《【走向高考】全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題29 坐標(biāo)系與參數(shù)方程含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【走向高考】全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題29 坐標(biāo)系與參數(shù)方程含解析(8頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、【走向高考】(全國通用)2016高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題29 坐標(biāo)系與參數(shù)方程(含解析)
一、填空題
1.(2015北京理,11)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)到直線ρ(cos θ+sin θ)=6的距離為________.
[答案] 1
[解析] 考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化;點(diǎn)到直線距離.
先把點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)(1,),再把直線的極坐標(biāo)方程ρ=6化為直角坐標(biāo)方程x+y-6=0,利用點(diǎn)到直線距離公式d==1.
2.(2014湖南理,11)在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線l與曲線C:(α為參數(shù))交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立
2、極坐標(biāo)系,則直線l的極坐標(biāo)方程是________.
[答案] ρsin(θ-)=-
[解析] 曲線C的普通方程為(x-2)2+(y-1)2=1,設(shè)直線l的方程為y=x+b,因?yàn)橄议L|AB|=2,所以直線l過圓心(2,1),所以直線l的方程為y=x-1,化為極坐標(biāo)方程為ρsinθ=ρcosθ-1,即ρsin(θ-)=-.
3.在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù),a>b>0),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,直線l 與圓O的極坐標(biāo)方程分別為ρsin(θ+)=m(m為非零常數(shù))與ρ=b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn),且與圓O
3、相切,則橢圓C的離心率為________.
[答案]
[解析] 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),直線l的普通方程為x+y-m=0,圓O的普通方程為=b,即x2+y2=b2.
若l過右焦點(diǎn)(c,0),則c-m=0且=b,∴c=b,c2=2b2,c2=2(a2-c2)
∴=,同理l過左焦點(diǎn)(-c,0)時(shí),也求得e=.
4.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4,),曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),則點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值為________.
[答案] 5-
[解析] 依題意,點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(4,4),曲線C:(
4、x-1)2+y2=2,圓心C(1,0),|CM|==5>,因此所求的距離的最小值是5-.
5.(2015湖北理,16)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),l與C相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________.
[答案] 2
[解析] 考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程,參數(shù)方程與普通方程的互化及兩點(diǎn)間的距離公式.
由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系可得直線l的直角坐標(biāo)方程為y=3x;①
由曲線C的參數(shù)方程可得其直角坐標(biāo)方程為y2-x2=4;②
聯(lián)立①②可解得直線l與曲線C的交點(diǎn)
5、坐標(biāo)A(,),
B(-,-)或A(-,-),B(,),
因此可解得|AB|=2.
故本題正確答案為2.
二、解答題
6.(文)(2015福建理,21)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸非負(fù)半軸為極軸)中,直線l的方程為ρsin =m(m∈R).
(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2,求m的值.
[解析] 考查1.參數(shù)方程和普通方程的互化;2.極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化;3.點(diǎn)到直線距離公式.
(1)將圓的參數(shù)方程通過移項(xiàng)平方消去參
6、數(shù)得(x-1)2+(y+2)2=9,利用x=ρcos θ,y=ρsin θ, 將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)利用點(diǎn)到直線距離公式求解.
(1)消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9,
由ρsin(θ-)=m,得ρsin θ-ρcos θ-m=0,
所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+m=0.
(2)依題意,圓心C到直線l的距離等于2,
即=2,
解得m=-32.
(理)(2015太原市模擬)已知平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)P(-1,-2)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為
7、ρsinθtanθ=2a(a>0),直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(1)求曲線C和直線l的普通方程;
(2)若|PM|=|MN|,求實(shí)數(shù)a的值.
[解析] (1)∵(t為參數(shù)).
∴直線l的普通方程為x-y-1=0,
∵ρsinθtanθ=2a,∴ρ2sin2θ=2aρcosθ,
由得曲線C的普通方程為y2=2ax;
(2)∵y2=2ax,∴x≥0,設(shè)直線l上點(diǎn)M,N對應(yīng)的參數(shù)分別是t1,t2(t1>0,t2>0),則|PM|=t1,|PN|=t2,
∵|PM|=|MN|,∴|PM|=|PN|,∴t2=2t1,
將代入y2=2ax得t2-2(a+2)t+4(a+2)
8、=0,
∴
又∵t2=2t1,∴a=.
