人教版 高中數(shù)學(xué) 選修23 導(dǎo)學(xué)案2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差

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1、2019年編人教版高中數(shù)學(xué) 23離散型隨機(jī)變量的均值與方差 2.3.1離散型隨機(jī)變量的期望 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo) 1.了解離散型隨機(jī)變量的期望定義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望． 2.理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，熟記若ξ～Β(n，p)，則Eξ=np”.能熟練地應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的期望 二、預(yù)習(xí)內(nèi)容 1.數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 則稱 _________________ 為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱_______________． 2.

2、 數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了____________ 3. 平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令…，則有…，，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為____________ 4. 期望的一個(gè)性質(zhì):若(a、b是常數(shù))，ξ是隨機(jī)變量，則η也是隨機(jī)變量，它們的分布列為 ξ x1 x2 … xn … η … … P p1 p2 … pn … ____________ 5.若ξ～Β(n，p)，則Eξ=____________ 課內(nèi)探究學(xué)案 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1了解離散型隨機(jī)變量的期望的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分

3、布列求出期望． ⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Eξ=np”.能熟練地應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的期望 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望的概念 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望 學(xué)習(xí)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果_________________，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量 隨機(jī)變量常用_________________等表示 2. 離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以_________________，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量 3．連續(xù)型隨機(jī)變量: 對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以___

4、_____________，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量 4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是________________；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按________________，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果________________ 若是隨機(jī)變量，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量 并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型） 5. 分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取得值為x1，x2，…，x3，…， ξ取每一個(gè)值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 為隨機(jī)變

5、量ξ的概率分布，簡(jiǎn)稱ξ的分布列 6. 分布列的兩個(gè)性質(zhì)： ⑴_(tái)______________； ⑵________________． 7.離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量．如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是 ________________，（k＝0,1,2,…，n，）． 于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P … … 稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從________________

6、，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記 合作探究一：期望定義 某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為18，24，36的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，，如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？ 1上述問題如何解決？為什么 2如果混合糖果中每顆糖果的質(zhì)量都相等，你能解釋權(quán)數(shù)的實(shí)際含義嗎? 二．概念形成 一般地,若離散型隨機(jī)變量的概率分布為 … … … … 則稱____________為的數(shù)學(xué)期望或均值,數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱為____________ 合作探究二：你能用文字語言描述期望公式嗎？ E=++…++… 即：___

7、_____________________ 即學(xué)即練: 練習(xí)1：離散型隨機(jī)變量的概率分布 1 100 P 0.01 0.99 求的期望。 練習(xí)2：隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)的期望。 練習(xí)3.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望 合作探究三:若(a、b是常數(shù))，ξ是隨機(jī)變量，則η也是隨機(jī)變量，你能求出 ____________嗎？ 即學(xué)即練：1、隨機(jī)變量ξ的分布列是 ξ 1 3 5 P 0.5 0.3 0.2 （1）則Eξ= ____________ （2

8、）若η=2ξ+1，則Eη=____________ 熟記若ξ～Β(n，p)，則Eξ=np 例1 一次英語單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分 學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望 解析：甲乙兩生答對(duì)的題目數(shù)這個(gè)隨機(jī)變量是20次實(shí)驗(yàn)中“答對(duì)”這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)k，服從二項(xiàng)分布。 解： 點(diǎn)評(píng)：分?jǐn)?shù)與答對(duì)個(gè)數(shù)之間呈一次函數(shù)關(guān)系，故應(yīng)用到“E（aξ+b）=aEξ+b”，這個(gè)

9、公式。 思考:學(xué)生甲在這次測(cè)試中的成績(jī)一定會(huì)是90分嗎?他的均值為90分的含義是什么? 即學(xué)即練：在數(shù)字傳輸通道中，發(fā)生一個(gè)錯(cuò)誤的概率是0.2（p），當(dāng)然，每次傳輸試驗(yàn)獨(dú)立。 令 X 為在每10位傳輸中（n）發(fā)生錯(cuò)誤的位數(shù)，求 X的數(shù)學(xué)期望。 例2見課本例三 即學(xué)即練：統(tǒng)計(jì)資料表明，每年端午節(jié)商場(chǎng)內(nèi)促銷活動(dòng)可獲利2萬元；商場(chǎng)外促銷活動(dòng)如不遇下雨可獲利10萬元；如遇下雨可則損失4萬元。6月19日氣象預(yù)報(bào)端午節(jié)下雨的概率為40%，商場(chǎng)應(yīng)選擇哪種促銷方式？ 四、課堂練習(xí)： 1. 口袋中有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從中任取3球，以表示取出球的最大號(hào)碼，則（ ）

