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1、 精品資料
第3講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
一、選擇題
1.+1與-1兩數(shù)的等比中項(xiàng)是( )
A.1 B.-1
C.1 D.
解析 設(shè)等比中項(xiàng)為x,
則x2=(+1)(-1)=1,即x=1.
答案 C
2.設(shè){an}是任意等比數(shù)列,它的前n項(xiàng)和,前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為X,Y,Z,則下列等式中恒成立的是( ).
A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X)
C.Y2=XY
2、 D.Y(Y-X)=X(Z-X)
解析 (特例法)取等比數(shù)列1,2,4,令n=1得X=1,Y=3,Z=7代入驗(yàn)算,選D.
答案 D
3.已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,則數(shù)列{an}的公比q=( ).
A.2 B. C.2或 D.3
解析 ∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2anq2=5anq,
化簡(jiǎn)得,2q2-5q+2=0,由題意知,q>1.∴q=2.
答案 A
4.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,Sn是其前n項(xiàng)和.若a1=1,a2a6=8,則S8=
3、 ( ).
A.8 B.15(+1)
C.15(-1) D.15(1-)
解析 ∵a2a6=a=8,∴aq6=8,∴q=,∴S8==15(+1).
答案 B
5.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=t5n-2-,則實(shí)數(shù)t的值為( ).
A.4 B.5 C. D.
解析 ∵a1=S1=t-,a2=S2-S1=t,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比數(shù)列知2=4t,顯然t≠0,所以t=5.
答案 B
6.在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中,若a3a4a5=3π,則sin(log3a1+
4、log3a2+…+log3a7)的值為 ( ).
A. B. C.1 D.-
解析 因?yàn)閍3a4a5=3π=a,所以a4=3.
log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2…a7)=log3a=7log33=,所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=.
答案 B
二、填空題
7.設(shè)1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比為q的等比數(shù)列,a2,a4,a6成公差為1的等差數(shù)列,則q的最小值是________.
解析 設(shè)a2=t,則1≤t≤q≤t+1≤q2≤t+2≤q3,由于t≥1,所以q≥max{t,,
5、}故q的最小值是.
答案
8.在等比數(shù)列{an}中,若公比q=4,且前3項(xiàng)之和等于21,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an=________.
解析 由題意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=4n-1.
答案 4n-1
9.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù),且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y∈R,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是________.
解析 由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2=2,a3=f(3)=f(2)f(1)=[f(1)]3=3,…,a
6、n=f(n)=[f(1)]n=n,
∴Sn=+2+3+…+n
==1-n,
∵n∈N*,∴≤Sn<1.
答案
10.等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,給出下列四個(gè)命題:①數(shù)列為等比數(shù)列;②若a2+a12=2,則S13=13;③Sn=nan-d;④若d>0,則Sn一定有最大值.
其中真命題的序號(hào)是________(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).
解析 對(duì)于①,注意到=an+1-an=d是一個(gè)非零常數(shù),因此數(shù)列是等比數(shù)列,①正確.對(duì)于②,S13===13,因此②正確.對(duì)于③,注意到Sn=na1+d=n[an-(n-1)d]+d=nan-d,因此③正確.對(duì)于④,Sn=
7、na1+d,d>0時(shí),Sn不存在最大值,因此④不正確.綜上所述,其中正確命題的序號(hào)是①②③.
答案?、佗冖?
三、解答題
11.已知等比數(shù)列{an}中,a1=,公比q=.
(1)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,證明:Sn=;
(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
解 (1)證明 因?yàn)閍n=n-1=,Sn==,所以Sn=.
(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.所以{bn}的通項(xiàng)公式為bn=-.
12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,在數(shù)列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2
8、),且an+Sn=n.
(1)設(shè)cn=an-1,求證:{cn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
(1)證明 ∵an+Sn=n, ①
∴an+1+Sn+1=n+1, ②
②-①得an+1-an+an+1=1,
∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,
∴=.
∵首項(xiàng)c1=a1-1,又a1+a1=1.
∴a1=,∴c1=-,公比q=.
∴{cn}是以-為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.
(2)解 由(1)可知cn=n-1=-n,
∴an=cn+1=1-n.
∴當(dāng)n≥2時(shí),bn=an-an-1=1-n-
9、
=n-1-n=n.
又b1=a1=代入上式也符合,∴bn=n.
13.已知兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn},滿(mǎn)足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{an}唯一,求a的值.
解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,由b1,b2,b3成等比數(shù)列得(2+q)2=2(3+q2).
即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.
(2)設(shè)數(shù)列{an}的公
10、比為q,則由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*),
由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根.
由數(shù)列{an}唯一,知方程(*)必有一根為0,
代入(*)得a=.
14.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,a1=t,點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=3x+1上,n∈N*.
(1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí),數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,求Tn.
解 (1)∵點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=3x+1上,
∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且n∈N*).
∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an(n>1,n∈N*),a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,
∴當(dāng)t=1時(shí),a2=4a1,數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2)在(1)的結(jié)論下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n,
∴Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)
=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)
=+.