7.(文)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C方程為(φ為參數(shù)).
(1)求過橢圓的右焦點(diǎn),且與直線m:(t為參數(shù))平行的直線l的普通方程.
(2)求橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積的最大值.
[分析] (1)由直線l與直線m平行可得l的斜率,將橢圓C的方程消參可得普通方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)(也可直接由參數(shù)方程求)可得l方程.
(2)用參數(shù)方程表示面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值求解.
[解析] (1)由C的參數(shù)方程可知,a=5,b=3,∴c=4,
∴右焦點(diǎn)F2(4,0),將直線m的參數(shù)方程化為普通方程:x-2y+2=0,所以k=,于是所求直線方程為x-2y-
9、4=0.
(2)由橢圓的對稱性,取橢圓在第一象限部分(令0≤φ≤),則S=4|xy|=60sinφcosφ=30sin2φ,∴當(dāng)2φ=時(shí),Smax=30,
即矩形面積的最大值為30.
(理)在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),直線l與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長.
[解析] 解法1:將l的方程化為普通方程得l:x+y=3,
∴y=-x+3,代入拋物線方程y2=4x并整理得x2-10x+9=0,∴x1=1,x2=9.
∴交點(diǎn)A(1,2),B(9,-6),
故|AB|==8.
解法2:將l的參數(shù)方程代入y2=4x中得,
(2+t)2=4(
10、1-t),
解之得t1=0,t2=-8,
∴|AB|=|t1-t2|=8.
8.(2015商丘市二模)已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處,極軸與x軸的正半軸重合,直線l的極坐標(biāo)方程為:ρsin=,曲線C的參數(shù)方程為:
(1)寫出直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值.
[解析] (1)∵ρsin=,
∴ρ=,
∴y-x=,即l:x-y+1=0.
(2)解法一:由已知可得,曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2+2cosα,2sinα),
所以,曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離
d==≤.
所以最大距離為.
解法二:曲線C為以(2,0)為圓心,2為半徑的圓.圓
11、心到直線的距離為,
所以,最大距離為+2=.
9.(文)(2015唐山市二模)在極坐標(biāo)系中,曲線C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos=,C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求a;
(2)O為極點(diǎn),A,B為C上的兩點(diǎn),且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.
[解析] (1)曲線C是以(a,0)為圓心,以a為半徑的圓;
l的直角坐標(biāo)方程為x+y-3=0.
由直線l與圓C相切可得=a,解得a=1.
(2)不妨設(shè)A的極角為θ,B的極角為θ+,
則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos
=3cosθ-sinθ=2cos,
當(dāng)θ=-時(shí),|OA|+|OB|取得最大值2.
12、
(理)(2015石家莊市一模)已知曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2.
(1)分別寫出C1的普通方程,C2的直角坐標(biāo)方程.
(2)已知M,N分別為曲線C1的上、下頂點(diǎn),點(diǎn)P為曲線C2上任意一點(diǎn),求|PM|+|PN|的最大值.
[解析] (1)曲線C1的普通方程為+=1,
曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4.
(2)法一:由曲線C2:x2+y2=4,可得其參數(shù)方程為,所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(2cosα,2sinα),由題意可知M(0,),N(0,-).
因此|PM|+|PN|=+
=+
(|PM|+|P
13、N|)2=14+2.
所以當(dāng)sinα=0時(shí),(|PM|+|PN|)2有最大值28,
因此|PM|+|PN|的最大值為2.
法二:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則x2+y2=4,
由題意可知M(0,),N(0,-).
因此|PM|+|PN|=+
=+
(|PM|+|PN|)2=14+2.
所以當(dāng)y=0時(shí),(|PM|+|PN|)2有最大值28,
因此|PM|+|PN|的最大值為2.
