高考數(shù)學人教A版理科含答案導學案【第三章】導數(shù)及其應用 學案13
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1、 精品資料 第三章 導數(shù)及其應用 學案13 導數(shù)的概念及運算 導學目標: 1.了解導數(shù)概念的實際背景,理解函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義,理解導函數(shù)的概念.了解曲線的切線的概念.2.能根據(jù)導數(shù)定義,求函數(shù)y=C (C為常數(shù)),y=x,y=x2,y=,y=的導數(shù).熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(c,xm (m為有理數(shù)),sin x,cos x,ex,ax,ln x,logax的導數(shù)),能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù),能求簡單的復合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b))的導數(shù). 自主梳理 1.函數(shù)
2、的平均變化率 一般地,已知函數(shù)y=f(x),x0,x1是其定義域內不同的兩點,記Δx=x1-x0,Δy=y(tǒng)1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0),則當Δx≠0時,商________________________=稱作函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])的平均變化率. 2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù) (1)定義 函數(shù)y=f(x)在點x0處的瞬時變化率______________通常稱為f(x)在x=x0處的導數(shù),并記作f′(x0),即______________________________. (2)幾何意義 函數(shù)f
3、(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是過曲線y=f(x)上點(x0,f(x0))的____________. 導函數(shù)y=f′(x)的值域即為__________________. 3.函數(shù)f(x)的導函數(shù) 如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內每一點都是可導的,就說f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導,其導數(shù)也是開區(qū)間(a,b)內的函數(shù),又稱作f(x)的導函數(shù),記作____________. 4.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表 原函數(shù) 導函數(shù) f(x)=C f′(x)=______ f(x)=xα (α∈Q*) f′(x)=______ (α∈Q*) F(x)=sin
4、 x f′(x)=__________ F(x)=cos x f′(x)=____________ f(x)=ax (a>0,a≠1) f′(x)=____________(a>0,a≠1) f(x)=ex f′(x)=________ f(x)=logax(a>0,a≠1,且x>0) f′(x)=__________(a>0,a≠1,且x>0) f(x)=ln x f′(x)=__________ 5.導數(shù)運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′=__________; (2)[f(x)g(x)]′=_______
5、_______; (3)′=______________ [g(x)≠0]. 6.復合函數(shù)的求導法則:設函數(shù)u=φ(x)在點x處有導數(shù)ux′=φ′(x),函數(shù)y=f(u)在點x處的對應點u處有導數(shù)yu′=f′(u),則復合函數(shù)y=f(φ(x))在點x處有導數(shù),且y′x=y(tǒng)′u·u′x,或寫作f′x(φ(x))=f′(u)φ′(x). 自我檢測 1.在曲線y=x2+1的圖象上取一點(1,2)及附近一點(1+Δx,2+Δy),則為 ( ) A.Δx++2 B.Δx--2 C.Δx+2 D.2+Δx- 2.設y=x2·ex,則y′等于
6、 ( ) A.x2ex+2x B.2xex C.(2x+x2)ex D.(x+x2)·ex 3.(2010·全國Ⅱ)若曲線y=x-在點(a,a-)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18,則a等于 ( ) A.64 B.32 C.16 D.8 4.(2011·臨汾模擬)若函數(shù)f(x)=ex+ae-x的導函數(shù)是奇函數(shù),并且曲線y=f(x)的一條切線的斜率是,則切點的橫坐標是 ( ) A.- B.-ln 2
7、 C. D.ln 2 5.(2009·湖北)已知函數(shù)f(x)=f′()cos x+sin x,則f()=________. 探究點一 利用導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù) 例1 利用導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù): (1)f(x)=在x=1處的導數(shù); (2)f(x)=. 變式遷移1 求函數(shù)y=在x0到x0+Δx之間的平均變化率,并求出其導函數(shù). 探究點二 導數(shù)的運算 例2 求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=(1-);(2)y=; (3)y=xex;(4)y=tan x. 變式遷移2 求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=x
