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1、
一、填空題
1.已知向量m、n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-,則l與α所成的角為________.
解析:由于cos〈m,n〉=-,所以〈m,n〉=120,所以直線l與α所成的角為30.
答案:30
2.若a=(1,λ,2),b=(2,-1,1),a與b的夾角為60,則λ=________.
解析:由==cos 60=,解得λ=-17或1.
答案:-17或1
3.點(diǎn)A(n,n-1,2n),B(1,-n,n),則||的最小值是______.
解析:||2= (1-n)2+(-2n+1)2+(-n)2=6(n-)2+,∴當(dāng)n=時(shí),||的最小值為.
2、
答案:
4.如圖所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E為PB的中點(diǎn),cos〈,〉=,若以DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________.
解析:設(shè)PD=a(a>0),則A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E(1,1,),
∴=(0,0,a),=(-1,1,),
由cos〈,〉=,∴=a ,∴a=2.
∴E的坐標(biāo)為(1,1,1).
答案:(1,1,1)
5.直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90,∠BAC=30,BC=1,AA1=,M是CC1的中點(diǎn),則異面直線AB1與A1M所成的角為______
3、__.
解析:建立坐標(biāo)系如圖所示,
易得M(0,0,),A1(0,,0),
A(0,,),B1(1,0,0),
∴=(1,-,-),
=(0,-,).
∴=10+3-=0,
∴⊥.
即AB1⊥A1M,即AB1與1M所成的角為90.
答案:90
6.長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為________.
解析:建立坐標(biāo)系如圖,
則A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2),
=(-1,0,2),=(-1,2,1),
cos 〈,〉=
=.
答案:
7.
4、正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面積之比為2∶3,則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為________.
解析:設(shè)一個(gè)側(cè)面面積為S1,底面面積為S,則這個(gè)側(cè)面在底面上射影的面積為,由題設(shè)得=,設(shè)側(cè)面與底面所成二面角為θ,則cos θ===,
∴θ=60.
答案:60
8.P是二面角αABβ棱上的一點(diǎn),分別在α、β平面上引射線PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45,∠MPN=60,那么二面角αABβ的大小為________.
解析:不妨設(shè)PM=a,PN=b,如圖,作ME⊥AB于E,NF⊥AB于F,
∵∠EPM=∠FPN=45,
∴PE=a,PF=b,
∴=(-)(-)
=-
5、-+
=abcos 60-abcos 45-abcos 45+ab
=--+=0,
∴⊥,∴二面角αABβ的大小為90.
答案:90
9.正四棱錐SABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是________.
解析:如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,
則A(a,0,0),B(0,a,0),
C(-a,0,0),P(0,-,).
則=(2a,0,0),=(-a,-,),=(a,a,0).
設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1),
則cos 〈,n〉=
6、==.
∴〈,n〉=60,
∴直線BC與平面PAC所成的角為90-60=30.
答案:30
二、解答題
10.如圖,已知正三棱柱ABCA1B1C1各棱長(zhǎng)都是4,E是BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上,且不與點(diǎn)C重合.
(1)當(dāng)CF=1時(shí),求證:EF⊥A1C;
(2)設(shè)二面角CAFE的大小為θ,求tan θ的最小值.
解析:(1)證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則由已知可得A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),E(,3,0),F(xiàn)(0,4,1).
于是1=(0,-4,4),
=(-,1,1).
則1=(0,-4,4)(-,1,1)=0-4
7、+4=0,
故EF⊥A1C.
(2)設(shè)CF=λ(0<λ≤4),平面AEF的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則由(1)得F(0,4,λ).
=(,3,0),=(0,4,λ),于是由m⊥,m⊥可得即取m=(λ,-λ,4).
又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC1的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),于是由θ為銳角可得cos θ==,sin θ=,所以tan θ==.
由0<λ≤4,得≥,即tan θ≥ =.
故當(dāng)λ=4,即點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí),tan θ取得最小值.
11.如圖,矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF=90,BE∥CF,CE⊥EF,AD=,EF=2.
(1)求
8、異面直線AD與EF所成的角;
(2)當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角AEFC的大小為45?
解析:如圖,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CB,CF和CD作為x軸,y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)AB=a,BE=b,CF=c(b
9、向量,
則n=0,n=0,
結(jié)合||2+||2=||2-||2,
解得n=(1,,).
又因?yàn)锽A⊥平面BEFC,=(0,0,a),
所以|cos〈n,〉|===,
得到a=.
所以當(dāng)AB為時(shí),二面角AEFC的大小為45.
12.如圖,棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,∠ABC=60,平面AA1C1C⊥平面ABCD,∠A1AC=60.
(1)證明:BD⊥AA1;
(2)求二面角DA1AC的平面角的余弦值;
(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說明理由.
解析:連結(jié)BD交AC于O,則BD⊥AC,連結(jié)A1
10、O.
在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60,
∴A1O2=AA+AO2-2AA1AOcos 60=3,
∴AO2+A1O2=A1A2,
∴A1O⊥AO,
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,
∴A1O⊥底面ABCD,
∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A1(0,0,).
(1)證明:由于=(-2,0,0),=(0,1,),則=0(-2)+10+0=0,∴BD⊥AA1.
(2)由于OB⊥平面AA1C1C,
∴平面AA1C1C的法向量n1=(1,0,0),
設(shè)n2⊥平面AA1D,則設(shè)n2=(x,y,z),
得到取n2=(1,,-1),
∴cos 〈n1,n2〉==,
∴二面角DA1AC的平面角的余弦值是.
(3)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1,
設(shè)=λ,P(x,y,z),則(x,y-1,z)=λ(0,1,),
得P(0,1+λ,λ),=(-,1+λ,λ).
設(shè)n3⊥平面DA1C1,則
設(shè)n3=(x3,y3,z3),
得到
不妨取n3=(1,0,-1).
又∵∥平面DA1C1,
則n3=0,
即--λ=0,得λ=-1,
即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上且使C1C=CP.