人教版 高中數(shù)學 選修23 導學案2.3離散型隨機變量的均值與方差

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1、2019年編人教版高中數(shù)學 23離散型隨機變量的均值與方差 2.3.1離散型隨機變量的期望 課前預習學案 一、預習目標 1.了解離散型隨機變量的期望定義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望． 2.理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，熟記若ξ～Β(n，p)，則Eξ=np”.能熟練地應用它們求相應的離散型隨機變量的期望 二、預習內(nèi)容 1.數(shù)學期望: 一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 則稱 _________________ 為ξ的數(shù)學期望，簡稱_______________． 2.

2、 數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了____________ 3. 平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令…，則有…，，所以ξ的數(shù)學期望又稱為____________ 4. 期望的一個性質(zhì):若(a、b是常數(shù))，ξ是隨機變量，則η也是隨機變量，它們的分布列為 ξ x1 x2 … xn … η … … P p1 p2 … pn … ____________ 5.若ξ～Β(n，p)，則Eξ=____________ 課內(nèi)探究學案 學習目標： 1了解離散型隨機變量的期望的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分

3、布列求出期望． ⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Eξ=np”.能熟練地應用它們求相應的離散型隨機變量的期望 學習重點：離散型隨機變量的期望的概念 學習難點：根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望 學習過程： 一、復習引入： 1.隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果_________________，那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用_________________等表示 2. 離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以_________________，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量 3．連續(xù)型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值，可以___

4、_____________，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量 4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是________________；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按________________，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果________________ 若是隨機變量，是常數(shù)，則也是隨機變量 并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型） 5. 分布列:設離散型隨機變量ξ可能取得值為x1，x2，…，x3，…， ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 為隨機變

5、量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列 6. 分布列的兩個性質(zhì)： ⑴_______________； ⑵________________． 7.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是 ________________，（k＝0,1,2,…，n，）． 于是得到隨機變量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P … … 稱這樣的隨機變量ξ服從________________

6、，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記 合作探究一：期望定義 某商場要將單價分別為18，24，36的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，，如何對混合糖果定價才合理？ 1上述問題如何解決？為什么 2如果混合糖果中每顆糖果的質(zhì)量都相等，你能解釋權(quán)數(shù)的實際含義嗎? 二．概念形成 一般地,若離散型隨機變量的概率分布為 … … … … 則稱____________為的數(shù)學期望或均值,數(shù)學期望又簡稱為____________ 合作探究二：你能用文字語言描述期望公式嗎？ E=++…++… 即：___

7、_____________________ 即學即練: 練習1：離散型隨機變量的概率分布 1 100 P 0.01 0.99 求的期望。 練習2：隨機拋擲一個骰子，求所得骰子的點數(shù)的期望。 練習3.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望 合作探究三:若(a、b是常數(shù))，ξ是隨機變量，則η也是隨機變量，你能求出 ____________嗎？ 即學即練：1、隨機變量ξ的分布列是 ξ 1 3 5 P 0.5 0.3 0.2 （1）則Eξ= ____________ （2

8、）若η=2ξ+1，則Eη=____________ 熟記若ξ～Β(n，p)，則Eξ=np 例1 一次英語單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分 學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙則在測驗中對每題都從4個選擇中隨機地選擇一個，求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望 解析：甲乙兩生答對的題目數(shù)這個隨機變量是20次實驗中“答對”這個事件發(fā)生的次數(shù)k，服從二項分布。 解： 點評：分數(shù)與答對個數(shù)之間呈一次函數(shù)關(guān)系，故應用到“E（aξ+b）=aEξ+b”，這個

9、公式。 思考:學生甲在這次測試中的成績一定會是90分嗎?他的均值為90分的含義是什么? 即學即練：在數(shù)字傳輸通道中，發(fā)生一個錯誤的概率是0.2（p），當然，每次傳輸試驗獨立。 令 X 為在每10位傳輸中（n）發(fā)生錯誤的位數(shù)，求 X的數(shù)學期望。 例2見課本例三 即學即練：統(tǒng)計資料表明，每年端午節(jié)商場內(nèi)促銷活動可獲利2萬元；商場外促銷活動如不遇下雨可獲利10萬元；如遇下雨可則損失4萬元。6月19日氣象預報端午節(jié)下雨的概率為40%，商場應選擇哪種促銷方式？ 四、課堂練習： 1. 口袋中有5只球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3球，以表示取出球的最大號碼，則（ ）

10、 A．4；　　B．5；　　C．4.5；　　D．4.75 2. 籃球運動員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求⑴他罰球1次的得分ξ的數(shù)學期望；⑵他罰球2次的得分η的數(shù)學期望； ⑶他罰球3次的得分ξ的數(shù)學期望． 歸納總結(jié) ：⑴求離散型隨機變量ξ的方差、標準差的步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ；若ξ～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計算即可． 課后練習與提高 1.若隨機變量X的分布列如下表，則EX等于：（ ） X 0 1 2 3 4 5

