高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第七章】不等式、推理與證明 學(xué)案37

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1、 精品資料 學(xué)案37 合情推理與演繹推理 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異. 自主梳理 自我檢測(cè) 1.(2010山東)觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x) 等于(  ) A.f(x

2、) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 2.(2010珠海質(zhì)檢)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實(shí)數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集): ①“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“若a,b∈C,則a-b=0?a=b”; ②“若a,b,c,d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d∈Q,則a+b=c+d?a=c,b=d”; ③“若a,b∈R,則a-b>0?a>b”類比推出“若a,b∈C,則a-b>0?a>b”.其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2009江蘇)在平面上

3、,若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1∶2,則它們的面積比為1∶4,類似地,在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1∶2,則它們的體積比為_(kāi)_______. 4.(2010陜西)觀察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根據(jù)上述規(guī)律,第五個(gè)等式為_(kāi)_______________________________. 5.(2011蘇州月考)一切奇數(shù)都不能被2整除,2100+1是奇數(shù),所以2100+1不能被2整除,其演繹推理的“三段論”的形式為_(kāi)__________________________________________. 探究點(diǎn)一 歸納推理

4、 例1 在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N*,猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,這個(gè)猜想正確嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由. 變式遷移1 觀察:①sin210+cos240+sin 10cos 40=; ②sin26+cos236+sin 6cos 36=. 由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律,你能否提出一個(gè)猜想?并證明你的猜想. 探究點(diǎn)二 類比推理 例2 (2011銀川月考)在平面內(nèi),可以用面積法證明下面的結(jié)論: 從三角形內(nèi)部任意一點(diǎn),向各邊引垂線,其長(zhǎng)度分別為pa,pb,pc,且相應(yīng)各邊上的高分別為ha,hb,hc,則有

5、++=1. 請(qǐng)你運(yùn)用類比的方法將此結(jié)論推廣到四面體中并證明你的結(jié)論. 變式遷移2 在Rt△ABC中,若∠C=90,AC=b,BC=a,則△ABC的外接圓半徑r=,將此結(jié)論類比到空間有_______________________________________________. 探究點(diǎn)三 演繹推理 例3 在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D、E是垂足.求證:AB的中點(diǎn)M到D、E的距離相等. 變式遷移3 指出對(duì)結(jié)論“已知和是無(wú)理數(shù),證明+是無(wú)理數(shù)”的下述證明是

6、否為“三段論”,證明有錯(cuò)誤嗎? 證明:∵無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù),而與都是無(wú)理數(shù),∴+也是無(wú)理數(shù). 1.合情推理是指“合乎情理”的推理,數(shù)學(xué)研究中,得到一個(gè)新結(jié)論之前,合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論;證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向.合情推理的過(guò)程概括為:―→―→―→.一般來(lái)說(shuō),由合情推理所獲得的結(jié)論,僅僅是一種猜想,其可靠性還需進(jìn)一步證明. 2.歸納推理與類比推理都屬合情推理:(1)歸納推理:由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理

7、,稱為歸納推理.它是一種由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理.(2)類比推理:由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理,它是一種由特殊到特殊的推理. 3.從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,把這種推理稱為演繹推理,也就是由一般到特殊的推理,三段論是演繹推理的一般模式,包括大前提,小前提,結(jié)論. (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2011福建廈門華僑中學(xué)模擬)定義A*B,B*C,C*D,D*A的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)下圖中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下圖中的(A)、(B)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)

8、果可能是(  ) A.B*D,A*D B.B*D,A*C C.B*C,A*D D.C*D,A*D 2.(2011廈門模擬)設(shè)f(x)=,又記f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,…,則f2 010(x)等于(  ) A.- B.x C. D. 3.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則: ①“mn=nm”類比得到“ab=ba”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)c=ac+bc”; ③“(mn)t=m(nt)”類比得到“(ab)c=a(bc)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”類比

9、得到“p≠0,ap=xp?a=x”; ⑤“|mn|=|m||n|”類比得到“|ab|=|a||b|”; ⑥“=”類比得到“=”. 以上的式子中,類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2009湖北)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù),比如: 他們研究過(guò)圖(1)中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似的,稱圖(2)中的1,4,9,16,…這樣的數(shù)為正方形數(shù). 下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(  ) A.289 B.1 024 C.1 225 D.1

