3、f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且恒正，則?f(x)dx>0. ( √ )
(3)若?f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方． ( )
(4)若f(x)是偶函數(shù)，則?f(x)dx＝2?f(x)dx. ( √ )
(5)若f(x)是奇函數(shù)，則?f(x)dx＝0. ( √ )
(6)曲線y＝x2與y＝x所圍成的面積是?(x2－x)dx. ( )
2． (2013湖北)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋(t的單
4、位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是 ( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
答案 C
解析 令v(t)＝0得t＝4或t＝－(舍去)，
∴汽車行駛距離s＝?(7－3t＋)dt
＝(7t－t2＋25ln(1＋t))|
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.
3． 設(shè)函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x＋1，則?f(－x)dx的值等于 ( )
A. B. C. D.
答案
5、 A
解析 由于f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝2x＋1，
所以f(x)＝x2＋x，
于是?f(－x)dx＝?(x2－x)dx＝|＝.
4． (2013湖南)若?x2dx＝9，則常數(shù)T的值為________．
答案 3
解析 ?x2dx＝x3|＝T3＝9.
∴T3＝27，∴T＝3.
5． 由y＝cos x及x軸圍成的介于0與2π之間的平面圖形的面積，利用定積分應(yīng)表達(dá)為
________________________．
答案
解析 如圖：
陰影部分的面積為
.
題型一 定積分的計(jì)算
例1 (1)設(shè)f(x)＝則?f(x)dx等于 ( )
6、
A. B. C. D．不存在
(2)若定積分?dx＝，則m等于 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
思維啟迪 (1)利用定積分的性質(zhì)和微積分基本定理計(jì)算；
(2)利用定積分的幾何意義計(jì)算．
答案 (1)C (2)A
解析 (1)如圖，?f(x)dx＝?x2dx＋?(2－x)dx
＝x3|＋|
＝＋＝.
(2)根據(jù)定積分的幾何意義知，定積分?dx的值就是函數(shù)y＝的圖象與x軸及直線x＝－2，x＝m所圍成圖形的面積，y＝是一個半徑為1的半圓，其面積等于，而?dx＝，即在區(qū)間[－2，m]上該函數(shù)圖象應(yīng)為個圓，于是
7、得m＝－1，故選A.
思維升華 (1)計(jì)算定積分要先將被積函數(shù)化簡后利用運(yùn)算性質(zhì)分解成幾個簡單函數(shù)的定積分，再利用微積分基本定理求解；
(2)對函數(shù)圖象和圓有關(guān)的定積分可以利用定積分的幾何意義求解．
(1)設(shè)f(x)＝若f(f(1))＝1，則a＝________.
(2)sin xdx＝________.
答案 (1)1 (2)0
解析 (1)由題意知f(1)＝lg 1＝0，
∴f(0)＝0＋a3－03＝1，∴a＝1.
(2)由于函數(shù)y＝sin x在區(qū)間[－，]上是一個奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，在x軸上方和下方面積相等，故該區(qū)間上定積分的值為面積的代數(shù)和，等于0，即si
8、n xdx＝0.
題型二 利用定積分求曲邊梯形的面積
例2 如圖所示，求由拋物線y＝－x2＋4x－3及其在點(diǎn)A(0，－3)和點(diǎn)
B(3,0)處的切線所圍成的圖形的面積．
思維啟迪 求出兩切線交點(diǎn)M的坐標(biāo)，將積分區(qū)間分為兩段、.
解 由題意，知拋物線y＝－x2＋4x－3在點(diǎn)A處的切線斜率是k1＝y(tǒng)′|x＝0＝4，在點(diǎn)B處的切線斜率是k2＝y(tǒng)′|x＝3＝－2.因此，拋物線過點(diǎn)A的切線方程為y＝4x－3，過點(diǎn)B的切線方程為y＝－2x＋6.
設(shè)兩切線相交于點(diǎn)M，由
消去y，得x＝，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.
在區(qū)間上，曲線y＝4x－3在曲線y＝－x2＋4x－3的上方；在區(qū)間上，曲線y＝－2x＋
9、6在曲線y＝－x2＋4x－3的上方．
因此，所求的圖形的面積是
S＝[(4x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＋[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx
＝x2dx＋ (x2－6x＋9)dx
＝＋＝.
