高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第二章 第9講　函數(shù)模型及其應(yīng)用

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1、 精品資料 第9講　函數(shù)模型及其應(yīng)用 一、填空題 1．某商場(chǎng)在節(jié)假日對(duì)顧客購物實(shí)行一定的優(yōu)惠，商場(chǎng)規(guī)定： ①如一次購物不超過200元，不給予折扣； ②如一次購物超過200元而不超過500元，按標(biāo)準(zhǔn)價(jià)給予九折優(yōu)惠； ③如一次購物超過500元，其中500元的部分給予九折優(yōu)惠，超過500元的剩余部分給予八五折優(yōu)惠． 某人兩次去購物，分別付款176元和432元．如果他只去一次購買同樣的商品，則他應(yīng)該付款為________元． 解析 設(shè)購物應(yīng)付款x元，實(shí)際付款y元，則由題意知： y＝，那么該人兩次實(shí)際購物應(yīng)付款分別為x1＝176元

2、，x2＝4320.9＝480元，則x1＋x2＝656元，如果他只去一次，則應(yīng)該付款y＝0.85656＋25＝582.6元． 答案 582.6 2．從盛滿20升純消毒液的容器中倒出1升，然后用水加滿，再倒出1升，再用水加滿．這樣繼續(xù)下去，則所倒次數(shù)x和殘留消毒液y之間的函數(shù)解析式為________． 解析　所倒次數(shù)1次，則y＝19；所倒次數(shù)2次，則y＝19，……，所倒次數(shù)x次，則y＝19x－1＝20x. 答案　y＝20x 3．為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下： 明文密文密文明文 已知加密為y＝ax－2(x為明文，y為密文)，如果明文“3”通過

3、加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文為________． 解析　依題意y＝ax－2中，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密為y＝2x－2，因此，當(dāng)y＝14時(shí)，由14＝2x－2，解得x＝4. 答案　4 4．某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式為________． 解析　已知本金為a元，利率為r，則 1期后本利和為y＝a＋ar＝a(1＋r)， 2期后本利和為y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2， 3期

4、后本利和為y＝a(1＋r)3， …… x期后本利和為y＝a(1＋r)x，x∈N*. 答案　y＝a(1＋r)x，x∈N* 5. 某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖)，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長(zhǎng)x，y應(yīng)分別為________． 解析　由三角形相似，得＝，得x＝(24－y)，所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，所以當(dāng)y＝12時(shí)，Smax＝180，此時(shí)x＝15. 答案　15,12 6．將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水符合指 數(shù)衰減曲線y＝aent.若5分鐘后甲桶和乙桶

5、的水量相等，又過了m分鐘后甲桶中的水只有升，則m的值為________． 解析 令a＝aent，即＝ent，因?yàn)椋絜5n，故＝e15n，比較知t＝15，m＝15－5＝10. 答案 10 7．小王每月除去所有日常開支，大約結(jié)余a元．小王決定采用零存整取的方式把余錢積蓄起來，每月初存入銀行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假設(shè)一年期零存整取的月利率為r，每期存款按單利計(jì)息．那么，小王的存款到期利息為________元． 解析 依題意得，小王存款到期利息為12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝ar＝78ar元． 答案 78ar 8．一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品

6、每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當(dāng)x≤20時(shí)，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當(dāng)x>20時(shí)，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為________，該工廠的年產(chǎn)量為________件時(shí)，所得年利潤(rùn)最大．(年利潤(rùn)＝年銷售總收入一年總投資)． 解析 本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．當(dāng)x≤20時(shí)，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當(dāng)x>20時(shí)，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*)． 當(dāng)0

7、100＝－(x－16)2＋156，x＝16時(shí)，ymax＝156.而當(dāng)x>20時(shí)，160－x<140，故x＝16時(shí)取得最大年利潤(rùn)． 答案 y＝(x∈N*)；16 9．某商人購貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%.他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲得售價(jià)25%的利潤(rùn)，則此商人經(jīng)營(yíng)這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式為________． 解析　設(shè)新價(jià)為b，依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)25%，化簡(jiǎn)得b＝a，所以y＝b20%x＝a20%x，即y＝x(x∈N*)． 答案　y＝x(x∈N*) 10.某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人

