F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3). 所以,由圖可知F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3). 考點 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用 典例4 20
11、xx湖北高考]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式; (2)當d>1時,記cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 解] (1)由題意有, 即 解得或 故或 (2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是 Tn=1+++++…+,① Tn=+++++…+.② ①-②可得 Tn=2+++…+-=3-, 故Tn=6-. 數(shù)列問題函數(shù)(方程)化法 數(shù)列問題函數(shù)(方程)化法形式結(jié)構(gòu)與函數(shù)(方程)類似,但要注意數(shù)列問題中n的取值
12、范圍為正整數(shù),涉及的函數(shù)具有離散性特點,其一般解題步驟是: 第一步:分析數(shù)列式子的結(jié)構(gòu)特征. 第二步:根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造“特征”函數(shù)(方程),轉(zhuǎn)化問題形式. 第三步:研究函數(shù)性質(zhì).結(jié)合解決問題的需要研究函數(shù)(方程)的相關(guān)性質(zhì),主要涉及函數(shù)單調(diào)性與最值、值域問題的研究. 第四步:回歸問題.結(jié)合對函數(shù)(方程)相關(guān)性質(zhì)的研究,回歸問題. 【針對訓練4】 20xx東城模擬]已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列. (1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式an; (2)在(1)的條件下,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,設(shè)bn=++…+,若對任意的n∈N
13、*,不等式bn≤k恒成立,求實數(shù)k的最小值. 解 (1)因為a1=2,a=a2(a4+1),又因為{an}是正項等差數(shù)列,故公差d≥0, 所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d), 解得d=2或d=-1(舍去), 所以數(shù)列{an}的通項公式an=2n. (2)因為Sn=n(n+1), bn=++…+ =++…+ =-+-+…+- =-==, 令f(x)=2x+(x≥1), 則f′(x)=2-,當x≥1時,f′(x)>0恒成立, 所以f(x)在1,+∞)上是增函數(shù), 故當x=1時,f(x)min=f(1)=3, 即當n=1時,(bn)max=, 要使對任意的正整數(shù)
14、n,不等式bn≤k恒成立,則須使k≥(bn)max=, 所以實數(shù)k的最小值為. 考點 函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應用 典例5 20xx陜西高考]已知橢圓E:+=1(a>b>0)的半焦距為c,原點O到經(jīng)過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為c. (1)求橢圓E的離心率; (2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點,求橢圓E的方程. 解] (1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點O到直線的距離d==, 由d=c,得a=2b=2,解得離心率=. (2)解法一:由(1)知,橢圓E的方程為 x2
15、+4y2=4b2.① 依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點,且|AB|=. 易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,代入①得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=-, x1x2=. 由x1+x2=-4,得-=-4, 解得k=.從而x1x2=8-2b2. 于是|AB|= |x1-x2| ==. 由|AB|=,得 =,解得b2=3. 故橢圓E的方程為+=1. 解法二:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.② 依題意,點A,B關(guān)于圓心M(-2,1)對稱
16、,且|AB|=. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 x+4y=4b2, x+4y=4b2, 兩式相減并結(jié)合x1+x2=-4,y1+y2=2,得 -4(x1-x2)+8(y1-y2)=0. 易知AB與x軸不垂直,則x1≠x2, 所以AB的斜率kAB==. 因此直線AB的方程為y=(x+2)+1,代入②得 x2+4x+8-2b2=0. 所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2. 于是|AB|= |x1-x2| ==. 由|AB|=,得 =,解得b2=3. 故橢圓E的方程為+=1. 函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應用 (1)利用方程求橢圓離心率的方法 第一