10、378 5.已知整數(shù)的數(shù)對(duì)如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…則第60個(gè)數(shù)對(duì)是(  ) A.(3,8) B.(4,7) C.(4,8) D.(5,7) 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的,把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體,類似的結(jié)論是________________________________________________________________________. 7.(2011廣東深圳高級(jí)中學(xué)模擬)定義一

11、種運(yùn)算“*”:對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì): 8.(2011陜西)觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 照此規(guī)律,第n個(gè)等式為_(kāi)____________________________________________________. 三、解答題(共38分) 9.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=-,且Sn++2=0(n≥2).計(jì)算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達(dá)式. 10.(12分)(2011杭州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=- (a>0

12、且a≠1), (1)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱; (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 11.(14分)如圖1,若射線OM,ON上分別存在點(diǎn)M1,M2與點(diǎn)N1,N2,則=;如圖2,若不在同一平面內(nèi)的射線OP,OQ和OR上分別存在點(diǎn)P1,P2,點(diǎn)Q1,Q2和點(diǎn)R1,R2,則類似的結(jié)論是什么?這個(gè)結(jié)論正確嗎?說(shuō)明理由. 學(xué)案37 合情推理與演繹推理 自主梳理 歸納推理 全部對(duì)象 部分 個(gè)別 類比推理 這些特征 特殊到特殊?、僖话阍?/p>

13、理?、谔厥馇闆r ③特殊情況 一般 特殊 自我檢測(cè) 1.D [由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x).] 2.C [①②正確,③錯(cuò)誤.因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù),不能比較大?。甝 3.1∶8 解析 ∵兩個(gè)正三角形是相似的三角形,∴它們的面積之比是相似比的平方.同理,兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體,體積之比為相似比的立方,所以它們的體積比為1∶8. 4.13+23+33+43+53+63=212 解析 由前三個(gè)式子可以得出如下規(guī)律:每個(gè)式子等號(hào)的左邊是從1開(kāi)始的連續(xù)正整數(shù)的立方和,且個(gè)數(shù)依次多1,等號(hào)的右邊是

14、一個(gè)正整數(shù)的平方,后一個(gè)正整數(shù)依次比前一個(gè)大3,4,…,因此,第五個(gè)等式為13+23+33+43+53+63=212. 5.一切奇數(shù)都不能被2整除 大前提 2100+1是奇數(shù) 小前提 所以2100+1不能被2整除 結(jié)論 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 歸納分為完全歸納和不完全歸納,由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的,但它由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能,對(duì)科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的,觀察、實(shí)驗(yàn),對(duì)有限的資料作歸納整理,提出帶規(guī)律性的說(shuō)法是科學(xué)研究的最基本的方法之一. 解 在{an}中,a1=1,a2==, a3===,a4==,…, 所以猜想{an}的通項(xiàng)公式為an=. 這個(gè)猜

15、想是正確的,證明如下: 因?yàn)閍1=1,an+1=, 所以==+, 即-=,所以數(shù)列是以=1為首項(xiàng), 為公差的等差數(shù)列, 所以=1+(n-1)=n+, 所以通項(xiàng)公式an=. 變式遷移1 解 猜想sin2α+cos2(α+30)+sin αcos(α+30)=. 證明如下: 左邊=sin2α+cos(α+30)[cos(α+30)+sin α] =sin2α+ =sin2α+cos2α-sin2α==右邊. 例2 解題導(dǎo)引 類比推理是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象有一部分屬性類似,推出這兩個(gè)對(duì)象的其他屬性亦類似的一種推理方法,例如我們拿分式同分?jǐn)?shù)來(lái)類比,平面幾何與立體幾何中的某些對(duì)象類比等等

16、.我們必須清楚類比并不是論證,它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)真理.類比推理應(yīng)從具體問(wèn)題出發(fā),通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比、歸納、提出猜想. 解  類比:從四面體內(nèi)部任意一點(diǎn)向各面引垂線,其長(zhǎng)度分別為pa,pb,pc,pd,且相應(yīng)各面上的高分別為ha,hb,hc,hd. 則有+++=1. 證明如下: ==, 同理有=,=,=, VP—BCD+VP—CDA+VP—BDA+VP—ABC=VA—BCD, ∴+++ ==1. 變式遷移2 在三棱錐A—BCD中,若AB、AC、AD兩兩互相垂直,且AB=a,AC=b,AD=c,則此三棱錐的外接球半徑R= 例3 解題導(dǎo)引 在演繹推理中,只有前提(