10.(文)(2014新課標(biāo)Ⅰ理,23)已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)).
(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;
(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30的直線,交l于點(diǎn)A,求|P
14、A|的最大值與最小值.
[解析] (1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))
直線l的普通方程為:2x+y-6=0.
(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ,3sinθ)到l的距離為
d=|4cosθ+3sinθ-6|.
則|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且tanα=.
當(dāng)sin(θ+α)=-1時(shí),|PA|取得最大值,最大值為.
當(dāng)sin(θ+α)=1時(shí),|PA|取得最小值,最小值為.
(理)(2015太原市一模)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(其中θ為參數(shù)),點(diǎn)M是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在曲線C2上,且滿足=2.
(1)求曲線C2的普通方程;
(
15、2)以原點(diǎn)O為原點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線θ=與曲線C1、C2分別交于A、B兩點(diǎn),求|AB|.
[解析] (1)設(shè)P(x,y),M(x′,y′),
∵=2,∴
∵點(diǎn)M在曲線C1上,∴
∴(x′-1)2+y′2=3,
將x′=,y′=代入得,
曲線C2的普通方程為(x-2)2+y2=12;
(2)∵曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=3,
∴曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ-2=0,
將θ=代入得ρ=2,∴A的極坐標(biāo)為,
曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ-8=0,
將θ=代入得ρ=4,∴B的極坐標(biāo)為,
∴|AB|=4-2=2.
11
16、.(文)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C1的參數(shù)方程為(a>b>0,φ為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓,已知曲線C1上的點(diǎn)M(2,)對應(yīng)的參數(shù)φ=,θ=與曲線C2交于點(diǎn)D(,)
(1)求曲線C1、C2的方程;
(2)A(ρ1,θ),Β(ρ2,θ+)是曲線C1上的兩點(diǎn),求+的值.
[解析] (1)將M(2,)及對應(yīng)的參數(shù)φ=,代入得
所以所以C1的方程為+=1.
設(shè)圓C2的半徑R,則圓C2的方程為:ρ=2Rcosθ,將點(diǎn)D(,)代入得R=1,
∴圓C2的方程為:ρ=2cosθ(或(x-1)2+y2=1).
(2)曲線C1的極坐標(biāo)方
17、程為:+=1,將A(ρ1,θ),Β(ρ2,θ+)代入得:+=1,+=1
所以+=(+)+(+)=+=
即+的值為.
(理)在直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)P(,)作傾斜角為α的直線l與曲線C:x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)M、N.
(1)寫出直線l的參數(shù)方程;
(2)求+的取值范圍.
[解析] (1)(t為參數(shù)).
(2)將(t為參數(shù))代入x2+y2=1中,消去x,y得,t2+(cosα+3sinα)t+2=0,
由Δ=(cosα+3sinα)2-8=12sin2(α+)-8>0
?sin(α+)>,
+=+=-
=
=sin(α+)∈(,].
[方法點(diǎn)撥] 1.在將參數(shù)方
18、程化為普通方程時(shí),為消去參數(shù),常用的方法是加、減消元、代入消元、平方相加等,要注意觀察參數(shù)方程特點(diǎn),選擇恰當(dāng)?shù)南ǎ?
2.在橢圓的參數(shù)方程(φ為參數(shù))中,可直接求得c=;在圓的參數(shù)方程(α為參數(shù))中可直接由參數(shù)方程得圓心(x0,y0),半徑r;在直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))中,也可以直接得到直線的斜率k=.
3.給出曲線的極坐標(biāo)方程,討論曲線的位置關(guān)系或求相交弦等,一般先化為直角坐標(biāo)方程再求解.
4.一般地給出極坐標(biāo)方程,求兩曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo),可先化為直角坐標(biāo)方程,求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo),再化為極坐標(biāo).
5.在參數(shù)方程(t為參數(shù))中,設(shè)M(x0,y0),N(x,y),則MN=t,|MN|=|t|.(其中MN表示有向線段的數(shù)量)