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1、 精品資料
學案41 空間的垂直關系
導學目標： 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面、面面垂直的有關性質與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題．
自主梳理
1．直線與平面垂直
(1)判定直線和平面垂直的方法
①定義法．
②利用判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條________直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面．
③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也________這個平面．
(2)直線和平面垂直的性質
2、①直線垂直于平面，則垂直于平面內________直線．
②垂直于同一個平面的兩條直線________．
③垂直于同一直線的兩個平面________．
2．直線與平面所成的角
平面的一條斜線與它在這個平面內的________所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角．
一條直線垂直于平面，說它們所成的角為________；直線l∥α或l?α，說它們所成的角是______角．
3．平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的判定方法
①定義法．
②利用判定定理：如果一個平面經過另一個平面的____________，那么這兩個平面互相垂直．
(2)平面與平面垂直的性質
如果兩個平面互
3、相垂直，那么在一個平面內垂直于它們________的直線垂直于另一個平面．
4．二面角的平面角
以二面角的棱上的任意一點為端點，在兩個面內分別作________棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．
自我檢測
1．(2010·浙江改編)設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是________(填序號)．
①若l⊥m，m?α，則l⊥α；
②若l⊥α，l∥m，則m⊥α；
③若l∥α，m?α，則l∥m；
④若l∥α，m∥α，則l∥m.
2．對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件：
①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；
②存在平面γ，使得α
4、，β都平行于γ；
③存在直線l?α，直線m?β，使得l∥m；
④存在異面直線l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.
其中，可以判定α與β平行的條件有________個．
3．(2009·四川卷改編)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結論正確的序號是________．
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PBC；
③直線BC∥平面PAE；
④直線PD與平面ABC所成的角為45°.
4．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足____
5、____時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)
5．(2011·大綱全國，16)已知點E、F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________．
探究點一 線面垂直的判定與性質
例1 Rt△ABC所在平面外一點S，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點．
(1)求證：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC.求證：BD⊥平面SAC.
變式遷移1 四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面A
6、BCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB.
證明：SA⊥BC.
探究點二 面面垂直的判定與性質
例2 如圖所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面為正方形，O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD內的射影是O.求證：平面O1DC⊥平面ABCD.
變式遷移2 (2011·江蘇)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點．
求證：(1)直線EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
7、
探究點三 直線與平面、平面與平面所成的角
例3 (2009·湖北)如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，點E是SD上的點，且DE＝λa(0<λ≤2)．
(1)求證：對任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；
(2)設二面角C—AE—D的大小為θ，直線BE與平面ABCD所成的角為φ，若tan θtan φ＝1，求λ的值．
變式遷移3 (2009·北京)如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D、E分別
8、在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求證：BC⊥ 平面PAC.
(2)當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成角的正弦值．
(3)是否存在點E使得二面角A—DE—P為直二面角？并說明理由．
轉化與化歸思想
例 (14分)已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是∠A＝60°的菱形，又PD⊥底面ABCD，
點M、N分別是棱AD、PC的中點.
(1)證明：DN∥平面PMB；
(2)證明：平面PMB⊥平面PAD.
【答題模板】
證明 (1)取PB中點Q，連結MQ、NQ，因為M、N分別是棱AD、PC的中點，所以QN∥BC∥M
9、D，且QN＝MD，故四邊形QNDM是平行四邊形，
于是DN∥MQ.[4分]
又∵MQ?平面PMB，DN?平面PMB
∴DN∥平面PMB.[7分]
(2)∵PD⊥平面ABCD，MB?平面ABCD，∴PD⊥MB.[9分]
又因為底面ABCD是∠A＝60°的菱形，且M為AD中點，所以MB⊥AD.
又AD∩PD＝D，所以MB⊥平面PAD.[12分]
又∵MB?平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD.[14分]
【突破思維障礙】
1．立體幾何中平行與垂直的證明充分體現(xiàn)了轉化與化歸的思想，其轉化關系如圖．
2．在解決線面、面面平行或垂直的判定時，一般遵循從“低維”到
10、“高維”的轉化，即從“線線”到“線面”，再到“面面”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”．
1．證明線面垂直的方法：(1)定義：a與α內任何直線都垂直?a⊥α；(2)判定定理1：?l⊥α；(3)判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；(4)面面平行的性質：α∥β，a⊥α?a⊥β；(5)面面垂直的性質：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
2．證明線線垂直的方法：(1)定義：兩條直線的夾角為90°；(2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3)線面垂直的性質：a⊥α，b?α?a⊥b；(4)線面垂直的性質：
11、a⊥α，b∥α?a⊥b.
3．證明面面垂直的方法：(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.
(滿分：90分)
一、填空題(每小題6分，共48分)
1．(2010·揚州月考)已知直線a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的________條件．
2．已知兩個不同的平面α、β和兩條不重合的直線m、n，有下列四個命題：
①若m∥n，m⊥α，則n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，則m∥n.