思維升華 對于求平面圖形的面積問題，應(yīng)首先畫出平面圖形的大致圖形，然后根據(jù)圖形特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的積分變量及被積函數(shù)，并確定被積區(qū)間．
已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是折線段ABC，其中A(0,0)、B(，5)、C(1,0)．函數(shù)y＝xf(x)(0≤x≤1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為________．
答案
解析 由已知可得f(x)＝
則y＝xf(x)＝
畫出函數(shù)圖象
10、，如圖所示，所求面積S＝(10x2)dx＋(－10x2＋10x)dx＝0＋1＝＋(－＋5)－(－＋5)＝.
題型三 定積分在物理中的應(yīng)用
例3 一物體做變速直線運(yùn)動，其v－t曲線如圖所示，則該物體
在 s～6 s間的運(yùn)動路程為__________．
思維啟迪 從題圖上可以看出物體在0≤t≤1時做加速運(yùn)動，1≤t≤3時做勻速運(yùn)動，3≤t≤6時也做加速運(yùn)動，但加速度不同，也就是說0≤t≤6時，v(t)為一個分段函數(shù)，故應(yīng)分三段求積分才能求出曲邊梯形的面積．
答案 m
解析 由題圖可知，v(t)＝，
因此該物體在 s～6 s間運(yùn)動的路程為
s＝v(t)dt＝2tdt＋?2dt＋?d
11、t
＝t2|1＋2t|＋|＝ (m)．
思維升華 定積分在物理方面的應(yīng)用主要包括：①求變速直線運(yùn)動的路程；②求變力所做的功．
設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點(diǎn)M上，使M沿x軸正向從x＝1運(yùn)動到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x軸正向相同，求變力F(x)對質(zhì)點(diǎn)M所做的功．
解 變力F(x)＝x2＋1使質(zhì)點(diǎn)M沿x軸正向從x＝1運(yùn)動到x＝10所做的功為W＝?F(x)dx＝?(x2＋1)dx
＝(x3＋x)|＝342，
即變力F(x)對質(zhì)點(diǎn)M所做的功為342.
函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想在定積分中的應(yīng)用
典例：(12分)在區(qū)間[0,1]上給定曲線y＝x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的
12、
值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值．
思維啟迪 (1)題目要求是求S1與S2之和最小，所以要先構(gòu)造S＝S1＋
S2的函數(shù)，利用函數(shù)思想求解．(2)S1、S2的面積只能通過定積分
求解，所以要選準(zhǔn)積分變量．
規(guī)范解答
解 S1面積等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t所圍成的面積，
即S1＝tt2－?x2dx＝t3. [2分]
S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2,1－t，
即S2＝?x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋. [4分]
13、所以陰影部分的面積
S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)． [6分]
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝. [8分]
t＝0時，S＝；t＝時，S＝；t＝1時，S＝. [10分]
所以當(dāng)t＝時，S最小，且最小值為. [12分]
溫馨提醒 (1)本題既不是直接求曲邊梯形面積問題，也不是直接求函數(shù)的最小值問題，而是先利用定積分求出面積的和，然后利用導(dǎo)數(shù)的知識求面積和的最小值，難點(diǎn)在于把用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值的問題置于先求定積分的題境中，突出考查知識的遷移能力和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識．
(2)本題易錯點(diǎn)：一是缺乏函數(shù)的
14、意識；二是不能正確選擇被積區(qū)間.
方法與技巧
1． 求定積分的方法
(1)利用定義求定積分(定義法)，可操作性不強(qiáng)．
(2)利用微積分基本定理求定積分步驟如下：①求被積函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x)；②計(jì)算F(b)－F(a)．
(3)利用定積分的幾何意義求定積分
2． 求曲邊多邊形面積的步驟：
(1)畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖形．
(2)借助圖形確定被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上限、下限．
(3)將曲邊梯形的面積表示為若干個定積分之和．
(4)計(jì)算定積分．
失誤與防范
1．被積函數(shù)若含有絕對值號，應(yīng)先去絕對值號，再分段積分．
2．若積分
15、式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須先分清誰是被積變量．
3．定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限．
4．定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù)．
5．將要求面積的圖形進(jìn)行科學(xué)而準(zhǔn)確的劃分，可使面積的求解變得簡捷.
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題
1． (sin x－acos x)dx＝2，則實(shí)數(shù)a等于( )
A．－1 B．1 C．－ D.
答案 A
解析
＝－a＋1＝2，a＝－1.
2． 由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cos x所圍成的封閉圖形的面積為 ( )
A.