8、2sin x;(2)y=3xex-2x+e;(3)y=. 探究點三 求復合函數(shù)的導數(shù) 例3 (2011·莆田模擬)求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=(1+sin x)2;(2)y=; (3)y=ln;(4)y=xe1-cos x. 變式遷移3 求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=; (2)y=sin2; (3)y=x. 探究點四 導數(shù)的幾何意義 例4 已知曲線y=x3+. (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程; (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程; (3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程. 變式遷
9、移4 求曲線f(x)=x3-3x2+2x過原點的切線方程. 1.準確理解曲線的切線,需注意的兩個方面: (1)直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質特征,若直線與曲線只有一個公共點,則直線不一定是曲線的切線,同樣,若直線是曲線的切線,則直線也可能與曲線有兩個或兩個以上的公共點. (2)曲線未必在其切線的“同側”,如曲線y=x3在其過(0,0)點的切線y=0的兩側. 2.曲線的切線的求法: 若已知曲線過點P(x0,y0),求曲線過點P的切線則需分點P(x0,y0)是切點和不是切點兩種情況求解. (1)點P(x0,y0)是切點的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x
10、0). (2)當點P(x0,y0)不是切點時可分以下幾步完成: 第一步:設出切點坐標P′(x1,f(x1)); 第二步:寫出過P′(x1,f(x1))的切線方程為y-f(x1)=f′(x1)(x-x1); 第三步:將點P的坐標(x0,y0)代入切線方程求出x1; 第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得過點P(x0,y0)的切線方程. 3.求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商及其復合運算,再利用運算法則求導數(shù).在求導過程中,要仔細分析函數(shù)解析式的結構特征,緊扣法則,聯(lián)系基本初等函數(shù)求導公式,對于不具備求導法則結構形式的要適當變形
11、. (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.已知函數(shù)f(x)=2ln(3x)+8x,則 的值為 ( ) A.10 B.-10 C.-20 D.20 2.(2011·溫州調研)如圖是函數(shù)f(x)=x2+ax+b的部分圖象,則函數(shù)g(x)=ln x+f′(x)的零點所在的區(qū)間是 ( ) A. B.(1,2) C. D.(2,3) 3.若曲線y=x4的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直,則l的方程為 ( ) A.
12、4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 4.(2010·遼寧)已知點P在曲線y=上,α為曲線在點P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 5.(2011·珠海模擬)在下列四個函數(shù)中,滿足性質:“對于區(qū)間(1,2)上的任意x1,x2 (x1≠x2),|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|恒成立”的只有
13、 ( ) A.f(x)= B.f(x)=|x| C.f(x)=2x D.f(x)=x2 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.一質點沿直線運動,如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s=t3-t2+2t,那么速度為零的時刻是__________. 7.若點P是曲線f(x)=x2-ln x上任意一點,則點P到直線y=x-2的最小距離為________. 8.設點P是曲線y=-x2-3x-3上的一個動點,則以P為切點的切線中,斜率取得最小值時的切線方程是
14、__________________. 三、解答題(共38分) 9.(12分)求下列函數(shù)在x=x0處的導數(shù). (1)f(x)=+,x0=2; (2)f(x)=,x0=1. 10.(12分)(2011·保定模擬)有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上,假設其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動,求當其下端離開墻腳1.4 m時,梯子上端下滑的速度. 11.(14分)(2011·平頂山模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-aln x(a∈R). (1)若函數(shù)f(x)的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b,求a,b的值; (2)若函數(shù)f
15、(x)在(1,+∞)上為增函數(shù),求a的取值范圍. 自主梳理 1. 2.(1) (2)切線的斜率 切線斜率的取值范圍 3.y′或f′(x) 4.0 αxα-1 cos x?。璼in x axln a ex 5.(1)f′(x)±g′(x) (2)f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (3) 自我檢測 1.C 2.C 3.A 4.D 5.1 解析 ∵f′(x)=-f′()sin x+cos x, ∴f′()=-1. ∴f()=1. 課堂活動區(qū) 例1 解題導引 (1)用導數(shù)定義求函數(shù)導數(shù)必須把分式中的分母Δx這一因式約掉才可能求出極限,所