其中正確命題是________(填序號)．
12、
3．設直線m與平面α相交但不垂直，給出以下說法：
①在平面α內有且只有一條直線與直線m垂直；
②過直線m有且只有一個平面與平面α垂直；
③與直線m垂直的直線不可能與平面α平行；
④與直線m平行的平面不可能與平面α垂直．
其中錯誤的是________．
4．(2009·江蘇)設α和β為不重合的兩個平面，給出下列命題：①若α內的兩條相交直線分別平行于β內的兩條直線，則α平行于β；
②若α外一條直線l與α內的一條直線平行，則l和α平行；
③設α和β相交于直線l，若α內有一條直線垂直于l，則α和β垂直；
④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內的兩條直線垂直．
上面命題
13、中，真命題的序號是__________(寫出所有真命題的序號)．
5．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為____________________________________________________________．
6．(2011·福建)三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐P－ABC的體積為________．
7．如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長是1，過A點作平面A1BD的垂線，垂足為點H，有下列三個命題：
①
14、點H是△A1BD的中心；
②AH垂直于平面CB1D1；
③AC1與B1C所成的角是90°.
其中正確命題的序號是____________．
8．正四棱錐S－ABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點，動點P在表面上運動，并且總保持PE⊥AC，則動點P的軌跡的周長為________．
二、解答題(共42分)
9．(12分)(2011·安徽)如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．
(1)證明直線BC∥EF；
(2)求棱錐F－OBED的體積．
15、
10．(14分)(2009·天津)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E為PC的中點，AD＝CD＝1，DB＝2.
(1)證明PA∥平面BDE；
(2)證明AC⊥平面PBD；
(3)求直線BC與平面PBD所成的角的正切值．
11．(16分) 如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.
(1)設M是PC上的一點，證明平面MBD⊥平面PAD.
(2)求四棱錐P—AB
16、CD的體積．
學案41 空間的垂直關系
答案
自主梳理
1．(1)②相交?、鄞怪薄?2)①任意 ②平行?、燮叫?
2．射影 直角 0° 3.(1)②一條垂線 (2)交線 4.垂直于
自我檢測
1．② 2.2 3.④ 4.DM⊥PC(或BM⊥PC等)
5.
解析 方法一 如圖，建立空間直角坐標系．
設面ABC的法向量為n1＝(0,0,1)，面AEF的法向量為n2＝(x，y，z)．設正方體的棱長為1，
∵A(1,0,0)，E(1,1，)，F(xiàn)(0,1，)，
∴＝(0,1，)，＝(－1,0，)，
則取x＝1，則y＝－
17、1，z＝3.
故n2＝(1，－1,3)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝，
∴面AEF與面ABC所成的二面角的平面角α滿足cos α＝，sin α＝，∴tan α＝.
方法二 如圖，設正方體的棱長為3，則由題意知CF＝2，BE＝1，分別延長FE、CB交于點M，連結AM，作BN⊥AM于點N，連結EN.
∵EB⊥平面ABM，AM?平面ABM，
∴EB⊥AM.
又BN⊥AM，EB∩BN＝B，
∴AM⊥平面BEN，∴AM⊥EN.
∴∠BNE即為面AEF與面ABC所成的二面角的平面角．
∵BE∥CF，∴＝，即＝，
∴MB＝3，∴AM＝＝3.
由AM·BN＝BM·
18、;AB得
BN＝＝＝.
又EB⊥平面ABM，∴EB⊥BN，
∴tan∠BNE＝＝＝.
課堂活動區(qū)
例1 解題導引 線面垂直的判定方法是：證明直線垂直平面內的兩條相交直線．即從“線線垂直”到“線面垂直”．
證明
(1)取AB中點E，連結SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分別為AC、AB的中點，
故DE∥BC，且DE⊥AB，
∵SA＝SB，
∴△SAB為等腰三角形，
∴SE⊥AB.
∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，
∴AB⊥面SDE.而SD?面SDE，∴AB⊥SD.
在△SAC中，SA＝SC，D為AC的中點，∴SD⊥AC.
又∵AC∩AB＝A，∴SD
19、⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，則BD⊥AC，
由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD?面ABC，
∴SD⊥BD.又∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.
變式遷移1 證明 作SO⊥BC，垂足為O，連結AO，
由側面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.
因為SA＝SB，所以AO＝BO.
又∠ABC＝45°，故△AOB為等腰直角三角形，且AO⊥BO，
又SO⊥BC，SO∩AO＝O，
∴BC⊥面SAO.又SA?面SAO，∴SA⊥BC.
例2 解題導引 證明面面垂直，可先證線面垂直，即設法先找到其中一個平面的一條垂線，再證明這條垂線在另一個平面內或與另一個
20、平面內的一條直線平行．
證明 如圖所示，連結AC，BD，A1C1，則O為AC，BD的交點，O1為A1C1，B1D1的交點．
由棱柱的性質知：
A1O1∥OC，且A1O1＝OC，
∴四邊形A1OCO1為平行四邊形，
∴A1O∥O1C，
又A1O⊥平面ABCD，∴O1C⊥平面ABCD，
又O1C?平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD.
