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1、 精品資料
第8講 函數(shù)與方程
一、填空題
1.若a>2,則函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在(0,2)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
解析 依題意得f′(x)=x2-2ax,由a>2可知,f′(x)在x∈(0,2)時(shí)恒為負(fù),即f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,又f(0)=1>0,f(2)=-4a+1<0,因此f(x)在(0,2)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).
答案 1
2.已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)=則函數(shù)f(x)=sgn(ln x)-ln2x
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
解析 依題意得,當(dāng)x>1時(shí),ln x>0,sgn(ln x
2、)=1,f(x)=sgn(ln x)-ln2x=1-ln2x,令1-ln2x=0,得x=e或x=,結(jié)合x(chóng)>1,得x=e;當(dāng)x=1時(shí),ln x=0,sgn(ln x)=0,f(x)=-ln2x,令-ln2x=0,得x=1,符合;當(dāng)0<x<1時(shí),ln x<0,sgn(ln x)=-1,f(x)=-1-ln2x.令-1-ln2x=0,得ln2x=-1,此時(shí)無(wú)解.因此,函數(shù)f(x)=sgn(ln x)-ln2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
答案 2
3.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]時(shí),f(x)
=1-x2,函數(shù)g(x)=則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[
3、-5,5]內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________.
解析 依題意得,函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù),在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象,結(jié)合圖象得,當(dāng)x∈[-5,5]時(shí),它們的圖象的公共點(diǎn)共有8個(gè),即函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[-5,5]內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是8.
答案 8
4.設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln x(x>0),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1),(1,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為_(kāi)_______.
解析 設(shè)y=x與y=ln x,作圖象可知f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn),在(1,+∞)內(nèi)僅有兩個(gè)零點(diǎn).
答案 0,2
5.設(shè)函數(shù)f(x)=則函數(shù)g(x)
4、=f(x)-log4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
解析 設(shè)y=f(x)與y=log4x,分別畫(huà)出它們的圖象,得有2個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
答案 2
6.已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析 畫(huà)出圖象,令g(x)=f(x)-m=0,即y=f(x)與y=m的圖象的交點(diǎn)有3個(gè),∴0<m<1.
答案 (0,1)
7.方程log2(x+4)=2x的根有________個(gè).
解析 作函數(shù)y=log2(x+4),y=2x的圖象如圖所示,兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)橫坐標(biāo)一正一負(fù),∴方程有一正根和一負(fù)根.
5、
答案 2
8.已知函數(shù)f(x)=x2+(1-k)x-k的一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
解析 因?yàn)棣ぃ?1-k)2+4k=(1+k)2≥0對(duì)一切k∈R恒成立,又k=-1時(shí),f(x)的零點(diǎn)x=-1?(2,3),故要使函數(shù)f(x)=x2+(1-k)x-k的一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi),則必有f(2)f(3)<0,即2
6、ln x有公共點(diǎn),
所以k≤.
答案
10.已知函數(shù)f(x)=1+x-+-+…+,g(x)=1-x+-+-…-,設(shè)F(x)=f(x+3)g(x-3),且函數(shù)F(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間[a,b](a<b,a,b∈Z)內(nèi),則b-a的最小值為_(kāi)_______.
解析 由f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2 010=,
則f′(x)>0,f(x)為增函數(shù),又f(0)=1>0,f(-1)<0,
從而f(x)的零點(diǎn)在(-1,0)上;同理g(x)為減函數(shù),零點(diǎn)在(1,2)上,∴F(x)的零點(diǎn)在(-4,-3)和(4,5)上,要使區(qū)間[a,b]包含上述區(qū)間,則需(b-a)min=9.
答案 9
7、
二、解答題
11.已知函數(shù)f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).
(1)若g(x)=m有零點(diǎn),求m的取值范圍;
(2)試確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.
解 (1)∵g(x)=x+≥2=2e,等號(hào)成立的條件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需m≥2e,則g(x)=m就有零點(diǎn).
(2)若g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根,即g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).作出g(x)=x+(x>0)和f(x)的圖象如圖.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,
其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=e,
8、開(kāi)口向下,最大值為m-1+e2,
故當(dāng)m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1時(shí),g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn),即g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根,
∴m的取值范圍是m>-e2+2e+1.
12.已知二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c)>0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.
解 二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c)>0的否定是對(duì)于區(qū)間[-1,1]內(nèi)的任意一個(gè)x都有f(x)≤0,
∴
即
整理得
解得p≥或p≤-3,
∴二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c
9、)>0的實(shí)數(shù)p的取值范圍是.
13.已知函數(shù)f(x)=|x-a|-ln x,a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x10,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
當(dāng)a>0時(shí),
f(x)=|x-a|-ln x=
若x≥a,f′(x)=1-=>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
若0
10、時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a);單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+∞).
(2)證明 由(1)知,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,至多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;
則必有a>0,此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a);單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+∞),
由題意,必須f(a)=-ln a<0,解得a>1.
由f(1)=a-1-ln 1=a-1>0,f(a)<0,得x1∈(1,a).
而f(a2)=a2-a-aln a=a(a-1-ln a),
下面證明:a>1時(shí),a-1-ln a>0.
設(shè)g(x)=x-1-ln x,x>1,
11、則g′(x)=1-=>0,
∴g(x)在x>1時(shí)遞增,則g(x)>g(1)=0,
∴f(a2)=a2-a-aln a=a(a-1-ln a)>0,又f(a)<0,
∴x2∈(a,a2),綜上,10,a,c∈R).
(1)設(shè)a>c>0.若f(x)>c2-2c+a對(duì)x∈[1,+∞)恒成立,求c的取值范圍;
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)是否有零點(diǎn),有幾個(gè)零點(diǎn)?為什么?
解 (1)因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)=3ax2-2(a+c)x+c的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=,由條件a>c>0,得2a>a+c,
故<=<
12、1,
即二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[1,+∞)的左邊,
且拋物線(xiàn)開(kāi)口向上,故f(x)在[1,+∞)內(nèi)是增函數(shù).
若f(x)>c2-2c+a對(duì)x∈[1,+∞)恒成立,
則f(x)min=f(1)>c2-2c+a,
即a-c>c2-2c+a,得c2-c<0,所以00,f(1)=a-c>0,則a>c>0.
因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)=3ax2-2(a+c)x+c的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=.而f=<0,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).