8、按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線． ①則第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)＝________. ②據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療有效．則服藥一次后治療有效的時(shí)間是________小時(shí)． 解析?、僭O(shè)y＝當(dāng)t＝1時(shí)，由y＝4得k＝4， 由1－a＝4得a＝3.則y＝ ②由y≥0.25得或 解得≤t≤5， 因此服藥一次后治療有效的時(shí)間是5－＝小時(shí)． 答案　①y＝?、? 二、解答題 11．即將開工的上海與周邊城市的城際列車鐵路線將大大緩解交通的壓力，加速城市之間的流通．根據(jù)測(cè)

9、算，如果一列火車每次拖4節(jié)車廂，每天能來回16次；如果每次拖7節(jié)車廂，則每天能來回10次．每天來回次數(shù)是每次拖掛車廂個(gè)數(shù)的一次函數(shù)，每節(jié)車廂一次能載客110人，試問每次應(yīng)拖掛多少節(jié)車廂才能使每天營(yíng)運(yùn)人數(shù)最多？并求出每天最多的營(yíng)運(yùn)人數(shù)．(注：營(yíng)運(yùn)人數(shù)指火車運(yùn)送的人數(shù)) 解　設(shè)這列火車每天來回次數(shù)為t次，每次拖掛車廂n節(jié)， 則設(shè)t＝kn＋b.由解得 所以t＝－2n＋24. 設(shè)每次拖掛n節(jié)車廂每天營(yíng)運(yùn)人數(shù)為y人， 則y＝tn1102＝2(－220n2＋2 640n)． 當(dāng)n＝＝6時(shí)，總?cè)藬?shù)最多為15 840人．故每次應(yīng)拖掛6節(jié)車廂才能使每天的營(yíng)運(yùn)人數(shù)最多為15 840人． 12．某創(chuàng)業(yè)

10、投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬元到1 000萬元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過收益的20%. (1)請(qǐng)分析函數(shù)y＝＋2是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，并說明原因； (2)若該公司采用函數(shù)模型y＝作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值． 解：(1)對(duì)于函數(shù)模型y＝f(x)＝＋2， 當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí)，f(x)為增函數(shù)， f(x)max＝f(1 000)＝＋2＝＋2<9， 所以f(x)≤9恒成立， 但當(dāng)x＝10時(shí)，f(10)＝＋2>，即f

11、(x)≤不恒成立， 故函數(shù)模型y＝＋2不符合公司要求． (2)對(duì)于函數(shù)模型y＝g(x)＝， 即g(x)＝10－， 當(dāng)3a＋20>0，即a>－時(shí)遞增， 為使g(x)≤9對(duì)于x∈[10,1 000]恒成立， 即要g(1 000)≤9,3a＋18≥1 000， 即a≥，[來源:] 為使g(x)≤對(duì)于x∈[10,1 000]恒成立， 即要≤5，即x2－48x＋15a≥0恒成立， 即(x－24)2＋15a－576≥0(x∈[10,1 000])恒成立，又24∈[10,1 000]， 故只需15a－576≥0即可， 所以a≥. 綜上，a≥，故最小的正整數(shù)a的值為39. 13．我

12、國(guó)是水資源比較貧乏的國(guó)家之一，各地采用價(jià)格調(diào)控等手段以達(dá)到節(jié) 約用水的目的．某市用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：水費(fèi)＝基本費(fèi)＋超額費(fèi)＋定額損耗費(fèi)，且有如下三條規(guī)定： ①若每月用水量不超過最低限量m立方米時(shí)，只付基本費(fèi)9元和每戶每月定額損耗費(fèi) a元； ②若每月用水量超過m立方米時(shí)，除了付基本費(fèi)和定額損耗費(fèi)外，超過部分每立方米付n元的超額費(fèi)； ③每戶每月的定額損耗費(fèi)a不超過5元． (1)求每戶每月水費(fèi)y(元)與月用水量x(立方米)的函數(shù)關(guān)系式； (2)該市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的費(fèi)用如下表所示： 月份 用水量(立方米) 水費(fèi)(元) 一 4 17 二 5 23 三 2

13、.5 11 試分析該家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超過最低限量，并求m，n，a的值． 解：(1)依題意，得 y＝ 其中0

14、9＋a. 由解得 所以，該家庭今年一、二月份用水量超過最低限量，三月份用水量沒有超過最低限量，m＝3，n＝6，a＝2. 14．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和． (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式； (2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值． 解　(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝. 而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x. 最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f(x)＝2－10≥22－10＝70(當(dāng)且僅當(dāng)＝3x＋5，即x＝5時(shí)，“＝”成立)，所以當(dāng)x＝5時(shí)，f(x)min＝f(5)＝70.故隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元.