17、步:設(shè)橢圓的標準方程+=1. 第二步:轉(zhuǎn)化幾何、向量、三角等關(guān)系為數(shù)量關(guān)系. 第三步:利用方程思想建立a、b、c的關(guān)系式. 構(gòu)建離心率e=或e=(a>b>0). (2)解析幾何中的最值問題 解析幾何中的最值是高考的熱點,在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn),求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中,抓住函數(shù)關(guān)系,將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù),然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決. (3)解析幾何中的范圍問題的解題步驟 第一步:聯(lián)立方程. 第二步:求解判別式Δ. 第三步:代換.利用題設(shè)條件和圓錐曲線的幾何性質(zhì),得到所求目標參數(shù)和判別式不等式中的參數(shù)的一個等
18、量關(guān)系,將其代換. 第四步:下結(jié)論.將上述等量代換式代入Δ>0或Δ≥0中,即可求出目標參數(shù)的取值范圍. 第五步:回顧反思.在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時,無論題目中有沒有涉及求參數(shù)的取值范圍,都不能忽視了判別式對某些量的制約,這是求解這類問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 【針對訓練5】 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,左、右焦點分別為F1、F2,以原點O為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切. (1)求橢圓C的標準方程; (2)設(shè)Q為橢圓C上不在x軸上的一個動點,過點F2作OQ的平行線交橢圓C于M、N兩個不同的點,記△QF2M的面積為S1,△OF2N的面積為
19、S2,令S=S1+S2,求S的最大值. 解 (1)由題意知e==, 所以e2===, 即a2=2b2,又以原點O為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓為x2+y2=b2,且與直線x-y+2=0相切,所以b==, 所以a2=4,b2=2,故橢圓C的標準方程為+=1. (2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線OQ:x=my,則直線MN:x=my+, 由得(m2+2)y2+2my-2=0, y1+y2=-,y1y2=-. 所以|MN|=|y2-y1| = = =, 因為MN∥OQ,所以△QF2M的面積等于△OF2M的面積,S=S1+S2=S△O MN, 因為點O到直
20、線MN:x=my+的距離d=, 所以S=|MN|d== . 令 =t,則m2=t2-1(t≥1),S==, 因為t+≥2=2(當且僅當t=,即t=1,也即m=0時取等號),所以當m=0時,S取得最大值. 考點 函數(shù)與方程思想在平面向量中的應用 典例6 已知e1,e2是單位向量,e1e2=.若向量b滿足be1=2,be2=,且對于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),則x0=______,y0=________,|b|=________. 解析] 問題等價于|b-(xe1+ye2)|當且僅當x=x0,y=y(tǒng)0時取到最
21、小值1, 即|b-(xe1+ye2)|2=b2+x2e+y2e-2xbe1-2ybe2+2xye1e2=|b|2+x2+y2-4x-5y+xy在x=x0,y=y(tǒng)0時取到最小值1, 又|b|2+x2+y2-4x-5y+xy=x2+(y-4)x+y2-5y+|b|2=2+(y-2)2-7+|b|2, 所以解得 答案] 1 2 2 函數(shù)與方程思想在平面向量中的應用策略 平面向量問題的函數(shù)(方程)法是把平面向量問題,通過模、數(shù)量積等轉(zhuǎn)化為關(guān)于相應參數(shù)的函數(shù)(方程)問題,從而利用相關(guān)知識結(jié)合函數(shù)或方程思想來處理有關(guān)參數(shù)值問題.其一般的解題要點如下: (1)向量代數(shù)化,利用平面向量中的模
22、、數(shù)量積等,結(jié)合向量的位置關(guān)系、數(shù)量積公式等進行代數(shù)化,得到含有參數(shù)的函數(shù)(方程). (2)代數(shù)函數(shù)(方程)化,利用函數(shù)(方程)思想,結(jié)合相應的函數(shù)(方程)的性質(zhì)來求解問題. (3)得出結(jié)論,根據(jù)條件建立相應的關(guān)系式,并得到對應的結(jié)論. 【針對訓練6】 已知e1,e2是平面兩個相互垂直的單位向量,若向量b滿足|b|=2,be1=1,be2=1,則對于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|的最小值為________. 答案 解析 |b-(xe1+ye2)|2=b2+x2e+y2e-2xbe1-2ybe2+2xye1e2=|b|2+x2+y2-2x-2y=(x-1)2+(y-1)2+2≥2, 當且僅當x=1,y=1時,|b-(xe1+ye2)|2取得最小值2,此時|b-(xe1+ye2)|取得最小值,故填.
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