高考數(shù)學(xué)人教A版理科配套題庫【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4講 定積分的概念與微積分基本定理

5、dx＝0.18(J)． 答案 0.18 J 8．曲線y＝與直線y＝x，x＝2所圍成的圖形的面積為____________． 答案　－ln 2 9．已知f(x)＝若f(x)dx＝(k<2)．則k＝________. 解析　f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx＝，所以得到k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1. 答案　0或－1 10．設(shè)f(x)＝xn＋ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝2x＋1且f(－x)dx＝m，則12展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為________． 解析　因?yàn)閒(x)＝xn＋ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝＝

6、m所以12展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為12＝1. 答案　1 三、解答題 11．已知f(x)是一次函數(shù)，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值． 解　∵f(x)是一次函數(shù)，∴可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)． ∴f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝a＋b. ∴a＋b＝5.① 又xf(x)dx＝x(ax＋b)dx ＝＝a＋b. ∴a＋b＝.② 解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3， ∴dx＝dx＝dx ＝(4x＋3ln x)＝4＋3ln 2. 12．如圖所示，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值． 解　拋物線y＝x－x2與

7、x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1＝0，x2＝1， 所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積 S＝(x－x2)dx＝＝. 又拋物線y＝x－x2與y＝kx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x3＝0，x4＝1－k，所以， ＝∫(x－x2－kx)dx＝ ＝(1－k)3. 又知S＝，所以(1－k)3＝， 于是k＝1－ ＝1－. 13．在區(qū)間[0,1]上給定曲線y＝x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值． 解　面積S1等于邊長(zhǎng)為t與t2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t所圍成的面積， 即S1＝tt2－x2dx＝t3. S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t

8、，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長(zhǎng)分別為t2,1－t， 即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋. 所以陰影部分面積S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)． 令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0時(shí)，得t＝0或t＝. t＝0時(shí)，S＝；t＝時(shí)，S＝；t＝1時(shí)，S＝. 所以當(dāng)t＝時(shí)，S最小，且最小值為. 14. 已知二次函數(shù)f(x)＝3x2－3x，直線l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t為常數(shù)，且0

9、解析式； (2)定義函數(shù)h(x)＝S(x)，x∈R.若過點(diǎn)A(1，m)(m≠4)可作曲線y＝h(x)(x∈R)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解析 (1)由得x2－(t＋1)x＝0， 所以x1＝0，x2＝t＋1. 所以直線l2與f(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0，t＋1. 因?yàn)?

10、y＝h(x)上． 過點(diǎn)A作曲線y＝h(x)的切線，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)， 則3(x0＋1)2－6＝， 化簡(jiǎn)整理得2x－6x0＋m＝0，其有三個(gè)不等實(shí)根． 設(shè)g(x0)＝2x－6x0＋m，則g′(x0)＝6x－6. 由g′(x0)>0，得x0>1或x0<－1； 由g′(x0)<0，得－1