16、以目標就是分子中出現(xiàn)Δx,從而分子分母相約分. (2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”.“有理化”是處理根式問題常用的方法,有時用“分母有理化”,有時用“分子有理化”. (3)注意在某點處的導數(shù)與導數(shù)定義式的區(qū)別: ; ; (4)用導數(shù)的定義求導的步驟為: ①求函數(shù)的增量Δy;②求平均變化率;③化簡取極限. 解 (1)= = = = =, ∴ =-. (2)= = = =, ∴ =-. 變式遷移1 解 ∵Δy=- = =, ∴=. ∴ ∴y'= ==. 例2 解題導引 求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商
17、及其復合運算,再利用運算法則求導數(shù).在求導過程中,要仔細分析函數(shù)解析式的結構特征,緊扣求導法則,聯(lián)系基本函數(shù)求導公式.對于不具備求導法則結構形式的要適當恒等變形. 解 (1)∵y=(1-) =-=, ∴y′= =. (2)y′=′= =. (3)y′=x′ex+x(ex)′=ex+xex=ex(x+1). (4)y′=′= ==. 變式遷移2 解 (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. (2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xln 3·ex+3xe
18、x-2xln 2 =(ln 3+1)(3e)x-2xln 2. (3)y′= ==. 例3 解題導引 (1)求復合函數(shù)導數(shù)的思路流程為: →→ (2)由復合函數(shù)的定義可知,中間變量的選擇應是基本函數(shù)的結構,解這類問題的關鍵是正確分析函數(shù)的復合層次,一般是從最外層開始,由外向內,一層一層地分析,把復合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù),逐步確定復合過程. 解 (1)y′=[(1+sin x)2]′ =2(1+sin x)·(1+sin x)′ =2(1+sin x)·cos x =2cos x+sin 2x. (2)y′=′ (3)y′=(ln)′
19、=·()′ =·(x2+1)-·(x2+1)′ =. 變式遷移3 解 (1)設u=1-3x,y=u-4. 則yx′=y(tǒng)u′·ux′=-4u-5·(-3) =. (2)設y=u2,u=sin v,v=2x+, 則yx′=y(tǒng)u′·uv′·vx′=2u·cos v·2 =4sin·cos =2sin. (3)y′=(x)′ =x′·+x()′ =+=. 例4 解題導引 (1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異;過點P的切線中,點P不一定
20、是切點,點P也不一定在已知曲線上,而在點P處的切線,必以點P為切點. (2)求函數(shù)對應曲線在某一點處的切線的斜率,只要求函數(shù)在該點處的導數(shù)即可. (3)解決“過某點的切線”問題,一般是設出切點坐標解決. 解 (1)∵y′=x2, ∴在點P(2,4)處的切線的斜率k=y(tǒng)′|x=2=4. ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為 y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. (2)設曲線y=x3+與過點P(2,4)的切線相切于點A,則切線的斜率k=y(tǒng)′|x=x0=x. ∴切線方程為y-=x(x-x0), 即y=xx-x+. ∵點P(2,4)在切線上,∴4=2x-x+, 即x-3
21、x+4=0,∴x+x-4x+4=0, ∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0, 解得x0=-1或x0=2, 故所求切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0. (3)設切點為(x0,y0),則 切線的斜率為k=x=1,解得x0=±1, 故切點為,(-1,1). 故所求切線方程為y-=x-1和y-1=x+1, 即3x-3y+2=0和x-y+2=0. 變式遷移4 解 f′(x)=3x2-6x+2.設切線的斜率為k. (1)當切點是原點時k=f′(0)=2,所以所求曲線的切線方程為y=2x. (2)當切點不是原點時,設切
22、點是(x0,y0),則有y0=x-3x+2x0,k=f′(x0)=3x-6x0+2,① 又k==x-3x0+2,② 由①②得x0=,k=-. ∴所求曲線的切線方程為y=-x. 綜上,曲線f(x)=x3-3x2+2x過原點的切線方程為 y=2x或y=-x. 課后練習區(qū) 1.C 2.C 3.A 4.D 5.A 6.1秒或2秒末 7. 8.12x+3y+8=0 9.解 (1)∵f′(x)=′= =,∴f′(2)=0.………………………………………………………………(6分) (2)∵f′(x)=(x-)′-x′+(ln x)′ =-x--1+,∴f′(1)=-.………………
23、……………………………………(12分) 10.解 設經(jīng)時間t秒梯子上端下滑s米, 則s=5-, 當下端移開1.4 m時,……………………………………………………………………(3分) t0==,……………………………………………………………………………(5分) 又s′=-(25-9t2)-·(-9·2t) =9t·,…………………………………………………………………………(10分) 所以s′(t0)=9×· =0.875 (m/s). 故所求的梯子上端下滑的速度為0.875 m/s.……………………………………………(12分) 11.解 (1)因為f′(x)=x-(x>0),……………………………………………………(2分) 又f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b, 所以……………………………………………………………(5分) 解得a=2,b=-2ln 2.……………………………………………………………………(7分) (2)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù), 則f′(x)=x-≥0在(1,+∞)上恒成立,……………………………………………(10分) 即a≤x2在(1,+∞)上恒成立. 所以有a≤1.……………………………………………………………………………(14分)
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