變式遷移2
證明 (1)如圖，在△PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD.又因為EF?平面PCD，PD?平面PCD，
所以直線EF∥平面PCD.
(2)連結BD.因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所
21、以△ABD為正三角形．
因為F是AD的中點，所以BF⊥AD.
因為平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因為BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
例3 解題導引 高考中對直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點之一．有時在客觀題中考查，更多的是在解答題中考查．
根據線面角的定義或二面角的平面角的定義，作(找)出該角，再解三角形求出該角，步驟是作(找)→認(指)→求．
(1)證明 如圖所示，連結BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD.
∵SD⊥平面ABCD，
∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴A
22、C⊥BE.
(2)解 如圖所示，由SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴SD⊥CD.
又底面ABCD是正方形，
∴CD⊥AD.又SD∩AD＝D，
∴CD⊥平面SAD.
過點D在平面SAD內作DF⊥AE于F，連結CF，則CF⊥AE，故∠CFD是二面角C—AE—D的平面角，即∠CFD＝θ.
在Rt△BDE中，∵BD＝2a，DE＝λa，
∴tan φ＝＝.
在Rt△ADE中，∵AD＝a＝CD，DE＝λa，
∴AE＝a，
從而DF＝＝.
在Rt△CDF中，tan θ＝＝，
由tan θ·tan φ＝1，得·＝1?＝2?λ2＝2.由λ∈(0,2]，
23、解得λ＝.
變式遷移3 (1)證明 ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)解 ∵D為PB的中點，DE∥BC，∴DE＝BC.
又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.
又PA＝AB，
∴△ABP為等腰直角三角形．
∴AD＝AB.
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝AB.
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝.
∴AD與平面PAC所成角的正弦值為.
(3)
24、解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP為二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC.
這時，∠AEP＝90°，
故存在點E使得二面角A—DE—P是直二面角．
課后練習區(qū)
1．充要 2.①②③ 3.①③④ 4.①② 5.
6.
解析 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA為三棱錐P－ABC的高，且PA＝3.
∵底面ABC為正三角形且邊長為2，∴底面面積為×
25、;22×sin 60°＝，∴VP－ABC＝××3＝.
7．①②③ 8.＋
9.
(1)證明 方法一 (綜合法)如圖所示，設G是線段DA延長線與線段EB延長線的交點．由于△OAB與△ODE都是正三角形，且OD＝2，
所以OB綊DE，(3分)
OG＝OD＝2.(5分)
同理，設G′是線段DA延長線與線段FC延長線的交點，有OC綊DF，OG′＝OD＝2.
又由于G和G′都在線段DA的延長線上，
所以G與G′重合．(10分)
在△GED和△GFD中，由OB綊DE和OC綊DF，可知B、C分別是GE和GF的中點，所以BC是△GEF的中位線，故B
26、C∥EF.(12分)
方法二 (向量法)過點F作FQ⊥AD，交AD于點Q，連結QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，從而FQ⊥QE，F(xiàn)Q⊥DQ.以Q為坐標原點，為x軸正方向，為y軸正方向，為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．(4分)
由條件知E(，0,0)，F(xiàn)(0,0，)，B(，－，0)，C(0，－，)，則＝(－，0，)，＝(－，0，)．
所以＝2，即BC∥EF.(7分)
(2)由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知S△OBE＝，而△OED是邊長為2的正三角形，故S△OED＝.
所以S四邊形OBED＝S△OBE＋S△OED＝.(10分)
27、
過點F作FQ⊥AD，交AD于點Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F－OBED的高，且FQ＝，所以VF－OBED＝FQ·S四邊形OBED＝.(12分)
10．(1)證明
設AC∩BD＝H，連結EH.在△ADC中，因為AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H為AC的中點，又由題設，知E為PC的中點，故EH∥PA.又EH?平面BDE，且PA?平面BDE，
所以PA∥平面BDE.(4分)
(2)證明 因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，
故AC⊥平面PBD.(8分)
(3)解 由AC⊥平面P
28、BD可知，BH為BC在平面PBD內的射影，所以∠CBH為直線BC與平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝2，可得DH＝CH＝，BH＝.在Rt△BHC中，tan∠CBH＝＝.
所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為.
(14分)
11．(1)證明 在△ABD中，由于AD＝4，
BD＝8，AB＝4，
所以AD2＋BD2＝AB2.
故AD⊥BD.(2分)
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD.
又BD?平面MBD，
故平面MBD⊥平面PAD.(6分)
(2)解 過點P作PO⊥AD交AD于點O，
由于平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.(8分)
因此PO為四棱錐P—ABCD的高．
又△PAD是邊長為4的等邊三角形，
因此PO＝×4＝2.(10分)
在底面四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，
所以四邊形ABCD是梯形，
在Rt△ADB中，斜邊AB上的高為＝，
此即為梯形ABCD的高，
所以四邊形ABCD的面積為S＝×＝24.
故VP—ABCD＝×24×2＝16.(16分)
高考數(shù)學理一輪資源庫 第8章學案41
