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1、 精品資料
第3講 直線、平面平行的判定及性質(zhì)
一、填空題
1.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是________.
解析 因?yàn)锳B∥CD,AB?平面α,CD?平面α,所以CD∥平面α,所以CD與平面α內(nèi)的直線可能平行,也可能異面.
答案 平行或異面
2.已知兩條直線a、b與兩個(gè)平面α、β,b⊥α,則下列命題中正確的是________.
①若a∥α,則a⊥b;②若a⊥b,則a∥α;
③若b⊥β,則α∥β;④若α⊥β,則b∥β.
解析 對于①:a∥α,在α
2、內(nèi)存在a′∥a,又b⊥α,∴b⊥a′,∴b⊥a正確;對于②:a還可以在α內(nèi);對于③:b⊥β,b⊥α,∴α∥β,正確;對于④:b?β或b∥β,故錯誤.
答案 ①③
3.已知直線a不平行于平面α,給出下列四個(gè)結(jié)論:
①α內(nèi)的所有直線都與a異面;
②α內(nèi)不存在與a平行的直線;
③α內(nèi)的直線都與a相交;
④直線a與平面α有公共點(diǎn).
以上正確命題的序號________.
解析 因?yàn)橹本€a不平行于平面α,則直線a與平面α相交或直線a在平面α內(nèi),所以選項(xiàng)①、②、③均不正確.
答案?、?
4.對于平面M與平面N,有下列條件:①M(fèi)、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③M內(nèi)不共線的三點(diǎn)
3、到N的距離相等;④l為一條直線,且l∥M,l∥N;⑤l,m是異面直線,且l∥M,m∥M;l∥N,m∥N,則可判定平面M與平面N平行的條件是________(填正確結(jié)論的序號).
解析 由面面平行的判定定理及性質(zhì)定理知,只有②、⑤能判定M∥N.
答案 ②⑤
5.過三棱柱ABC-A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線,其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條.
解析 過三棱柱ABC-A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線,記AC,BC,A1C1,B1C1的中點(diǎn)分別為E,F(xiàn),E1,F(xiàn)1,則直線EF,E1F1,EE1,F(xiàn)F1,E1F,EF1均與平面ABB1A1平行,故符合題意的直
4、線共6條.
答案 6
6.如圖邊長為a的等邊三角形ABC的中線
AF與中位線DE交于點(diǎn)G,已知△A′DE是△ADE繞
DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形,則下列命題中正確的是________.
①動點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上;
②BC∥平面A′DE;
③三棱錐A′-FED的體積有最大值.
解析 ①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC,
∴點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上.[來源:]
②BC∥DE,∴BC∥平面A′DE.
③當(dāng)平面A′DE⊥平面ABC時(shí),三棱錐A′-FED的體積達(dá)到最大.
答案 ①②③
7.若m、n為兩條不重合的直線,α、β為兩個(gè)不重合的平面
5、,則下列命題中真命題的序號是________.
①若m、n都平行于平面α,則m、n一定不是相交直線;
②若m、n都垂直于平面α,則m、n一定是平行直線;
③已知α、β互相平行,m、n互相平行,若m∥α,則n∥β;
④若m、n在平面α內(nèi)的射影互相平行,則m、n互相平行.
解析?、贋榧倜},②為真命題,在③中,n可以平行于β,也可以在β內(nèi),故是假命題,在④中,m、n也可能異面,故為假命題.
答案?、?
8.對于平面M與平面N,有下列條件:①M(fèi)、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③M內(nèi)不共線的三點(diǎn)到N的距離相等;④l,m為兩條平行直線,且l∥M,m∥N;⑤l,m是異面直線,且l∥
6、M,m∥M;l∥N,m∥N,則可判定平面M與平面N平行的條件是________(填正確結(jié)論的序號).
解析 由面面平行的判定定理及性質(zhì)定理知,只有②⑤能判定M∥N.
答案?、冖?
9.在下面四個(gè)正方體圖形中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB∥平面MNP的圖形序號是________.
解析 由線面平行的判定定理知圖①②可得出AB∥平面MNP.
答案 ①②
10. 如圖,兩個(gè)正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,設(shè)M,N分別是BD和AE的中點(diǎn),那么:①AD⊥MN;②MN∥平面CDE;③MN∥CE;④MN,CE異面,其中正確結(jié)論的序號是_____
7、___.
