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1、 精品資料
第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù)
第1講 函數(shù)及其表示
一、填空題
1.設f(2x-1)=2x-1,則f(x)的定義域是________.
解析 ∵x∈R,∴2x>0,∴2x-1>-1,∴f(x)的定義域是(-1,+∞).
答案 (-1,+∞)
2.設集合A={x|-3≤2x-1≤3},集合B為函數(shù)y=lg(x-1)的定義域,
則A∩B=________.
解析 利用集合的運算求解.
由題意知:B={x|x-1>0}={x|x>1},
又∵A={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1
2、案 {x|1
3、4,所以B=[0,4],所以A∩B=[0,3].
答案 [0,3]
6.設函數(shù)f(x)=則f(f(-4))=________.
解析 “分段”求值.f(f(-4))=f=f(16)=4.
答案 4
7.函數(shù)y=的定義域為________.
解析 由題意可知1-lg(x+2)≥0,整理得lg(x+2)≤1,∴解得-2
4、義運算“?”:a?b=設函數(shù)f(x)=(x2-2)?(x-1),x∈R.若函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則實數(shù)c的取值范圍是________.
解析
當(x2-2)-(x-1)≤1時,-1≤x≤2,所以f(x)=f(x)的圖象如圖所示.
y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個公共點,即方程f(x)=c恰有兩個解,由圖象可知當c∈(-2,-1]∪(1,2]時滿足條件.
答案 (-2,-1]∪(1,2]
10.若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同但定義域不同,則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為y=2x2+1,值域為{3,19}的“孿生函數(shù)”共有_______
5、_個.
解析 若y=3,則由2x2+1=3,得x=1;
若y=19,則由2x2+1=19,得x=3.
所以函數(shù)f(x)定義域可以是{1,-3},{1,3},{-1,3},{-1,-3},{-1,1,3},{-1,1,-3},{-3,1,3},{-3,-1,3},{-1,-3,1,3},共有9個孿生函數(shù).
答案 9
二、解答題
11.設函數(shù)f(x)=,若f(-2)=f(0),f(-1)=-3,求關(guān)于x的方程f(x)=x的解.
解 當x≤0時,f(x)=x2+bx+c,因為f(-2)=f(0),f(-1)=-3,
∴,
解得,
∴f(x)=
當x≤0時,由f(x)=x得,x
6、2+2x-2=x,得x=-2或x=1.由x=1>0,所以舍去.
當x>0時,由f(x)=x得x=2,
所以方程f(x)=x的解為-2、2.
12.已知f(x)=解不等式f(x)>-1.
解 當x>0時,ln>-1,即ln x<1,故0-1,即x<-1,故不等式的解集是
(-∞,-1)∪(0,e).
13.據(jù)氣象中心觀察和預測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示,過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).
(1
7、)當t=4時,求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關(guān)系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.
解 (1)由圖象可知;當t=4時,v=34=12,
所以s=412=24.
(2)當0≤t≤10時,s=t3t=t2;
當10<t≤20時,s=1030+30(t-10)=30t-150;
當20<t≤35時,s=1030+1030+(t-20)30-(t-20)2(t-20)=-t2+70t-550.
綜上可知s=
(3)當t∈[0,10]時,sm
8、ax=102=150<650.
當t∈(10,20]時,smax=3020-150=450<650.
當t∈(20,35]時,令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40,20<t≤35,故t=30,
所以沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城.
8.已知函數(shù)f(x)=-,常數(shù)a>0.
(1)設mn>0,證明:函數(shù)f(x)在[m,n]上單調(diào)遞增;
(2)設0<m<n且f(x)的定義域和值域都是[m,n],求常數(shù)a的取值范圍.
(1)證明 任取x1,x2∈[m,n],且x1<x2,則
f(x1)-f(x2)=.
因為x1<x2,x1,x2∈[m,n],所以x1x2>0,
即f(x1)<f(x2),故f(x)在[m,n]上單調(diào)遞增.
(2)解 因為f(x)在[m,n]上單調(diào)遞增,
f(x)的定義域、值域都是[m,n]?f(m)=m,f(n)=n,
即m,n是方程-=x的兩個不等的正根
?a2x2-(2a2+a)x+1=0有兩個不等的正根.
所以Δ=(2a2+a)2-4a2>0,>0?a>.
即常數(shù)a的取值范圍是.