16、 B．1 C. D.
答案 D
解析 ＝sin －sin＝.
3． (2013江西)若S1＝?x2dx，S2＝?dx，S3＝?exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為 ( )
A．S1
17、位移單位：m)作用下，沿與F(x)成30方向作直線運(yùn)動，則由x＝1運(yùn)動到x＝2時F(x)做的功為 ( )
A. J B. J
C. J D．2 J
答案 C
解析 ?F(x)cos 30dx＝?(5－x2)dx
＝|＝，
∴F(x)做的功為 J.
二、填空題
6． ?(x2＋1)dx＝________.
答案 12
解析 ?(x2＋1)dx＝|＝33＋3＝12.
7． 如圖所示，函數(shù)y＝－x2＋2x＋1與y＝1相交形成一個閉合圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是________．
答案
解析 由，
得x1＝0
18、，x2＝2.
∴S＝?(－x2＋2x＋1－1)dx＝?(－x2＋2x)dx
＝|＝－＋4＝.
8． 汽車以v＝3t＋2 (單位：m/s)作變速直線運(yùn)動時，在第1 s至第2 s間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是________ m.
答案 6.5
解析 s＝?(3t＋2)dt＝|
＝4＋4－＝10－＝ (m)．
三、解答題
9． 求曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成圖形的面積．
解 由得交點(diǎn)A(1,1)；
由得交點(diǎn)B(3，－1)．
故所求面積S＝?dx＋?dx
＝|＋|
＝＋＋＝.
10．汽車以54 km/h的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等加速度－3 m/s2剎
19、車，問從開始剎車到停車，汽車走了多遠(yuǎn)？
解 由題意，得v0＝54 km/h＝15 m/s.
所以v(t)＝v0－at＝15－3t.
令v(t)＝0，得15－3t＝0.解得t＝5.
所以開始剎車5 s后，汽車停車．
所以汽車由剎車到停車所行駛的路程為
s＝?v(t)dt＝?(15－3t)dt＝|＝37.5(m)．
故汽車走了37.5 m.
B組 專項(xiàng)能力提升
(時間：25分鐘，滿分：43分)
1． 設(shè)f(x)＝(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則?f(x)dx的值為 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 根據(jù)定積分的運(yùn)算法則，由題意，可知
20、?f(x)dx＝?x2dx＋?dx＝x3|＋ln x|＝＋1＝.
2． 曲線y＝與直線y＝x，x＝2所圍成的圖形的面積為________．
答案 －ln 2
解析 S＝?xdx－?dx
＝x2|－ln x|
＝－(ln 2－ln 1)＝－ln 2.
3． 作變速直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的速度是v(t)＝(單位m/s)
(1)該質(zhì)點(diǎn)從t＝10到t＝30時所經(jīng)過的路程是________ m；
(2)該質(zhì)點(diǎn)從開始運(yùn)動到結(jié)束運(yùn)動共經(jīng)過________ m.
答案 (1)350 (2)1 600
解析 (1)s1＝?v(t)dt＝?tdt＋?20dt
＝＝350.
(2)s2＝?v(t)d
21、t＝?tdt＋?20dt＋?(100－t)dt
＝1 600.
4． 曲線C：y＝2x3－3x2－2x＋1，點(diǎn)P(，0)，求過P的切線l與C圍成的圖形的面積．
解 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，
y′＝6x2－6x－2，
則f′(x0)＝6x－6x0－2，
切線方程為y＝(6x－6x0－2)(x－)，
則y0＝(6x－6x0－2)(x0－)，
即2x－3x－2x0＋1＝(6x－6x0－2)(x0－)，
整理得x0(4x－6x0＋3)＝0，
解得x0＝0，則切線方程為y＝－2x＋1.
解方程組，
得或.
由y＝2x3－3x2－2x＋1與y＝－2x＋1的圖象可知
S＝[(－2x＋1)－(2x3－3x2－2x＋1)]dx
＝(－2x3＋3x2)dx＝.
5． 如圖所示，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值．
解 拋物線y＝x－x2與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1＝0，x2＝1，
所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積
S＝?(x－x2)dx＝＝.
又由此可得，
拋物線y＝x－x2與y＝kx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3＝0，x4＝1－k，
所以，＝?(x－x2－kx)dx＝
＝(1－k)3.
又知S＝，所以(1－k)3＝，
于是k＝1－ ＝1－.
高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案配套訓(xùn)練 3.4