答案?、佗冖?
二、解答題
11. 如圖,在六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,A1B=A1D,AB=AD.求證:
(1)AA1⊥BD;
(2)BB1∥DD1.
證明 (1)取BD的中點(diǎn)M,連結(jié)AM,A1M.因?yàn)锳1D=A1B,AD=AB,所以BD⊥AM,BD⊥A1M.又AM∩A1M=M,AM,A1M?平面A1AM,
所以BD⊥平面A1AM.
因?yàn)锳A1?平面A1AM,所以AA1⊥BD.
(2)因?yàn)锳A1∥CC1,AA1?平面D1DCC1,CC1?平面D1DCC1,所以AA1∥平面D1DCC1.
又AA1?平面A1ADD1,平面A1ADD1∩平面D1
8、DCC1=DD1,所以AA1∥DD1.
同理可得AA1∥BB1,所以BB1∥DD1.
12.如圖,已知平行四邊形ABCD中,BC=6,
正方形ADEF所在平面與平面
ABCD垂直,G,H分別是DF,BE的中點(diǎn).
(1)求證:GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,DB=4,求四棱錐F-ABCD的體積.
解 (1)證明:方法一:∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC.
又EF=AD=BC,
∴四邊形EFBC是平行四邊形,
∴H為FC的中點(diǎn).
又∵G是FD的中點(diǎn),∴HG∥CD.
∵HG?平面CDE,CD?平面CDE,
∴GH∥平面CDE.
方法二:連結(jié)EA,∵A
9、DEF是正方形,∴G是AE的中點(diǎn).
∴在△EAB中,GH∥AB.
又∵AB∥CD,
∴GH∥CD.
∵HG?平面CDE,CD?平面CDE,
∴GH∥平面CDE.
(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交線為AD,
且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.
∵AD=BC=6,∴FA=AD=6.
又∵CD=2,DB=4,CD2+DB2=BC2,
∴BD⊥CD.
∵S?ABCD=CD·BD=8,
∴VF-ABCD=S?ABCD·FA
=×8×6=16.
13. 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠ACB=90°,BC
10、=CC1,E,F(xiàn)分別為AB,AA1的中點(diǎn).
(1)求證:直線EF∥平面BC1A1;
(2)求證:EF⊥B1C.
證明 (1)由題知,EF是△AA1B的中位線,所以EF∥A1B且EF=A1B.由于EF?平面BC1A1,A1B?平面BC1A1,所以EF∥平面BC1A1.
(2)由題知,四邊形BCC1B1是正方形,所以B1C⊥BC1.
又∠A1C1B1=∠ACB=90°,所以A1C1⊥C1B1.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面A1C1B1,A1C1?平面A1C1B1,從而A1C1⊥CC1.
又CC1∩C1B1=C1,CC1,C1B1?平面BCC1B1,所以A1
11、C1⊥平面BCC1B1.又B1C?平面BCC1B1,所以A1C1⊥B1C.
因?yàn)锳1C1∩BC1=C1,A1C1,BC1?平面BC1A1,所以B1C⊥平面BC1A1.又A1B?平面BC1A1,所以B1C⊥A1B.
又由于EF∥A1B,所以EF⊥B1C.
14. 如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點(diǎn)O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.
(1)證明直線BC∥EF;
(2)求棱錐F-OBED的體積.
(1)證明 如圖,設(shè)G是線段DA與線段EB延長線的交點(diǎn),
∵△OAB與△ODE都是正三角形,且OA=1,OD=
12、2,
∴OB綉DE,OG=OD=2,同理,設(shè)G′是線段DA與線段FC延長線的交點(diǎn),有OG′=OD=2.
又G和G′都在線段DA的延長線上,∴G與G′重合.
在△GED和△GFD中,由OB綉DE和OC綉DF,
可知B,C分別是GE和GF的中點(diǎn),
∴BC是△GEF的中位線,故BC∥EF.
(2)解 由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知S△EOB=,而△OED是邊長為2的正三角形,故S△OED=.
∴S四邊形OBED=S△EOB+S△OED=.
如圖,過點(diǎn)F作FQ⊥AD,交AD于點(diǎn)Q,由平面ABED⊥平面ACFD知,F(xiàn)Q就是四棱錐F-OBED的高,且FQ=,
∴VF-OBED=FQ·S四邊形OBED=.