11、 P 2x 3x 7x 2x 3x x A．1/18 B.1/9 C.20/9 D.9/20 2.隨機變量X的分布列為 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 3.兩封信隨機投入A、B、C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)X的數(shù)學期望EX=_________. 4.在一次語文測試中，有道把我國四大文學名著《水滸傳》、《三國演義》、《西游記》、《紅樓夢》與它們的作者連線的題目，每連對一個得3分，連錯不得分，一位同學該題的X分。（1）求該同學得分不少于6分的概率；（2）求X的分布列及數(shù)學期望。 2.3.2離散型隨機變量

12、的方差 課前預習學案 一、預習目標 了解離散型隨機變量的方差、標準差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差或標準差． 2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會應用上述公式計算有關(guān)隨機變量的方差 二、預習內(nèi)容 1、 對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值，是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么, _________________ 稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量ξ的期望． 2、標準差: _________________叫做隨機變量ξ的標準差，記作__________

13、_______． 注：方差與標準差都是反映_________________它們的值越小，則_________________小，即越集中于均值。 課內(nèi)探究學案 一、學習目標 1了解離散型隨機變量的方差、標準差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差或標準差． 2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會應用上述公式計算有關(guān)隨機變量的方差 學習重難點：離散型隨機變量的方差、標準差；比較兩個隨機變量的期望與方差的大小，從而解決實際問題 二、學習過程 問題探究： 已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)x1、x

14、2的分布列如下 x1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 x2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 試比較兩名射手的射擊水平. . 合作探究一：方差的概念 顯然兩名選手的水平是不同的,這里要進一步去分析他們的成績的穩(wěn)定性.樣本方差的公式及作用是什么，你能類比這個概念得出隨機變量的方差嗎？ 對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值，是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么, _________________稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量ξ的期望． 標準差: ______

15、___________做隨機變量ξ的標準差，記作_________________ 注：方差與標準差都是反映_________________它們的值越小，則_________________小。 即學即練： 1.隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面的點數(shù)X的均值，方差和標準差。 2.若隨機變量x滿足P（x＝c）＝1，其中c為常數(shù)，求Ex和Dx. 3.剛才問題再思考：其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？，如果其他對手的射擊成績都在9

16、環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？ 熟記結(jié)論：.方差的性質(zhì) （1）；（2）； （3）若ξ～B(n，p)，則np(1-p) （4）若ξ服從兩點分布，則p(1-p) （ 即學即練：已知x~B(100,0.5),則Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____ 例2:有甲乙兩個單位都愿意聘用你,而你能獲得如下信息： 乙單位不同職位月工資X2/元 1000 1400 1800 2200 獲得相應職位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 甲單位不同職位月工資

17、X1/元 1200 1400 1600 1800 獲得相應職位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？ 解析;先求期望，看期望是否相等，在兩個單位工資的數(shù)學期望相等的情況下，再算方差，,如果認為自己能力很強,應選擇工資方差大的單位,;如果認為自己能力不強,就應選擇工資方差小的單位. 歸納總結(jié)：⑴隨機變量ξ的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的； ⑵隨機變量ξ的方差、標準差也是隨機變量ξ的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度； ⑶標準差與隨機變量本身有相

18、同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛 （4）求離散型隨機變量ξ的方差、標準差的步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ；④根據(jù)方差、標準差的定義求出、.若ξ～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計算即可． （5）對于兩個隨機變量和，在和相等或很接近時，比較和 ，可以確定哪個隨機變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實際，適合人們的需要 四．課堂練習 1.已知，則的值分別是（ ） A．；　　B．；　　C．；　　D． 2. 有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設其中次品數(shù)為ξ

19、，求Eξ，Dξ 3. 設事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過1/4 4.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量和，已知和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高） 1 2 3 p a 0.1 0.6 1 2 3 p 0.3 b 0.3 試分析甲、乙技術(shù)狀況。 課后練習與提高 1．甲、乙兩個運動員射擊命中環(huán)數(shù)X、Y的分布

20、列如下： 環(huán)數(shù)k 8 9 10 P(X=k) 0.3 0.2 0.5 P(Y=k) 0.2 0.4 0.4 其中射擊比較穩(wěn)定的運動員是（ ） A．甲 B.乙 C.一樣 D.無法比較 2.設隨機變量X~B（n，p），且EX=1.6，DX=1.28，則（ ） A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45 3.（2008 高考寧夏、海南卷）AB兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2。根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為 X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 （1）在A、B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差DY1和DY2； （2）將x（0≤x≤100）萬元投資A項目，100-x萬元投資B項目，f（x）表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和。求f（x）的最小值，并指出x為何值時，f（x）取到最小值。（注：D（aX+b）=a2DX）