10、 A．4；　　B．5；　　C．4.5；　　D．4.75 2. 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，求⑴他罰球1次的得分ξ的數(shù)學(xué)期望；⑵他罰球2次的得分η的數(shù)學(xué)期望； ⑶他罰球3次的得分ξ的數(shù)學(xué)期望． 歸納總結(jié) ：⑴求離散型隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個(gè)值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ；若ξ～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可． 課后練習(xí)與提高 1.若隨機(jī)變量X的分布列如下表，則EX等于：（ ） X 0 1 2 3 4 5

11、 P 2x 3x 7x 2x 3x x A．1/18 B.1/9 C.20/9 D.9/20 2.隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 3.兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個(gè)空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望EX=_________. 4.在一次語文測(cè)試中，有道把我國(guó)四大文學(xué)名著《水滸傳》、《三國(guó)演義》、《西游記》、《紅樓夢(mèng)》與它們的作者連線的題目，每連對(duì)一個(gè)得3分，連錯(cuò)不得分，一位同學(xué)該題的X分。（1）求該同學(xué)得分不少于6分的概率；（2）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。 2.3.2離散型隨機(jī)變量

12、的方差 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo) 了解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差． 2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會(huì)應(yīng)用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差 二、預(yù)習(xí)內(nèi)容 1、 對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值，是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么, _________________ 稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的是隨機(jī)變量ξ的期望． 2、標(biāo)準(zhǔn)差: _________________叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作__________

13、_______． 注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差都是反映_________________它們的值越小，則_________________小，即越集中于均值。 課內(nèi)探究學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1了解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差． 2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會(huì)應(yīng)用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差 學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差；比較兩個(gè)隨機(jī)變量的期望與方差的大小，從而解決實(shí)際問題 二、學(xué)習(xí)過程 問題探究： 已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)x1、x

14、2的分布列如下 x1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 x2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 試比較兩名射手的射擊水平. . 合作探究一：方差的概念 顯然兩名選手的水平是不同的,這里要進(jìn)一步去分析他們的成績(jī)的穩(wěn)定性.樣本方差的公式及作用是什么，你能類比這個(gè)概念得出隨機(jī)變量的方差嗎？ 對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值，是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么, _________________稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的是隨機(jī)變量ξ的期望． 標(biāo)準(zhǔn)差: ______

15、___________做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作_________________ 注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差都是反映_________________它們的值越小，則_________________小。 即學(xué)即練： 1.隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面的點(diǎn)數(shù)X的均值，方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 2.若隨機(jī)變量x滿足P（x＝c）＝1，其中c為常數(shù)，求Ex和Dx. 3.剛才問題再思考：其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在8環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？，如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在9

16、環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？ 熟記結(jié)論：.方差的性質(zhì) （1）；（2）； （3）若ξ～B(n，p)，則np(1-p) （4）若ξ服從兩點(diǎn)分布，則p(1-p) （ 即學(xué)即練：已知x~B(100,0.5),則Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____ 例2:有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你,而你能獲得如下信息： 乙單位不同職位月工資X2/元 1000 1400 1800 2200 獲得相應(yīng)職位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 甲單位不同職位月工資

17、X1/元 1200 1400 1600 1800 獲得相應(yīng)職位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？ 解析;先求期望，看期望是否相等，在兩個(gè)單位工資的數(shù)學(xué)期望相等的情況下，再算方差，,如果認(rèn)為自己能力很強(qiáng),應(yīng)選擇工資方差大的單位,;如果認(rèn)為自己能力不強(qiáng),就應(yīng)選擇工資方差小的單位. 歸納總結(jié)：⑴隨機(jī)變量ξ的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的； ⑵隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量ξ的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度； ⑶標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相

18、同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛 （4）求離散型隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個(gè)值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ；④根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出、.若ξ～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可． （5）對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量和，在和相等或很接近時(shí)，比較和 ，可以確定哪個(gè)隨機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實(shí)際，適合人們的需要 四．課堂練習(xí) 1.已知，則的值分別是（ ） A．；　　B．；　　C．；　　D． 2. 有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為ξ

19、，求Eξ，Dξ 3. 設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過1/4 4.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和，已知和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高） 1 2 3 p a 0.1 0.6 1 2 3 p 0.3 b 0.3 試分析甲、乙技術(shù)狀況。 課后練習(xí)與提高 1．甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員射擊命中環(huán)數(shù)X、Y的分布

20、列如下： 環(huán)數(shù)k 8 9 10 P(X=k) 0.3 0.2 0.5 P(Y=k) 0.2 0.4 0.4 其中射擊比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是（ ） A．甲 B.乙 C.一樣 D.無法比較 2.設(shè)隨機(jī)變量X~B（n，p），且EX=1.6，DX=1.28，則（ ） A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45 3.（2008 高考寧夏、海南卷）AB兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2。根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為 X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 （1）在A、B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差DY1和DY2； （2）將x（0≤x≤100）萬元投資A項(xiàng)目，100-x萬元投資B項(xiàng)目，f（x）表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和。求f（x）的最小值，并指出x為何值時(shí)，f（x）取到最小值。（注：D（aX+b）=a2DX）