17、大前提、小前提)和推理形式都是正確的,結(jié)論才是正確的,否則所得的結(jié)論可能就是錯(cuò)誤的.推理時(shí),要清楚大前提、小前提及二者之間的邏輯關(guān)系. 證明 (1)因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形,——大前提 在△ABD中,AD⊥BC,即∠ADB=90,——小前提 所以△ADB是直角三角形.——結(jié)論 (2)因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半,——大前提 而M是Rt△ADB斜邊AB的中點(diǎn),DM是斜邊上的中線,——小前提 所以DM=AB.——結(jié)論 同理EM=AB,所以DM=EM. 變式遷移3 解 證明是“三段論”模式,證明有錯(cuò)誤.證明中大前提使用的論據(jù)是“無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)”

18、,這個(gè)論據(jù)是假的,因?yàn)閮蓚€(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù),因此原理的真實(shí)性仍無(wú)法斷定. 課后練習(xí)區(qū) 1.B [由(1)(2)(3)(4)圖得A表示|,B表示□,C表示—,D表示○,故圖(A)(B)表示B*D和A*C.] 2.A [計(jì)算f2(x)=f==-, f3(x)=f==, f4(x)==x,f5(x)=f1(x)=, 歸納得f4k+i(x)=fi(x),k∈N*,i=1,2,3,4. ∴f2 010(x)=f2(x)=-.] 3.B [只有①、②對(duì),其余錯(cuò)誤,故選B.] 4.C [設(shè)圖(1)中數(shù)列1,3,6,10,…的通項(xiàng)公式為an,則 a2-a1=2,a3-a2=3,a4

19、-a3=4,…,an-an-1=n. 故an-a1=2+3+4+…+n, ∴an=. 而圖(2)中數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn=n2,因此所給的選項(xiàng)中只有1 225滿足a49==b35=352=1 225.] 5.D [觀察可知橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為2的數(shù)對(duì)有1個(gè),和為3的數(shù)對(duì)有2個(gè),和為4的數(shù)對(duì)有3個(gè),和為5的數(shù)對(duì)有4個(gè),依次類推和為n+1的數(shù)對(duì)有n個(gè),多個(gè)數(shù)對(duì)的排序是按照橫坐標(biāo)依次增大的順序來(lái)排的,由=60?n(n+1)=120,n∈Z,n=10時(shí),=55個(gè)數(shù)對(duì),還差5個(gè)數(shù)對(duì),且這5個(gè)數(shù)對(duì)的橫、縱坐標(biāo)之和為12,它們依次是(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7), ∴

20、第60個(gè)數(shù)對(duì)是(5,7).] 6.空間正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的 解析 利用體積分割可證明. 7.n 8.n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2 解析 ∵1=12,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52,∴第n個(gè)等式為n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 9.解 當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=-.(2分) 當(dāng)n=2時(shí),=-2-S1=-, ∴S2=-.(4分) 當(dāng)n=3時(shí),=-2-S2=-, ∴S3=-.(6分) 當(dāng)n=4時(shí),=-2-S3=-, ∴S4=-.(8分) 猜想:Sn=- (n∈N*).(12分) 10.(1)證明 函數(shù)

21、f(x)的定義域?yàn)镽,任取一點(diǎn)(x,y),它關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1-x,-1-y).(2分) 由已知得y=-, 則-1-y=-1+=-,(4分) f(1-x)=-=- =-=-,∴-1-y=f(1-x). 即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(6分) (2)解 由(1)有-1-f(x)=f(1-x), 即f(x)+f(1-x)=-1.(9分) ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1, 則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. (12分) 11.解 類似的結(jié)論為:=. (4分) 這個(gè)結(jié)論是正確的,證明如下: 如圖,過(guò)R2作R2M2⊥平面P2OQ2于M2,連接OM2. 過(guò)R1在平面OR2M2作R1M1∥R2M2交OM2于M1, 則R1M1⊥平面P2OQ2. 由VO—P1Q1R1=S△P1OQ1R1M1=OP1OQ1sin∠P1OQ1R1M1 =OP1OQ1R1M1sin∠P1OQ1,(8分) 同理,VO—P2Q2R2=OP2OQ2R2M2sin∠P2OQ2. 所以=.(10分) 由平面幾何知識(shí)可得=.(12分) 所以=. 所以結(jié)論正確.(14分)

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